Witam:) mam takie oto zadanie:
Okrąg \(\displaystyle{ O}\) jest styczny do prostej \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Cięciwa \(\displaystyle{ AB}\) okręgu, jest równoległa to \(\displaystyle{ k}\), punkt \(\displaystyle{ C}\) nalezy do prostej \(\displaystyle{ k}\),a odcinki \(\displaystyle{ AC \ i \ BC}\) odpowiednio przecinaja okrag w punktach \(\displaystyle{ E \ i \ F}\). Wykazać że prosta \(\displaystyle{ EF}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
Pozdrawiam!
[Planimetria] Potęga punktu
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
MarcinT
- Użytkownik
- Posty: 175
- Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 4 razy
[Planimetria] Potęga punktu
Hmm no to tak. Radzę patrzeć na rysunek przy analizowaniu mojego rozwiązania
Bez straty ogólności niech C leży po tej samej stronie D co B (zagadanienie jest symetryczne a to takie założenie żeby łatwiej było dyskutować rozwiązanie).
Po za tym rozważamy sutuację gdy F jest powyżej prostej AB. Przypadek drugi jest analogiczny sam go udowodnisz korzystajac z mojego rozumowania.
Przez punkt prowadzimy prostą równoległą do BC która przecina dany okrąg w punkcie G oraz prostą FE w punkcie H.
Ponieważ CD||AB \(\displaystyle{ \alpha = \angle DCB = \Angle FBC}\)
\(\displaystyle{ \angle FEA = }\) z kątów opartych na tym samym łuku.
Dalej z wierzchołkowych \(\displaystyle{ \angle HEC = }\) z załozenia że DG||BC wynika, że \(\displaystyle{ \angle HDC= }\) zatem punkt HDEC leżą na jednym okręgu.
stąd \(\displaystyle{ \angle EHC = \angle CDE}\) i poniewaz DC jest stycze do okręgu to \(\displaystyle{ \angle CDE=\angle DFE}\) (znane twierdzenie łatwo udowdnisz to tak jakby graniczny przypadek tw o katach opartych na tym samym łuku) zatem FD||HC i DFCH jest równoległobokiem z przekątnymi FH i DC. Jak wiemy przekątne w równoległoboku się połowią, a to daje tezę.
Bez straty ogólności niech C leży po tej samej stronie D co B (zagadanienie jest symetryczne a to takie założenie żeby łatwiej było dyskutować rozwiązanie).
Po za tym rozważamy sutuację gdy F jest powyżej prostej AB. Przypadek drugi jest analogiczny sam go udowodnisz korzystajac z mojego rozumowania.
Przez punkt prowadzimy prostą równoległą do BC która przecina dany okrąg w punkcie G oraz prostą FE w punkcie H.
Ponieważ CD||AB \(\displaystyle{ \alpha = \angle DCB = \Angle FBC}\)
\(\displaystyle{ \angle FEA = }\) z kątów opartych na tym samym łuku.
Dalej z wierzchołkowych \(\displaystyle{ \angle HEC = }\) z załozenia że DG||BC wynika, że \(\displaystyle{ \angle HDC= }\) zatem punkt HDEC leżą na jednym okręgu.
stąd \(\displaystyle{ \angle EHC = \angle CDE}\) i poniewaz DC jest stycze do okręgu to \(\displaystyle{ \angle CDE=\angle DFE}\) (znane twierdzenie łatwo udowdnisz to tak jakby graniczny przypadek tw o katach opartych na tym samym łuku) zatem FD||HC i DFCH jest równoległobokiem z przekątnymi FH i DC. Jak wiemy przekątne w równoległoboku się połowią, a to daje tezę.