[MIX] Taki sobie mix

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Taki sobie mix

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Czy można określić w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ }\) działanie \(\displaystyle{ *}\), które:
i) \(\displaystyle{ x*(y*z) = (x*y)*z = y }\) (tj. łączność)
ii) \(\displaystyle{ x*x*y = y*x*x = y }\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in \ZZ }\)
2. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \QQ^{+} \to \ZZ}\) dla których
i) \(\displaystyle{ f (\frac{1}{x}) = f(x)}\)
ii) \(\displaystyle{ (x+1)f(x-1) = xf(x)}\)
dla \(\displaystyle{ x>1}\).
3. Rozwiązać układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 \leq -j +k +l \leq n \\ 1 \leq i-k +l \leq n \\ 1 \leq i-j+l \leq n \\ 1 \leq i+j -k \leq n \end{cases}}\)
w zbiorze liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ n}\) .
4. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą, a \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) będą liczbami pierwszymi takimi, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ q^r+1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2r}\) dzieli \(\displaystyle{ p -1}\) lub \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ q^2-1}\)
5. Czy bryła przestrzenna, której dowolny przekrój płaszczyzną jest kołem musi być kulą ?
6. Na kulistej planecie wylądowały trzy statki z ufoludkami; Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylądują one na jednej półkuli (tj. że istnieje koło wielkie nie rozdzielające tych punktów) ?
7. W trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest na boku \(\displaystyle{ BC}\), a punkty \(\displaystyle{ I_1, I_2}\) są środkami okręgów wspisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ACD}\). Proste \(\displaystyle{ BI_2}\) i \(\displaystyle{ CI_1}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ K}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A, K, D}\) są współliniowe tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ AD}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\).
8. Czy istnieją rosnące postępy arytmetyczne liczb naturalnych dowolnej długości, których każde dwa wyrazy sa względnie pierwsze ?
9. Połączono skończoną liczbę punktów strzałkami w taki sposób, że każde dwa są polączone. Udowodnić, że istnieje centrum tj. punkt, z którego można dojść do każdego innego w co najwyżej dwóch krokach, idąc zgodnie z kierunkiem strzałek.
10. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+1}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{x+1}} =2 \\ \sqrt{\frac{x+1}{2+y}} - \sqrt{\frac{y+2}{x+1}} = \frac{3}{2} .\end{cases}}\)
11. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą naturalną to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ 2^b -1 }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a }\) .
12. Kiedy zbiór \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \} }\) można rozłożyć na trzy podzbiory rozłączne o równej sumie elementów ?
13. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f }\) dla których \(\displaystyle{ f (f(k+1)+ 3 ) = k }\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ k }\) ) gdy \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją określoną na zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ }\) i o wartościach w tym zbiorze.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2019, o 22:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: Premislav »

10.:    
11. bullshit:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: arek1357 »

zad. 12:
Ukryta treść:    
Dodano po 3 godzinach 12 minutach 43 sekundach:
zad. 6

Oczywiście prawdopodobieństwo będzie 1 bo każde dwa różne punkty definiują okrąg wielki, który dzieli kulę na dwie półkule a punkt trzeci należy do ,
którejś z dwóch półkul a to nie zmienia sytuacji...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: Premislav »

4.:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: timon92 »

1:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: arek1357 »

tak na szybko w drugim wyszło mi:

\(\displaystyle{ f\left( \frac{a}{b}\right) = \frac{a+b}{3}s , a,b \in \ZZ^+ , a>b, s=f(2) , a+b>3 }\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2019, o 10:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: Premislav »

Moja odpowiedź będzie nieco mniej lakoniczna.
2.:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: arek1357 »

Premislaw tam na początku napisałeś f(1) I może to wywołać zgrzyt i dlatego nie napisałem od f(1) tylko od f(2)

Dodano po 3 godzinach 9 minutach 56 sekundach:
zad.13
Ukryta treść:    
Dodano po 7 godzinach 18 minutach 59 sekundach:
I ta rekurencja jest rozwiązaniem zadania...
Choć można jawnie...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: Premislav »

8.:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: arek1357 »

Aneks do zadania 13 stego...

Muszę z tym skończyć bo pomysł ok ale i tak jeszcze była to daleka droga przed końcem, pokażę szkic ale nie całkiem lakoniczny, żeby mi nikt nic nie zarzucał...
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: Nierozwiązane są 5, 7 i 9 te... :idea:
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Taki sobie mix

Post autor: kerajs »

mol_ksiazkowy pisze: 26 lis 2019, o 11:53 :arrow: Nierozwiązane są 5, 7 i 9 te... :idea:
I jeszcze zadanie 3. Swoją drogą dziwne jest polecenie w tym zadaniu, skoro rozwiązań tylko dla \(\displaystyle{ j=k}\) jest \(\displaystyle{ \frac{n(2n^2+1)}{3} }\) (dla wygody założyłem że zero nie jest liczbą naturalną). Trochę kłopotliwe byłoby ich wypisywanie, a przecież to tylko część rozwiązań.

9:    
ODPOWIEDZ