Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Witam wszystkich
Wrzucam zadanie na którym poległem a wiem,że pewnie jest proste
A taka jest treść.
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC }\) wysokości \(\displaystyle{ AK }\) i \(\displaystyle{ BL }\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ H }\). Punktem wspólnym okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABC }\) i \(\displaystyle{ CKL }\) jest punkt \(\displaystyle{ P }\). Udowodnić ,że \(\displaystyle{ PH }\) połowi \(\displaystyle{ AB }\).
H0t_Orange_B0i pisze: ↑9 cze 2020, o 11:06
... Punktem wspólnym okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABC }\) i \(\displaystyle{ CKL }\) jest punkt \(\displaystyle{ P }\).
H0t_Orange_B0i pisze: ↑9 cze 2020, o 11:43
Ja robiłem nie jeden rysunek i zawsze miały wspólny punkt inny niż \(\displaystyle{ C }\).
Okrąg opisany na \(\displaystyle{ ABC}\) przechodzi przez te trzy punkty, drugi opisany na \(\displaystyle{ CKL}\) przechodzi przez te trzy. Wniosek - oba przechodzą przez \(\displaystyle{ C}\).
\(CH\) jest średnicą okręgu opisanego na \(CKL\) i w związku z tym kąt \(\angle HPC\) jest prosty
a skoro \(\angle HPC\) jest prosty, to przecina okrąg opisany na trójkącie \(ABC\) w punkcie \(Q\) takim, że \(CQ\) jest średnicą okręgu opisanego na \(ABC\)
wystarczy więc wykazać, że \(HQ\) przechodzi przez środek odcinka \(AB\) --- okazuje się wręcz, że \(AHBQ\) jest równoległobokiem
Faktycznie wychodzi że jest równoległobokiem.
Szybko można spałować na kątach. \(\displaystyle{ \angle ABH = \angle ACH}\) (truizm) \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ O}\) są izogonalnie sprężone więc \(\displaystyle{ \angle LCH = \angle QCB = \angle QAB}\)
Oznacza to że \(\displaystyle{ HB}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ AQ}\)
Dalej dowodzimy że \(\displaystyle{ \angle MAH = \angle MBQ }\)
Dość prosto wychodziło, klasycznie zbyt bardzo zafiksowałem się na punkcie trójkątów podobnych
Wielkie dzięki za pomoc.
nie trzeba do tego mieszać żadnych izogonalnych sprzężeń, wszakże \(AH \perp BC\) (bo \(AH\) to wysokość trójkąta) oraz \(BQ \perp BC\) (bo \(CQ\) to średnica okręgu), skąd \(AH \parallel BQ\) i analogicznie \(BH \parallel AQ\)
