[MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6007
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2499 razy
Pomógł: 666 razy

[MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 maja 2020, o 18:21

1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda(G) }\) jest liczbą chromatyczną grafu \(\displaystyle{ G }\) to istnieje ścieżka w grafie która ma \(\displaystyle{ \lambda(G) }\) krawędzi i wszystkie wierzchołki w niej są różnokolorowe.
2. Dany jest ciąg zbiorów: \(\displaystyle{ A_1, A_2, ….B_1, B_2,... }\) oraz \(\displaystyle{ A_1= \emptyset , B_1 = \{0 \} }\) oraz \(\displaystyle{ A_{n+1}= \{ x+1 : x \in B_n \}, B_{n+1}= (A_n \cup B_n) \setminus (A_n \cap B_n)}\) . Dla jakich \(\displaystyle{ n }\) jest \(\displaystyle{ B_n = \{ 0 \} }\) ?
3. Gracze \(\displaystyle{ A }\) i \(\displaystyle{ B }\) grają w grę liczbową: jeśli na tablicy jeden gracz poda liczbę \(\displaystyle{ n }\), to przeciwnik może zmienić ją na \(\displaystyle{ n+1 }\) lub \(\displaystyle{ 2n }\), jednakże nie można wyjść poza zbiór \(\displaystyle{ \{ 1,…, N \} }\). Gracz \(\displaystyle{ A }\) rozpoczyna od liczby \(\displaystyle{ 1 }\). Wygrywa ten, kto poda \(\displaystyle{ N }\). Kto ma strategię wygrywającą dla \(\displaystyle{ N=2020 }\) ?
4. Niech \(\displaystyle{ n \geq 2k }\) i dowolny podzbiór \(\displaystyle{ k}\) elementowy zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n \} }\) trzeba pomalować na jakiś kolor, tak aby dowolne dwa rozłączne podzbiory \(\displaystyle{ k }\) elementowe były różnokolorowe. Udowodnić, że wystarczy do tego \(\displaystyle{ n - 2k +2}\) kolorów.
5. Czy istnieją liczby wymierne \(\displaystyle{ a, b }\) takie, że \(\displaystyle{ a^3+ 6ab+2b^3 =4 }\) ?
6. Niech \(\displaystyle{ A_1,…,A_{n+1} }\) będą niepustymi podzbiorami \(\displaystyle{ \{ 1,…, n \} }\). Udowodnić że istnieją niepuste i rozłączne podzbiory \(\displaystyle{ I, J }\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,…, n+1 \} }\) takie, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k \in I} A_k = \bigcup_{k \in J} A_k }\) i \(\displaystyle{ \bigcap_{k \in I} A_k = \bigcap_{k \in J} A_k }\).
Lindrstrom
7. Udowodnić, że ilość podziałów liczby \(\displaystyle{ n}\) w których żadna część nie jest więcej niż \(\displaystyle{ k-1}\) razy, jest równa liczbie podziałów liczby \(\displaystyle{ n}\) na części niepodzielne przez \(\displaystyle{ k}\).
8. Udowodnić, że jeśli jest \(\displaystyle{ n}\) różnych odległości między dowolnymi dwoma różnymi punktami na płaszczyźnie, których jest \(\displaystyle{ N >2}\) to \(\displaystyle{ N \leq (n+1)^2}\) .
9. Liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3 }\) mają moduł \(\displaystyle{ 1 }\) oraz spełniają układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}z_1+ z_2+z_3=1 \\ z_1z_2z_3=1. \end{cases} }\)
Wyznaczyć moduł \(\displaystyle{ (z_1+2)(z_2+2)(z_3+2)}\).
10. Udowodnić tożsamość \(\displaystyle{ \frac{ {n \choose 0} }{x} - \frac{ {n \choose 1} }{x+1} + … + (-1)^n \frac{ {n \choose n} }{x+n} = \frac{n!}{x(x+1)…(x+n)} }\) .
Kwant
11. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 3-x = \sqrt{3-x^2} }\).
12. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+ 9x^2y = 10 \\ y^3+ xy^2=2. \end{cases} }\)
13. Mając dane zależności
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y+z = 2 \\ x^2+y^2+z^2=3 \\ xyz=4 \end{cases} }\)
wyznaczyć \(\displaystyle{ \frac{1}{xy +z-1} + \frac{1}{yz+x-1} + \frac{1}{xz +y-1}. }\)
14. Wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR }\) takie, że \(\displaystyle{ f(3x-2) \leq f(x) \leq f(2x-1) }\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
tuymaada
