[MIX] Mix matematyczny 40

[mol_ksiazkowy]

1. Dana jest macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}2&0&1&0&2&0\\0&2&0&1&2&0\\1&0&2&0&2&0\\0&1&0&2&2&0\\1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)
W pojedynczej operacji można wybrać dowolną podmacierz kwadratową wymiaru \(\displaystyle{ 1 < k \leq 6}\) i zwiększyć każdy jej element o jeden. Czy można w ten sposób wygenerować macierz której wszystkie elementy są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) ?
2. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-y)^2+z = 6 \\ (y-z)^2+x = 6 \\ (x-z)^2+y = 12. \end{cases}}\)
3. Udowodnić, że każdy ciąg liczb rzeczywistych jest iloczynem dwóch ciągów: monotonicznego i ograniczonego.
4. Dany jest okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\) i punkt \(\displaystyle{ A}\) wewnątrz tego okregu. Wyznaczyć położenie tych punktów okręgu \(\displaystyle{ X}\) , dla których kąt \(\displaystyle{ OXA}\) jest mozliwie największy.
5. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^{x^{x^{2019}}} = 2019.}\)
6. Liczby \(\displaystyle{ x, y}\) są naturalne oraz \(\displaystyle{ \frac{2019}{2020} < \frac{x}{y} < \frac{2020}{2021} }\). Wyznaczyć najmniejszą możliwą wartość \(\displaystyle{ x+y}\).
7. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą i istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ 2a^2-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ p}\).
Udowodnić, że istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ b, c}\) takie że \(\displaystyle{ p = 2b^2 - c^2}\).
8. Ułożono w porządku rosnacym wszystkie nieskracalne ułamki o mianownikach mniejszych niż \(\displaystyle{ 100}\), tj. \(\displaystyle{ \frac{1}{99},..., \frac{a}{b}, \frac{5}{8}, \frac{c}{d}, ..., \frac{98}{99}}\).
Jakie liczby stoją obok ułamka \(\displaystyle{ \frac{5}{8} }\) ?
9. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ ac+bd }\) dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2 }\) to \(\displaystyle{ a^2+b^2 }\) i \(\displaystyle{ c^2+d^2 }\) nie są względnie pierwsze.
10. Na ile sposobów można ustawić na szachownicy kwadratowej wymiaru \(\displaystyle{ n}\) króle: białego i czarnego, w taki sposób aby nie były one w jednym rzędzie, kolumnie ani przekątnej ?
11. Dane są ciągi \(\displaystyle{ P_n}\) i \(\displaystyle{ Q_n}\) które spełniają warunki
\(\displaystyle{ \begin{cases} P_0^2 - NQ_0^2 = 4 \\ P_{n+1}= P_n^2 - 2 \\ Q_{n+1}=Q_nP_n. \end{cases}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim \frac{P_n}{Q_n} = \sqrt{N}.}\)
12. Czy istnieje nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny liczb naturalnych bezkwadratowych ?
13. Wskazać przykład takiego ciągu liczb całkowitych nieujemnych, że dowolna liczba całkowita nieujemna jest sumą trzech wyrazów tego ciągu z których dwa są równe.
14. Rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych równanie \(\displaystyle{ (7a-b)^2 = 2(a-1)b^2.}\)
15. W zbiorze \(\displaystyle{ X}\) określone jest działanie \(\displaystyle{ *}\) i:
i) \(\displaystyle{ x*(x*y) = y}\)
ii) \(\displaystyle{ (y*x)*x = y}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X.}\)
Udowodnić, że to działanie jest przemienne.
16. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\) jeśli \(\displaystyle{ (f(x+y))^2 = f(x)^2+ f(y)^2}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
17. Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Udowodnić że istnieje wielomian trzech zmiennych \(\displaystyle{ x, y, z}\) o współczynnikach całkowitych i taki że \(\displaystyle{ x^n =P(x^n, x^{n+1}, x^{n+2})}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)

[Premislav]

2.:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-y)^2+z = 6 \\ (y-z)^2+x = 6 \\ (x-z)^2+y = 12 \end{cases}}\)
Odejmujemy stronami drugie równanie układu od pierwszego i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-y)^{2}-(y-z)^{2}+z-x=0\\(y-z)^{2}+x=6\\(x-z)^{2}+y=12 \end{cases} \\ \begin{cases}(x-z)(x+z-2y-1)=0\\(y-z)^{2}+x=6\\(x-z)^{2}+y=12 \end{cases} }\)
Oczywiście (skończony) iloczyn liczb rzeczywistych (a nawet zespolonych) jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozważymy dwa przypadki:

1) \(\displaystyle{ x=z}\). Wstawiając to do trzeciego równania układu, mamy natychmiast \(\displaystyle{ y=12}\) i podstawiając \(\displaystyle{ z:=x, \ y:=12}\) do drugiego równania układu dostajemy
\(\displaystyle{ (12-x)^{2}+x=6\\x^{2}-23x+138=0\\\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}+\frac{23}{4}=0}\)
Czyli w tym przypadku nie ma rozwiązań w rzeczywistych (a jak ktoś chce w zespolonych, to wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów).

2) \(\displaystyle{ x+z-2y-1=0}\). Podstawiamy wówczas do drugiego i trzeciego równania układu
\(\displaystyle{ y:=\frac{x+z-1}{2}}\), dostając podukład
\(\displaystyle{ \begin{cases}\left(\frac{x+z-1}{2}-z\right)^{2}+x=6\\(x-z)^{2}+\frac{x+z-1}{2}=12 \end{cases}}\)
Mnożymy pierwsze równanie tego podukładu stronami przez \(\displaystyle{ 8}\), drugie przez \(\displaystyle{ 2}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}2(x-z-1)^{2}+8x=48\\2(x-z)^{2}+x+z-1=24 \end{cases} \ (*)}\)
Odejmujemy stronami to drugie równanie od pierwszego, dostając
\(\displaystyle{ -4(x-z)+2+7x-z+1=24\\x+z=7}\)
Podstawiamy to do drugiego równania podukładu \(\displaystyle{ (*)}\), otrzymując \(\displaystyle{ (x-z)^{2}=9}\), a zatem \(\displaystyle{ x-z=3\vee x-z=-3}\). Ostatecznie sprowadziliśmy nasz układ równań do dwóch układów trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\frac{x+z-1}{2}\\x+z=7\\x-z=3\end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\frac{x+z-1}{2}\\x+z=7\\x-z=-3\end{cases}}\)

W tym pierwszym przypadku rozwiązaniami są \(\displaystyle{ (x,y,z)=(5, 3,2)}\), natomiast w tym drugim otrzymujemy \(\displaystyle{ (x,y,z)=(2,3,5)}\).
Jeśli ktoś chce zaś rozwiązać układ ogólniej, tj. w zespolonych, to dochodzą jeszcze rozwiązania
\(\displaystyle{ (x,y,z)=\left(\frac{23-i\sqrt{23}}{2}, \ 12, \ \frac{23-i\sqrt{23}}{2} \right), \ (x,y,z)=\left(\frac{23+i\sqrt{23}}{2}, \ 12, \ \frac{23+i\sqrt{23}}{2} \right) }\)

[Janusz Tracz]

5:    

Ładnego rozwiązania nie ma \(\displaystyle{ x \approx 1.0036144385968322}\) jest niezłym przybliżeniem

[Gosda]

17

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P(a, b, c) = a}\)

Jeżeli tak nie można, to

\(\displaystyle{ P(a, b, c) = a + b^2 - ac}\)

[mol_ksiazkowy]

17 cd
błąd w treści: poprawnie: \(\displaystyle{ x = P(x^n, x^{n+1}, x+x^{n+2}) }\)

[Premislav]

14.:    

\(\displaystyle{ (7a-b)^{2}=2(a-1)b^{2}}\)
Oczywiście mamy trywialne rozwiązanie \(\displaystyle{ a=b=0}\), dalej załóżmy, że \(\displaystyle{ a\neq 0, \ b\neq 0}\).
Z naszej równości natychmiast wynika, że \(\displaystyle{ b^{2}|(7a-b)^{2}}\), czyli \(\displaystyle{ b|(7a-b)}\), w szczególności \(\displaystyle{ b|7a}\). Zapiszmy zatem \(\displaystyle{ 7a=kb, \ k\in \ZZ}\).
Nasze równanie pomnóżmy przez \(\displaystyle{ 7}\), a dostaniemy
\(\displaystyle{ 7(7a-b)^{2}=2(7a-7)b^{2}}\), tj.
\(\displaystyle{ 7(k-1)^{2}b^{2}=2(kb-7)b^{2}\\7(k-1)^{2}=2kb-14\\b=\frac{7(k-1)^{2}+14}{2k}=\frac{k(7k-14)+21}{2k}}\)
a ponieważ \(\displaystyle{ b}\) jest całkowite, więc \(\displaystyle{ 2b}\) tym bardziej, stąd zachodzi \(\displaystyle{ k|21}\), czyli \(\displaystyle{ k\in\left\{-21, -7, -3,-1,1,3,7,21\right\}}\).
Dla \(\displaystyle{ k=-21}\) mamy \(\displaystyle{ b=\frac{7\cdot 484+14}{-42}=-81}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 7a=kb}\), więc
\(\displaystyle{ 7a=21\cdot 81, \ a=3\cdot 81=243}\).
Dla \(\displaystyle{ k=-7}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ b=\frac{7\cdot 64+14}{-14}=-33}\) i wówczas \(\displaystyle{ 7a=7\cdot 33}\), czyli \(\displaystyle{ a=33}\).
Dla \(\displaystyle{ k=-3}\) dostajemy
\(\displaystyle{ b=\frac{7\cdot 16+14}{-6}=-21}\) i wtedy \(\displaystyle{ a=9}\).
Dla \(\displaystyle{ k=-1}\) mamy
\(\displaystyle{ b=\frac{7\cdot 4+14}{-2}=-21}\) i wówczas \(\displaystyle{ a=3}\).
Dla \(\displaystyle{ k=1}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ b=7, \ a=1}\).
Dla \(\displaystyle{ k=3}\) mamy \(\displaystyle{ b=\frac{7\cdot 4+14}{6}=7, \ 7a=21}\), tj.. \(\displaystyle{ a=3}\).
Dla \(\displaystyle{ k=7}\) dostajemy
\(\displaystyle{ b=\frac{7\cdot 36+14}{14}=19}\) i wtedy też \(\displaystyle{ a=19}\).
Wreszcie dla \(\displaystyle{ k=21}\) mamy
\(\displaystyle{ b=\frac{7\cdot 400+14}{42}=\frac{2814}{42}=67}\) i stąd natychmiast \(\displaystyle{ a=201}\).
Zatem ostatecznie rozwiązaniami naszego równania są:
\(\displaystyle{ (a,b)\in \left\{(0,0), (243, -81), (33, -33), (9, -21), (3, -21), (3,7), (19, 19), (201, 67) \right\}
}\)

Mogłem się rąbnąć w obliczeniach, ale żadnej głębszej idei tu nie ma.

16.:    

\(\displaystyle{ (f(x+y))^2 = f(x)^2+ f(y)^2 }\)
Dziwnie trywialne, znowu błąd
Kładąc \(\displaystyle{ y:=0}\) mamy \(\displaystyle{ f(0)^{2}=0}\), tj. \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Wykorzystujemy to wstawiając w wyjściowym równaniu \(\displaystyle{ y:=-x}\), co natychmiast daje nam
\(\displaystyle{ f(x)^{2}+f(-x)^{2}=0}\)
Ale jeśli \(\displaystyle{ f: \RR\mapsto \RR}\), to stąd wynika, że \(\displaystyle{ (\forall x\in \RR)f(x)=0}\). Funkcja o takiej własności oczywiście spełnia warunki zadania.

