2. Udowodnić, że jeśli istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a_1,…,a_n}\) takie, że \(\displaystyle{ X+a_1, …X+a_n}\) jest rozkładem \(\displaystyle{ Z}\), to istnieje \(\displaystyle{ N \neq 0}\) że \(\displaystyle{ X=X+N}\).
Jeśli \(\displaystyle{ X \subset Z}\) to \(\displaystyle{ X+a = \{ x+a : x \in X \}}\).
3. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to dowolny dziennik pierwszy liczby \(\displaystyle{ 2^p -1}\) jest większy od \(\displaystyle{ p}\).
4. Zbadać, czy \(\displaystyle{ 8^n+n}\) może dzielić się przez \(\displaystyle{ 2^n+n}\).
5. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b }\) są liczbami całkowitymi, to istnieje ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ a, a+d,a+2d,… }\) który zawiera podciąg geometryczny \(\displaystyle{ b, bq, bq^2,… }\)
6. Na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n }\) stoją koniki: biały i czarny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że się wzajemnie atakują ?
7. Niech \(\displaystyle{ F(n)}\) będzie średnią arytmetyczną wszystkich dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{n} \leq F(n) \leq \frac{n+1}{2}}\)
8. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f }\) taka, że \(\displaystyle{ f (x) = f( f(x) )+x}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) . Udowodnić, że \(\displaystyle{ f }\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
9. Graf ma \(\displaystyle{ 2n+1}\) wierzchołków, a dla dowolnych \(\displaystyle{ n}\) spośród nich istnieje wierzchołek, które je wszystkie łączy. Udowodnić, że istnieje wierzchołek w grafie, który łączy wszystkie inne wierzchołki tego grafu.
10. Funkcja \(\displaystyle{ f: \RR \to \NN}\) ma własność \(\displaystyle{ f( x+ \frac{1}{f(y)}) = f( y+ \frac{1}{f(x)}) }\), gdy \(\displaystyle{ x, y \in \RR }\). Wykazać, że \(\displaystyle{ f }\) nie może być surjekcją.
11. W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC }\) obrano punkty \(\displaystyle{ M }\) i \(\displaystyle{ N }\) na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Udowodnić, że punkty przecięcia się okręgów o średnicach \(\displaystyle{ BN }\) i \(\displaystyle{ CM }\) oraz ortocentrum trójkąta są współliniowe.
12. Suma trzech liczb dodatnich jest równa \(\displaystyle{ 17 }\), a ich iloczyn \(\displaystyle{ 64 }\). Udowodnić, że choć jedna z tych liczb jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ 8 }\).
13. Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W}\), które mają tę własność, że jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=2 \\ a^2+b^2+c^2 = 2, \end{cases} }\)
to \(\displaystyle{ W(a)= W(b)=W(c)}\).
14. Czy istnieje czworościan o trzech ścianach prostokątnych i jednej rozwartokątnej ?
15. Czy można uzupełnić tę tabelkę tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie był ciąg arytmetyczny ?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x&x&x&x&x\\ x&74&x&x&x \\ x&x&x&x&186\\ x&x&103&x&x\\ 0&x&x&x&x \end{bmatrix}}\)
16. Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W(x) }\) o współczynnikach całkowitych, dla których \(\displaystyle{ 2^n -1 }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ W(n) }\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, … }\)
17. Liczba matematyków uczestniczących w zawodach matematycznych była większa niż \(\displaystyle{ k }\) krotność liczby zadań. Udowodnić, że jeśli każdy z nich rozwiązał choć jedno zadanie, to istnieje matematyk, taki że każde z zadań, które on rozwiązał, rozwiązało także co najmniej \(\displaystyle{ k }\) innych matematyków.
18. Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1,…,a_n}\) oraz \(\displaystyle{ \epsilon >0 }\). Wykazać, że istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ k }\) oraz liczby całkowite \(\displaystyle{ m_1,…,m_n }\) takie, że \(\displaystyle{ |ka_i - m_i| < \epsilon }\) dla \(\displaystyle{ i = 1,…,n }\).
19. Zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN }\) jest rozdzielony na dwa rozłączne podzbiory. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ m, n \in \NN}\), to istnieje trójka liczb \(\displaystyle{ x< y < z}\) z jednego z tych podzbiorów taka, że \(\displaystyle{ m(z-y) = n(y-x)}\).
20. Jakie funkcje \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ }\) mają własność \(\displaystyle{ f(2a)+ 2f(b) = f( f(a+b) ) }\) dla \(\displaystyle{ a, b \in \ZZ}\) ?
21. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: [0,1] \to \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ (x-y)^2 \leq |f(x)-f(y) | \leq |x-y|}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq x, y \leq 1}\).
22. Wyznaczyć największą z liczb, która jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ \frac{3}{x-3}+ \frac{5}{x-5}+ \frac{17}{x-17}+ \frac{19}{x-19} = x^2-11x-4}\).
23. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b = 9 \\ ab+c+d = 29 \\ ad+bc=3 \\ cd=18. \end{cases}}\)
24. Na paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) wzięto cztery punkty. Czy mogą być one wierzchołkami jakiegoś
i) deltoidu
ii) trapezu
iii) równoległoboku
?
25. Jaki będzie współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) a jaki przy \(\displaystyle{ x^{14}}\) po wymnożeniu i redukcji wyrażenia \(\displaystyle{ (1-x)(1+2x)(1-3x)(1+4x)…(1+14x)(1-15x)}\) ?
26. Ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) określony jest rekurencyjnie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=2019 \\ x_{n+1} = \frac{(\sqrt{2}- 1)x_n - 1}{(\sqrt{2}- 1)+x_n}. \end{cases}}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ x_{2020}}\).
27. Dany jest okrąg i punkt; udowodnić że wszystkie środki cięciw tego okręgu do których należy ten punkt leżą na jednym okręgu.
28. Ktoś rzuca kostką do gry tak długo dopóki pod rząd nie wypadnie ta sama liczba oczek. Ile średnio rzutów musi wykonać ?
29. Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ n!}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n^2+1}\).
30. Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ \frac{2^{p-1}-1}{p}}\) jest kwadratem liczby calkowitej ?
Ukryta treść:
