Możemy przyjąć, że
\(\displaystyle{ a_{0}\ge 0}\), bo gdyby tak nie było, to nierówność będzie tak samo prawdziwa, gdyż
\(\displaystyle{ a_{0}^{2}=|a_{0}|^{2}}\).
Lemat: dla
\(\displaystyle{ x\ge \frac{5+\sqrt{5}}{10}}\) mamy
\(\displaystyle{ x^{2}+\frac{1}{5}\ge x^{2^{\frac{1}{5}}}}\)
Dowód lematu mam niestety tylko na pałę: logarytmujemy nierówność stronami i mamy równoważną
\(\displaystyle{ \ln\left(x^{2}+\frac{1}{5}\right)\ge 2^{\frac{1}{5}}\ln x}\)
Rozważmy funkcję
\(\displaystyle{ g(x)=\ln\left(x^{2}+\frac{1}{5}\right)-2^{\frac{1}{5}}\ln x}\)
Mamy (dla
\(\displaystyle{ x>0}\))
\(\displaystyle{ g'(x)=\frac{2x}{x^{2}+\frac{1}{5}}-\frac{2^{\frac{1}{5}}}{x}, \ g'(x)>0\Leftrightarrow 2x^{2}>2^{\frac{1}{5}}\left(x^{2}+\frac{1}{5}\right)\\ \Leftrightarrow x^{2}>\frac{\frac{1}{5}2^{\frac{1}{5}}}{2-2^{\frac{1}{5}}}\Leftrightarrow x>\sqrt{\frac{\frac{1}{5}2^{\frac{1}{5}}}{2-2^{\frac{1}{5}}}}}\)
i teraz odnotujmy, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{5+\sqrt{5}}{10}>\sqrt{\frac{\frac{1}{5}2^{\frac{1}{5}}}{2-2^{\frac{1}{5}}}}}\)
Istotnie, równoważnie jest
\(\displaystyle{ \frac{30+10\sqrt{5}}{100}>\frac{\frac{1}{5}2^{\frac{1}{5}}}{2-2^{\frac{1}{5}}}\\\frac{3+\sqrt{5}}{2}>\frac{1}{2^{\frac{4}{5}}-1}}\)
a to już zachodzi, ponieważ
\(\displaystyle{ 2^{\frac{4}{5}}>\frac{3}{2}, \ \frac{3+\sqrt{5}}{2}>\frac{2+2}{2}=2}\)
Zatem
\(\displaystyle{ g(x)}\) jest rosnąca w przedziale
\(\displaystyle{ \left[\frac{5+\sqrt{5}}{10},+\infty\right)}\).
Pozostaje stwierdzić, że
\(\displaystyle{ g\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)>0}\), co jest prawdą na mocy (obliczeniowej
) wolframa (gdyby ktoś bardzo płakusiał, można to sprawdzić ręcznie).
To kończy dowód lematu.
Niech więc
\(\displaystyle{ a_{n-5}\ge \frac{5+\sqrt{5}}{10}}\) dla pewnego
\(\displaystyle{ n\ge 5}\). Udowadniamy indukcyjnie, że wówczas
\(\displaystyle{ a_{k}\ge \frac{5+\sqrt{5}}{10}}\) dla
\(\displaystyle{ k\ge n-5}\), przy czym w kroku indukcyjnym działamy tak:
\(\displaystyle{ a_{k+1}\ge a_{k}^{2}+\frac{1}{5}\ge a_{k}\ge \frac{5+\sqrt{5}}{10}}\)
ponieważ jeśli
\(\displaystyle{ a_{k}\ge \frac{5+\sqrt{5}}{10}}\), to
\(\displaystyle{ a_{k}^{2}+\frac{1}{5}-a_{k}=\left(a_{k}-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{20}=\left(a_{k}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{5}}\right)\left(a_{k}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{5}}\right)=\left(a_{k}-\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)\left(a_{k}-\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right)\ge0}\)
Zatem z lematu (użytego dziesięć razy) mamy
\(\displaystyle{ a_{n+5}\ge a_{n+4}^{2}+\frac{1}{5}\ge a_{n+4}^{2^{\frac{1}{5}}}\ge \left(a_{n+3}^{2}+\frac{1}{5}\right)^{2^{\frac{1}{5}}}\\\ge \left(a_{n+3}^{2^{\frac{1}{5}}}\right)^{2^{\frac{1}{5}}}\ge \ldots \ge a_{n-5}^{\overbrace{2^{\frac{1}{5}}\cdot \ldots \cdot 2^{\frac{1}{5}}}^{10}}=a_{n-5}^{4}}\)
co jest równoważne tezie zadania.
Teraz przypuśćmy, że jednak
\(\displaystyle{ a_{n-5}<\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\)
Jeżeli
\(\displaystyle{ a_{n-5}\le \frac{5-\sqrt{5}}{10}}\), to tym bardziej
\(\displaystyle{ a_{n-5}\le \sqrt[4]{\frac{1}{5}}}\), a wówczas
\(\displaystyle{ a_{n+5}\ge \frac{1}{5}\ge a_{n-5}^{4}}\) i teza zadania zachodzi. Załóżmy teraz, że
\(\displaystyle{ a_{n-5}\in \left(\frac{5-\sqrt{5}}{10}, \frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)}\).
Określamy ciąg ograniczeń dolnych wyrazów
\(\displaystyle{ a_{n-5}, a_{n-4}, a_{n-3}, \ldots}\), który wygląda następująco:
\(\displaystyle{ b_{0}=a_{n-5}, \ b_{k+1}=b_{k}^{2}+\frac{1}{5}}\).
Udowodnimy indukcyjnie, że wszystkie wyrazy ciągu wpadają do przedziału
\(\displaystyle{ \left(\frac{5-\sqrt{5}}{10}, \frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)}\)
Dla
\(\displaystyle{ k=0}\) jest to jasne z uwagi na fakt, że
\(\displaystyle{ a_{n-5}\in \left(\frac{5-\sqrt{5}}{10}, \frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)}\).
Przypuśćmy, że dla pewnego
\(\displaystyle{ k\in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{5-\sqrt{5}}{10}<b_{k}<\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\).
Zachodzi
\(\displaystyle{ b_{k+1}=b_{k}^{2}+\frac{1}{5}<b_{k}}\), gdyż ta ostatnia nierówność sprowadza się do
\(\displaystyle{ \left(b_{k}-\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)\left(b_{k}-\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right)<0}\),
co jest jasne, ponieważ pierwszy czynnik jest na mocy założenia indukcyjnego ujemny, a drugi – dodatni.
W szczególności
\(\displaystyle{ b_{k+1}<\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\)
Ponadto zachodzi
\(\displaystyle{ b_{k+1}=b_{k}^{2}+\frac{1}{5}>\left(\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right)^{2}+\frac{1}{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{10}}\)
Zatem ciąg
\(\displaystyle{ (b_{k})}\) jest ograniczony z dołu przez
\(\displaystyle{ \frac{5-\sqrt{5}}{10}}\), z góry przez
\(\displaystyle{ \frac{5+\sqrt{5}}{10}}\) i malejący.
Wobec tego
\(\displaystyle{ a_{n+5}>\frac{5-\sqrt{5}}{10}>\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)^{4}>a_{n-5}^{4}}\)
co kończy dowód.
Jak pisałem, jeśli ktoś by bardzo płakał, mogę dopisać ręczny dowód nierówności
\(\displaystyle{ \frac{5-\sqrt{5}}{10}>\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)^{4}}\) oraz
\(\displaystyle{ g\left(\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)>0}\),
ale to nic ciekawego.