[bosa_Nike]

5.:    

Liczba \(\displaystyle{ x=\sqrt[2019]{2019}}\) spełnia to równanie. Ujemnych nie tykam, postaram się pokazać, że \(\displaystyle{ f(x)=x^{x^{x^{2019}}}}\) określona na \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) jest rosnąca.
Mamy $$\begin{aligned}f'(x)&=x^{x^{x^{2019}}+x^{2019}-1}\cdot\left(2019x^{2019}\ln^2x+x^{2019}\ln x+1\right)\\&\ge x^{x^{x^{2019}}+x^{2019}-1}\cdot\left(x^{2019}\ln x+1\right)\\&\ge x^{x^{x^{2019}}+x^{2019}-1}\cdot\left(x^{2019}\left(1-\frac{1}{x}\right)+1\right)\\&\ge x^{x^{x^{2019}}+x^{2019}-1}\cdot\left(x\left(1-\frac{1}{x}\right)+1\right)\\&=x^{x^{x^{2019}}+x^{2019}}\\&> 0\end{aligned}$$ Przejście z linijki drugiej do trzeciej to znane dolne oszacowanie logarytmu naturalnego, przejście z linijki trzeciej do czwartej można sobie rozpisać, jeżeli nie widać od razu, że to oszacowanie jest dobre niezależnie od tego, po której stronie jedynki jest iks.
Funkcja rosnąca w dziedzinie jest tam różnowartościowa, więc istnieje dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie.

[Premislav]

3.:    

Nie wiem, czy taki fortel został przewidziany, ale dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_{n})_{n=0}^{\infty}}\) można zapisać (u mnie jest najpierw ograniczony, a potem monotoniczny)
\(\displaystyle{ a_{n}=b_{n}\cdot c_{n}}\), gdzie
\(\displaystyle{ b_{n}=\begin{cases}0 \text{ gdy }(\forall k\in \left\{0,1\ldots n\right\})a_{k}=0\\\frac{a_{n}}{\max_{k\in \left\{0,1\ldots n\right\}}|a_{k}|} \text { gdy }(\exists k\in\left\{0,1\ldots n\right\})a_{k}\neq 0\end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ c_{n}=\max_{k\in \left\{0,1\ldots n\right\}}|a_{k}|}\).
Ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})_{n=0}^{\infty}}\) jest w sposób oczywisty ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\) i z dołu przez \(\displaystyle{ -1}\), wszak
\(\displaystyle{ \left|\frac{a_{n}}{\max_{k\in \left\{0,1\ldots n\right\}}|a_{k}|}\right|\le \left|\frac{a_{n}}{|a_{n}|}\right|=1}\).
Natomiast ciąg \(\displaystyle{ (c_{n})_{n=0}^{\infty}}\) jest niemalejący, ponieważ dorzucając kolejną liczbę rzeczywistą do zbioru, nie zmniejszymy jego maksimum. Troszeczkę trudniej może być, gdyby było wymaganie wskazania ciągu ściśle monotonicznego, tj. ściśle rosnącego lub ściśle malejącego, ale wówczas można wziąć np. \(\displaystyle{ b_{n}=\frac{a_{n}}{n+\max_{0\le k\le n}|a_{k}|}, \\\ c_{n}=n+\max_{0\le k\le n}|a_{k}|}\) z zastrzeżeniem, że jeśli \(\displaystyle{ a_{0}=0}\), to \(\displaystyle{ b_{0}=0}\).

[mol_ksiazkowy]

12

Ukryta treść:    

nie; jeśli \(\displaystyle{ a_n = a_1+ (n-1 )r}\) to dla \(\displaystyle{ m= 1+ a_1(r+2)}\) jest \(\displaystyle{ a_m = a_1(r+1)^2}\)

[Dasio11]

15:    

\(\displaystyle{ y \ast x = y \ast \Big( \big( x \ast (x \ast y) \big) \ast (x \ast y) \Big) = y \ast \big( y \ast ( x \ast y ) \big) = x \ast y}\)

[kerajs]

4:    

a)
Dla okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\) wybieram punkt \(\displaystyle{ A=(a,0)}\) gdzie \(\displaystyle{ 0<a<r}\).
Na górnym półokręgu wybieram punkt \(\displaystyle{ X=(x, \sqrt{r^2-x^2} )}\).
Z iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \vec{XO} \circ \vec{XA}}\) mam:
\(\displaystyle{ (a-x)(-x)+ \sqrt{r^2-x^2}\sqrt{r^2-x^2} =r\sqrt{a^2-2ax+r^2}\cos \alpha \\
\alpha (x)=\arccos \left( \frac{1}{r} \cdot \frac{r^2-ax}{\sqrt{a^2-2ax+r^2}}\right) \\
\alpha' (x) =0 \Leftrightarrow x=a }\)
Szukane punkty leżą na przecięciu okręgu z prostą która: przechodzi przez A i jest prostopadła do prostej OA.

b)
Niech AO będzie cięciwą rodziny okręgów. Punkty ich dłuższych łuków (w tym i wspólne z danym okręgiem nazywane X) opartych na AO są wierzchołkami tego samego kąta wpisanego, tym większego im mniejszy jest promień okręgu. Największy kąt będzie miał okrąg styczny do okręgu danego, gdyż okręgi z mniejszym promieniem nie mają punktów wspólnych z danym okręgiem. Gdy AO jest cięciwą okręgu wewnętrznie stycznego z okręgiem danym, to punkty styczności X leżą na przecięciu danego okręgu z prostą która: przechodzi przez A i jest prostopadła do cieciwy OA.

6:    

\(\displaystyle{ \frac{2019}{2020} < \frac{x}{y} < \frac{2020}{2021} \\
\frac{2019}{2020} < \frac{x}{x+r} < \frac{2020}{2021} \wedge r \in \NN_+ \\
\frac{x}{2019}<r< \frac{x}{2020}
}\)
Dla \(\displaystyle{ r=1}\) dostaję układ sprzeczny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>2019 \\ x<2020 \end{cases} }\)
Dla \(\displaystyle{ r=2}\) dostaję układ :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x>4038 \\ x<4040 \end{cases} }\)
który ma tylko jedno naturalne rozwiązanie \(\displaystyle{ x=4039}\)
Dla większych r układy mają więcej rozwiązań, lecz każdy możliwy x jest większy od 4039.
Najmniejsza możliwa wartość:
\(\displaystyle{ x+y=2x+r=2 \cdot 4039+2=8080}\)

Dodano po 33 minutach 10 sekundach:

10:    

