[Nierówności] Promienie, mediany, więcej promieni

[bosa_Nike]

Udowodnij, że w dowolnym trójkącie zachodzi nierówność $$m_a+m_b+m_c\le\sqrt{16R^2+4Rr+9r^2}\le r_a+r_b+r_c,$$ gdzie symbolami oznaczono długości: \(\displaystyle{ m_a,m_b,m_c}\) - środkowych odpowiednich boków, \(\displaystyle{ R,r}\) - promieni odpowiednio okręgu opisanego oraz wpisanego, \(\displaystyle{ r_a,r_b,r_c}\) - promieni okręgów dopisanych do odpowiednich boków.

Uwagi:    

1. Problem pochodzi z puli bonusowej (niekonkursowej) zadań z kwietniowego wydania Crux Mathematicorum.
2. Prawą nierówność zamieszczam, by treść oryginalnego zadania była zachowana. To, co mnie szczególnie interesuje, to rozwiązanie lewej nierówności. Potrafię zrobić tylko z użyciem innej - bardzo mocnej, jak się wydaje, której z kolei nie umiem dowieść gołymi rękami, czyli na razie zadanie mnie pokonuje.
3. Mimo że w treści mowa o dowolnych trójkątach, to wykluczymy trójkąty zdegenerowane, krzywoliniowe, sferyczne, miłosne, muzyczne itp.

[Elayne]

Lewa nierówność nasuwa skojarzenia z nierównością Leuenbergera.

[bosa_Nike]

Dzięki za odzew. Niestety, tak nie da rady. Nierówność z zadania faktycznie stanowi wzmocnienie wspomnianej przez Ciebie, ponieważ \(\displaystyle{ r_a+r_b+r_c=4R+r}\).

[Elayne]

Zabałaganię prawą stronę nierówności Leuenbergera: \(\displaystyle{ m_a + m_b + m_c \le 4R + r.}\) Na wejściu wezmę całość w nawiasy, podniosę do kwadratu, co po rozwinięciu da: \(\displaystyle{ 16 R^2 + 8Rr + r^2.}\) Z tego wezmę \(\displaystyle{ 4Rr}\). Na podstawie nierówności \(\displaystyle{ 9r \le h_a + h_b + h_c \le 2R + 5r}\) zamienię \(\displaystyle{ 4R}\) na \(\displaystyle{ 8r}\), co da \(\displaystyle{ 8r^2.}\) Skoro wcześniej wziąłem to teraz zwrócę i po spierwiastkowaniu mam: \(\displaystyle{ \sqrt{16 R^2 + 4Rr + 9r^2}.}\)

[bosa_Nike]

No nie, to nie daje dowodu lewej nierówności, a tylko \(\displaystyle{ 4R+r\ge\sqrt{16 R^2 + 4Rr + 9r^2}}\), co jest po prostu konsekwencją nierówności Eulera \(\displaystyle{ R\ge 2r}\) (i faktycznie stanowi dowód prawej nierówności). Myślę, że zapis Cię myli. Lepiej będzie, jeżeli rozpiszesz sobie podwójną nierówność z zadania na dwie - wtedy będzie widać, że to ewentualnie \(\displaystyle{ \sqrt{16 R^2 + 4Rr + 9r^2}}\) powinieneś zmniejszać próbując dowieść lewej nierówności.

[Elayne]

Dodano po 9 godzinach 56 minutach 28 sekundach:
Nic nie zmieniło się na lewej stronie nierówności Leuenbergera: \(\displaystyle{ m_a + m_b + m_c}\) więc tego nie bierzemy pod uwagę i zapominamy o tym. Nierówność \(\displaystyle{ 9r \le h_a + h_b + h_c \le 2R + 5r}\) do prostych do udowodnienia nie należy więc dlaczego została przytoczona? Dla samego podstawienia czy też z powodu dowodu tej nierówności?

„Prawda została pogrzebana na »cmentarzu pewności«”
Felipe Fernández-Armest

[bosa_Nike]

Nie mam bladego pojęcia, dlaczego została przytoczona, ale chętnie to z Twoją pomocą zmienię. Zależy mi wręcz, by to zmienić, więc każdy pomysł będzie brany pod uwagę.
Nie wydaje się też specjalnie trudna, bo to jest \(\displaystyle{ 9r\le\frac{4Rr+r^2+s^2}{2R}\le 2R+5r}\), którą załatwiają bez specjalnych fikołków Gerretsen z Eulerem.