[funkcje] nierówność z funkcją

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ f:(2,\infty)\to(-2,0)}\) będzie funkcją cięgła taką że istnieje a>0 takie że \(\displaystyle{ |1+xf(x)+f^2(x)|\le a}\). Wykaż że
\(\displaystyle{ \left|f(x)-\frac{-x+\sqrt{x^2-4}}{2}\right|\le\sqrt{35a}}\)
dla x>2.

[arek1357]

\(\displaystyle{ |4-x+ \sqrt{x^2-4}| \le 2 \sqrt{35a} }\)

ale:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} |4-x+ \sqrt{x^2-4}|=4}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{35a} =4}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{4}{35} }\)

Czyli jak widać warunek zadania spełnia każda funkcja pod warunkiem, że:

\(\displaystyle{ a \ge \frac{4}{35} }\)

dla :

\(\displaystyle{ a< \frac{4}{35}}\)

Już tak być nie musi...

Zbadajmy warunek:

\(\displaystyle{ |f(x)^2+xf(x)+1| \le a}\)

rozbijmy to na dwa warunki:


Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x= \frac{5-a}{2} }\)

czyli ta funkcja jest dolną "granicą" funkcji , które powinny spełniać tezę zadania w przedziale:

\(\displaystyle{ x \in (2;\frac{5-a}{2})}\)

Sprawdźmy, czy w tym przedziale zachodzi teza?

czyli:
\(\displaystyle{ f(x)^2+xf(x)+1 \le a \wedge f(x)^2+xf(x)+1 \ge -a}\)

Nie będę tu uczył teorii rozwiązywania nierówności drugiego stopnia, napiszę tylko wyniki:

otóż:

\(\displaystyle{ f(x) \in \left\langle \frac{-x- \sqrt{x^2-4+4a} }{2};\frac{-x- \sqrt{x^2-4-4a} }{2} \right\rangle \cup \left\langle \frac{-x+ \sqrt{x^2-4-4a} }{2};\frac{-x+ \sqrt{x^2-4+4a} }{2} \right\rangle}\)

I teraz zobaczmy kiedy:

\(\displaystyle{ \frac{-x- \sqrt{x^2-4+4a} }{2}=-2}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x= \frac{5-a}{2} }\)

czyli ta funkcja jest dolną "granicą" funkcji , które powinny spełniać tezę zadania w przedziale:

\(\displaystyle{ x \in (2;\frac{5-a}{2})}\)

Ale teraz łatwo sprawdzić czy:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a+1} < \frac{5-a}{2}}\) dla a \(\displaystyle{ \in (0; \frac{4}{35} }\)

bo dla \(\displaystyle{ x \ge 2 \sqrt{a+1}}\) nasz warunek majoryzuje(od dołu) już funkcja:

\(\displaystyle{ \frac{-x+ \sqrt{x^2-4-4a} }{2} , D: x \ge 2 \sqrt{a+1}}\)

sprawdzimy teraz czy właśnie:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a+1} < \frac{5-a}{2}}\)

lub:

\(\displaystyle{ a^2-26a+9>0}\)

\(\displaystyle{ a_{1}=13-4 \sqrt{10} ,a_{2}=13+4 \sqrt{10} }\)

więc a musi być:

\(\displaystyle{ a \le 13-4 \sqrt{10}}\)

Ale jest prawdą, że:

\(\displaystyle{ \frac{4}{35} <13-4 \sqrt{10} }\)

Więc teraz najpierw sprawdzimy czy w przedziale:

\(\displaystyle{ x \in (2;2 \sqrt{a-1}) }\)

zachodzi:

\(\displaystyle{ |\frac{-x- \sqrt{x^2-4+4a} }{2}- \frac{-x+ \sqrt{x^2-4} }{2}| \le \sqrt{35a} }\)

Co jest równoważne:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-4+4a} + \sqrt{x^2-4} \le 2 \sqrt{35a}}\)

funkcja z lewej strony jest rosnąca , ale nam wystarczy do:

\(\displaystyle{ x=2 \sqrt{a+1} }\)

lecz to jest prawdą bo:

\(\displaystyle{ \sqrt{8a} + \sqrt{4a}<2 \sqrt{35a} }\)

Zostaje nam do sprawdzenie warunek dla:

\(\displaystyle{ x>2 \sqrt{a+1}}\)

Bo tu zadanie majoryzuje funkcja:

\(\displaystyle{ \frac{-x+ \sqrt{x^2-4-4a} }{2}}\)

Więc nasz warunek do sprawdzenie to czy:

\(\displaystyle{ |\frac{-x+ \sqrt{x^2-4-4a} }{2}-\frac{-x+ \sqrt{x^2-4} }{2}| \le \sqrt{35a} }\)

Co jest równoważne:

\(\displaystyle{ | \sqrt{x^2-4-4a}- \sqrt{x^2-4}| \le 2 \sqrt{35a} , x \ge 2 \sqrt{a+1} }\)

A ponieważ lewa strona dąży do zera, więc największą wartość przyjmuje dla naszego:

\(\displaystyle{ x=2 \sqrt{a+1} }\)

co daje:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{a} <2 \sqrt{35a} }\)

I co jest prawdą... cnd...

Nie wiem może w tym zadaniu o co inne biega...