Czyli ile jest takich ustawień dwóch hetmanów aby się nie można było jednego zbić.
Hetman bije każde pole w rzędzie i kolumnie na której stoi. Ponadto pola na dwóch łamanych (pole z hetmanem jest polem załamania) : łamanej miedzy dwoma przeciwległymi brzegami (o długości n) i krótszej o długości [lurl]2k+1[/lurl] (gdzie k to odległość pola z hetmanem od najbliższego brzegu szachownicy). Dlatego należy osobno rozważać punkt o tych samych k)
Pól na brzegu szachownicy (k=0) jest \(\displaystyle{ 4(n-1)}\), a pól bitych przez hetmana stojącego na dowolnym z nich:\(\displaystyle{ (3n-2)}\)
Pól odległych od brzegu szachownicy o jedno pole (k=1) jest \(\displaystyle{ 4(n-3)}\), a pól bitych przez hetmana stojącego na dowolnym z nich: \(\displaystyle{ (3n-2+2)}\)
Pól odległych od brzegu szachownicy o k pól (\(\displaystyle{ k \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\) ) jest \(\displaystyle{ 4(n-1-2k)}\), a pól bitych przez hetmana stojącego na dowolnym z nich: \(\displaystyle{ (3n-2+2k)}\)
Stąd ilość ustawień to:
dla n parzystych:
\(\displaystyle{ \left[ 4(n-1)\right]\left[ n^2-(3n-2)\right] + \left[ 4(n-3)\right]\left[ n^2-(3n-2+2)\right]+...\left[ 4(n-1-2k)\right]\left[ n^2-(3n-2+2k)\right] +....\left[ 4 \cdot (1)\right]\left[ n^2-(3n-2+2( \frac{n}{2}-1 ))\right] }\)
dla n nieparzystych:
\(\displaystyle{ \left[ 4(n-1)\right]\left[ n^2-(3n-2)\right] + \left[ 4(n-3)\right]\left[ n^2-(3n-2+2)\right]+...\left[ 4(n-1-2k)\right]\left[ n^2-(3n-2+2k)\right] +....\left[ 4 \cdot (2)\right]\left[ n^2-(3n-2+2( \frac{n-1}{2}-1 ))\right]+1\left[ n^2-(3n-2+n-1)\right] }\)

[arek1357]

zad. 11

Ukryta treść:    

No mam dług i muszę go skończyć nie lubię rzeczy rozpapranych a zadanie jest ciekawe:

\(\displaystyle{ P_{n+1}=P_{n}^2-2}\)

Przyjmijmy ,że.: \(\displaystyle{ P_{0}=a , Q_{0}=b}\)

łatwo się domyślić podstawiając kolejne, że wzór jawny winien wyglądać mniej więcej tak:

\(\displaystyle{ P_{n}=2\cos(2^n arccos \frac{a}{2}) }\)

ale musi być: \(\displaystyle{ a>2}\) więc arcuscosinus wyjdzie ponad rzeczywiste i wejdziemy w zespolone:

i będzie zgodnie z oczekiwaniem:


\(\displaystyle{ arccos \frac{a}{2}=i \int_{0}^{ \frac{a}{2} } \frac{dx}{ \sqrt{x^2-1} }=i \ln \left( \sqrt{ \frac{a^2}{4}-1 } + \frac{a}{2} \right) }\)


dzięki temu nasz ciąg można łatwo i ładnie zapisać:

\(\displaystyle{ P_{n}=2\cos\left[ 2^ni ln \left( \sqrt{ \frac{a^2}{4}-1 }+ \frac{a}{2} \right) \right]=}\)

\(\displaystyle{ =2 \frac{e^{-2^n ln \left( \sqrt{ \frac{a^2}{4}-1 }+ \frac{a}{2} \right)}+e^{2^n ln \left( \sqrt{ \frac{a^2}{4}-1 }+ \frac{a}{2} \right)}}{2}= }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{\left( \sqrt{ \frac{a^2}{4}-1 }+ \frac{a}{2} \right)^{2^n}} +\left( \sqrt{ \frac{a^2}{4}-1 }+ \frac{a}{2} \right)^{2^n}}\)

Lub zgrabniej:

\(\displaystyle{ P_{n}=\left( \frac{2}{s} \right)^{2^n}+ \left( \frac{s}{2} \right)^{2^n} , s= \sqrt{a^2-4}+2 }\)

To jest najładniejsza postać naszego ciągu.: \(\displaystyle{ P_{n}}\)

Teraz zajmijmy się drugim ciągiem Q , z warunków zadania:

\(\displaystyle{ Q_{n+1}=Q_{n}P_{n}}\)

co da nam:

\(\displaystyle{ Q_{1}=Q_{0}P_{0}=ab}\)

\(\displaystyle{ Q_{2}=Q_{1}P_{1}=abP_{1}}\)

\(\displaystyle{ Q_{3}=abP_{1}P_{2}}\)

...............................................................