15. Każdą liczbę całkowitą pomalowano jednym z kolorów: czerwonym, niebieskim, żółtym bądź zielonym. Niech \(\displaystyle{ x \neq y }\) będą dowolnymi liczbami nieparzystymi. Udowodnić, że istnieją liczby całkowite jednokolorowe, których różnica jest jedną z liczb \(\displaystyle{ x, y, x+y, x-y }\).
16. Dane są grafy \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H}\), które maja \(\displaystyle{ 7}\) wierzchołków i \(\displaystyle{ 14}\) krawędzi: w grafie \(\displaystyle{ G}\) wierzchołek i-ty ma krawędź z wierzchołkami \(\displaystyle{ i-2, i-1, i+1, i+2}\), w grafie \(\displaystyle{ H}\) wierzchołek i-ty ma krawędź z wierzchołkami \(\displaystyle{ i-3, i-1, i+1, i+3 }\). Udowodnić że te grafy są izomorficzne.
17. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ |2x^3-3y^2| \leq 3}\) i \(\displaystyle{ |2y^3-3x^2| \leq 2}\) to \(\displaystyle{ |x^2-y^2| \leq 1}\).
18. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych \(\displaystyle{ x, y, z }\), dla których liczby \(\displaystyle{ x^2+yz, y^2+ xz, z^2+xy }\) są kwadratami liczb całkowitych.
19. Jakie liczby \(\displaystyle{ n }\) mają tę własność: gdy znane są wartości \(\displaystyle{ a_i +a_j }\) dla \(\displaystyle{ i<j}\) to wyznaczają one jednoznacznie \(\displaystyle{ a_1, …, a_n }\) ?
Erdos, Selfridge
20. Udowodnić, że w grafie który ma \(\displaystyle{ 6}\) wierzchołków i \(\displaystyle{ 10 }\) krawędzi są co najmniej trzy trójkąty.
21. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi, to pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ x+ y + \frac{x}{y} + 1}\) jest co najmniej jeden kwadrat liczby całkowitej.
22. Dany jest ciąg, gdzie \(\displaystyle{ a_{0} }\) jest liczbą pierwszą. Następne wyrazy określa rekurencja \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2a_n - 1}\). Udowodnić, ze istnieje wyraz tego ciągu, który nie jest liczbą pierwszą .
Rumunia
23. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \lfloor y \rfloor = 2019 \\ y \lfloor x \rfloor = 2020. \end{cases}}\)
24. Tamara i Tania grają w grę: Tamara wybiera sobie liczbę \(\displaystyle{ X \leq 100 }\) a Tania ma ja odgadnąć: wybiera dowolne \(\displaystyle{ M, N \leq 100 }\) i pyta o \(\displaystyle{ NWD(X+M, N)}\) . Udowodnić, że może to zrobić zadając nie więcej niż siedem pytań.
25. Udowodnić, że graf w którym stopień dowolnego wierzchołka jest równy co najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) ma podgraf izomorficzny z drzewem o \(\displaystyle{ n}\) wierzchołkach.
26. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dowolnie wylosowany wierzchołek drzewa będzie liściem ?
27. Wyznaczyć wszystkie funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) takie, dla których \(\displaystyle{ f(2 f(x) +y) = f(x+y) + x }\), gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
28. Kolejne liczby naturalne \(\displaystyle{ 1, 2, ...4n^2}\) umieszczono w dowolny sposób w kwadratowej tablicy \(\displaystyle{ 2n \times 2n}\). Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ n + 1}\) kolumn, takich że w każdej z nich dowolna liczba jest mniejsza niż suma pozostałych \(\displaystyle{ 2n-1 }\) liczb z tej kolumny.
29. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: \RR_{+} \to \RR}\) takie, że
i) \(\displaystyle{ f(x)+ f(y) \leq \frac{f(x+y)}{2}}\)
ii) \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x} + \frac{f(y)}{y} \geq \frac{f(x+y)}{x+y} }\)
dla \(\displaystyle{ x, y >0. }\)
30. Król Artur chce zaprosić na ucztę do okrągłego stołu \(\displaystyle{ 2n }\) rycerzy, wśród których każdy ma jednego nieprzyjaciela. Na ile sposobów może ich usadzić aby żaden z nich nie siedział naprzeciw swojego nieprzyjaciela ?
Jeśli \(\displaystyle{ A }\) jest nieprzyjacielem \(\displaystyle{ B }\), to \(\displaystyle{ B }\) jest nieprzyjacielem \(\displaystyle{ A. }\)
31. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + \frac{3x-y}{x^2+y^2}= 3 \\ y - \frac{x+3y}{x^2+y^2}=0. \end{cases} }\)
32. Liczby \(\displaystyle{ x(y+1) }\) i \(\displaystyle{ y(x+1) }\) są kwadratami liczb całkowitych. Wykazać, że dokładnie jedna z liczb naturalnych \(\displaystyle{ x, y}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
33. Jak zwinąć sumę \(\displaystyle{ \sum_{1 \leq i, j, k \leq n} \min \{ i, j, k \}}\) ?
34. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^{\log_{3} 2} = \sqrt{x}+1}\).
35. W zbiorze liczb całkowitych określone jest działanie \(\displaystyle{ \ast }\), które spełnia warunki \(\displaystyle{ x*x=0 }\) i \(\displaystyle{ x\ast (y\ast z)= (x\ast y)+ z }\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z }\). Obliczyć \(\displaystyle{ 2019\ast 2020. }\)
36. Dany jest ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0=a \\ a_1=b \\ a_{n+1}= \frac{1}{2}\left( a_{n-1}+ \frac{1}{a_n}\right). \end{cases} }\)
Udowodnić, że jeśli jest okresowy to \(\displaystyle{ ab=1.}\)
37. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz dla jakiejś liczby całkowitej \(\displaystyle{ a[\latex] oraz liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\); \(\displaystyle{ f(a)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\), ale \(\displaystyle{ f^{\prime}(a)}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\). Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) istnieje \(\displaystyle{ b}\), takie, że \(\displaystyle{ f(b)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p^k}\) i \(\displaystyle{ b-a}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p.}\)
Hensel
38. Gra rozgrywa się na szachownicy \(\displaystyle{ 1 \times 100 }\). Gracz \(\displaystyle{ A}\) może w dowolnym ruchu pomalować cztery kolejne, zaś gracz \(\displaystyle{ B}\) trzy kolejne kwadraty. Każdy kwadrat można pomalować co najwyżej raz. Przegrywa ten, kto nie może już wykonać żadnego ruchu. Kto ma strategię wygrywającą ?
39. Ile jest trójkątów o wierzchołkach w punktach kratowych zawartych w kwadracie o boku \(\displaystyle{ n}\), które mają w swym wnętrzu środek tego kwadratu?
40. Czy jeśli zbiór liczb całkowitych rozdzielić na rozłączne podzbiory, których elementy są ciągami arytmetycznymi, to któreś z tych ciągów będą mieć tę samą różnicę ?
41. Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x^2 \frac{(b+x)(x+c)}{(x-b)(x-c)} + b^2 \frac{(b+c)(b+x)}{(b-c)(b-x)} + c^2 \frac{(c+x)(c+b)}{(c-x)(c-b)} = (b+c)^2.}\)
42. Wyznaczyć wszystkie konfiguracje (zbiory skończone) \(\displaystyle{ S }\) punktów na płaszczyźnie o tej własności, że jeśli dwie proste wyznaczone przez cztery różne punkty z \(\displaystyle{ S}\) mają punkt wspólny, to jest on elementem zbioru \(\displaystyle{ S.}\)
Conway
43. Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie skończonym zbiorem liczb naturalnych większych od \(\displaystyle{ 1}\), podzbiór \(\displaystyle{ S \subset T}\) nazywa się fajnym, jeśli dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in T}\) istnieje \(\displaystyle{ s \in S}\) takie, że \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) nie są względnie pierwsze. Udowodnić, że ilość podzbiorów fajnych jest nieparzysta.
44. Udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^2}{(b-c)^2} + \frac{(b-c)^2}{(c-a)^2} + \frac{(c-a)^2}{(a-b)^2} \geq 5}\)
dla różnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c.}\)
45. Ile jest równe minimum wyrażenia \(\displaystyle{ |x^n - x^m|}\) gdy \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są ustalone, a \(\displaystyle{ 0 < x <1}\) ?
46. dodatkowe; /ryc/
https://i.ytimg.com/vi/cPNdvdYn05c/maxresdefault.jpg}\)
Ostatnio zmieniony 23 maja 2020, o 20:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Premislav » 23 maja 2020, o 18:50

12.:    
Dodano po 27 minutach 12 sekundach:
21.:    

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9004
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1939 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Dasio11 » 23 maja 2020, o 19:19

35.:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7585
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 226 razy
Pomógł: 2997 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: kerajs » 23 maja 2020, o 19:28

11:    
22:    
38?:    
Ostatnio zmieniony 23 maja 2020, o 19:42 przez kerajs, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2761
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 897 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Janusz Tracz » 23 maja 2020, o 19:31

10:    
11:    
34:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Premislav » 23 maja 2020, o 20:25

44.:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7585
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 226 razy
Pomógł: 2997 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: kerajs » 23 maja 2020, o 20:55

16:    

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2761
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 897 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Janusz Tracz » 24 maja 2020, o 10:06

41:    
45:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7585
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 226 razy
Pomógł: 2997 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: kerajs » 24 maja 2020, o 10:43

20:    

33:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Premislav » 24 maja 2020, o 11:51

31.:    

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9004
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1939 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Dasio11 » 24 maja 2020, o 13:26

14.:    

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7585
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 226 razy
Pomógł: 2997 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: kerajs » 24 maja 2020, o 19:21

3:    
46:    

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: Premislav » 24 maja 2020, o 20:27

13.:    
Dodano po 4 godzinach 21 minutach 27 sekundach:
17.:    
Dodano po 2 godzinach 39 minutach 45 sekundach:
36.:    

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: arek1357 » 25 maja 2020, o 10:22

Zadanie 7. jakiś obłęd tyle zadań ... proponuję to jako zestaw maturalny ...
Ukryta treść:    
Dodano po 1 godzinie 5 minutach 10 sekundach:
z pierwszym coś mi się nie widzi albo ja nie widzę bo jeżeli weźmiemy graf "kwadrat" bez przekątnych, pokolorujemy wierzchołki:

\(\displaystyle{ 1,2,1,2}\)

liczba chromatyczna będzie dwa , ale każda ścieżka o długości dwa zawsze zawiera dwa wierzchołki równokolorowe...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7585
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 226 razy
Pomógł: 2997 razy

Re: [MIX] Mix da Smakoszy Pomysłów

Post autor: kerajs » 25 maja 2020, o 13:47

Pytanie do 13:    
Pytanie do 26:    
30:    
42?:    

ODPOWIEDZ