[nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 4 razy

[nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi

Post autor: ann_u »

Dany jest czworokąt wpisany w okrąg o bokach długości \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) takich ze \(\displaystyle{ a+b+c+d=1}\). Pokaż ze
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2+4(abc+abd+acd+bcd)<8abcd+\frac{1}{2}}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi

Post autor: bosa_Nike »

Pomysł jest taki, że w sumach cyklicznych $$8abcd+\frac{1}{2}\left(\sum a\right)^4>4\sum a\cdot\sum abc+\sum a^2\cdot\left(\sum a\right)^2$$ jest równoważna $$\left(a^2+b^2+c^2-\frac{d^2}{2}\right)d^2+4abcd+\frac{1}{2}(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0,$$ więc biorąc \(\displaystyle{ d=\min\left\{a,b,c,d\right\}}\) wystarczyłoby dowieść, że z najdłuższych boków cyklicznego czworokąta da się zbudować trójkąt. Myślę, że to wygląda dość obiecująco.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi

Post autor: timon92 »

bosa_Nike pisze: 4 sty 2020, o 19:39 wystarczyłoby dowieść, że z najdłuższych boków cyklicznego czworokąta da się zbudować trójkąt. Myślę, że to wygląda dość obiecująco.
to by faktycznie wystarczyło, ale niestety to nie jest prawda w ogólności :(
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [nierówności] nierówność z czterema niewiadomymi

Post autor: bosa_Nike »

No fakt, to by było zbyt fajne. To drugi pomysł jest taki, że $$\begin{multline*}8abcd+\frac{1}{2}\left(\sum a\right)^4-4\sum a\cdot\sum abc-\sum a^2\cdot\left(\sum a\right)^2\\=\frac{1}{2}(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)=8S^2\ge 0,\end{multline*}$$ gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest polem czworokąta (wzór Brahmagupty).
ODPOWIEDZ