\(\displaystyle{ Q_{n}=abP_{1}P_{2}P_{3} \cdot ... \cdot P_{n-1}}\)


Mamy obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{P_{n}}{abP_{1}P_{2}P_{3} \cdot ... \cdot P_{n-1}}= }\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{ \left( \frac{2}{s}\right)^{2^n}+\left( \frac{s}{2}\right)^{2^n} }{ab\left[ \left( \frac{2}{s}\right)^{2^1}+\left( \frac{s}{2}\right)^{2^1}\right]\left[ \left( \frac{2}{s}\right)^{2^2}+\left( \frac{s}{2}\right)^{2^2}\right] \cdot ... \cdot \left[ \left( \frac{2}{s}\right)^{2^{n-1}}+\left( \frac{s}{2}\right)^{2^{n-1}}\right] } }\)

Granicę tę ładnie obliczył a4karo o tutaj:

viewtopic.php?p=5594924#p5594924

A Premislav zepsuł zabawę , wobec tego nasza granica wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ab} \left[ \left( \frac{s^2}{2} \right)^2-\left( \frac{2}{s} \right)^2 \right] = \frac{1}{ab}\left[ \frac{ \left( \sqrt{a^2-4}+a \right)^2 }{4} - \frac{4}{\left( \sqrt{a^2-4}+a\right)^2 } \right] }\)

I teraz musicie mi uwierzyć na słowo , że to co w kwadratowym nawiasie bardzo łanie się skraca po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i podniesieniu do drugiej i czwartej potęgi (nie będę robił tu szkółki niedzielnej) do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{-4a \sqrt{a^2-4} }{-4ab} = \frac{ \sqrt{a^2-4} }{b} }\)

Ale z warunków zadania mamy, że:

\(\displaystyle{ a^2=4+b^2N}\)

z tego:

\(\displaystyle{ \sqrt{ a^2-4}=b \sqrt{N} }\)

po podstawieniu do naszej granicy otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a^2-4} }{b}= \frac{b \sqrt{N} }{b} = \sqrt{N} }\)

Czyli wyszło tyle ile powinno wyjść , najbardziej dla mnie ciekawą kwestią w tym zadaniu jak łatwo się domyśleć była zamiana z postaci rekurencyjnej na jawną..., końcówka zadania z warunków to był tylko kwiatek do kożucha... mało istotny...

[Elayne]

Ad 8.:    

Drzewko Sterna-Brocota-Bauma
\(\displaystyle{ 53/85, \ 58/93, \ 5/8, \ 62/99, \ 57/91}\)

[arek1357]

zad. 9 mi się nie podoba bo połóżmy:

\(\displaystyle{ a=6 , b=10}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2=136=2 \cdot 68}\)

\(\displaystyle{ c=2 , d=-1}\)

\(\displaystyle{ 6 \cdot 2+10 \cdot (-1)=2|a^2+b^2=136}\)

ale niestety:

\(\displaystyle{ (136,2^2+(-1)^2=5)=1}\)

co przeczy tezie...

[mol_ksiazkowy]

9 cd

Ukryta treść:    

zad. 9 mi się nie podoba

Liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są w założeniu całkowite dodatnie...

Dodano po 15 godzinach 59 minutach 6 sekundach:
7 cd

Ukryta treść:    

W rozwiązaniu należy/ można (?) zastosować
Twierdzenie Thue
Jeśli \(\displaystyle{ m >1}\) jest liczbą naturalną, zaś \(\displaystyle{ k}\) największą liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ k^2 \leq m}\), zaś \(\displaystyle{ a}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ m}\) to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\) :
\begin{cases} 0< x \leq k\\ 0< |y| \leq k \\ ax \equiv y \ (mod \ m) \end{cases}