[MIX] Taki sobie mix
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
[MIX] Taki sobie mix
1. Czy można określić w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ }\) działanie \(\displaystyle{ *}\), które:
i) \(\displaystyle{ x*(y*z) = (x*y)*z = y }\) (tj. łączność)
ii) \(\displaystyle{ x*x*y = y*x*x = y }\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in \ZZ }\)
2. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \QQ^{+} \to \ZZ}\) dla których
i) \(\displaystyle{ f (\frac{1}{x}) = f(x)}\)
ii) \(\displaystyle{ (x+1)f(x-1) = xf(x)}\)
dla \(\displaystyle{ x>1}\).
3. Rozwiązać układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 \leq -j +k +l \leq n \\ 1 \leq i-k +l \leq n \\ 1 \leq i-j+l \leq n \\ 1 \leq i+j -k \leq n \end{cases}}\)
w zbiorze liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ n}\) .
4. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą, a \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) będą liczbami pierwszymi takimi, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ q^r+1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2r}\) dzieli \(\displaystyle{ p -1}\) lub \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ q^2-1}\)
5. Czy bryła przestrzenna, której dowolny przekrój płaszczyzną jest kołem musi być kulą ?
6. Na kulistej planecie wylądowały trzy statki z ufoludkami; Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylądują one na jednej półkuli (tj. że istnieje koło wielkie nie rozdzielające tych punktów) ?
7. W trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest na boku \(\displaystyle{ BC}\), a punkty \(\displaystyle{ I_1, I_2}\) są środkami okręgów wspisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ACD}\). Proste \(\displaystyle{ BI_2}\) i \(\displaystyle{ CI_1}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ K}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A, K, D}\) są współliniowe tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ AD}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\).
8. Czy istnieją rosnące postępy arytmetyczne liczb naturalnych dowolnej długości, których każde dwa wyrazy sa względnie pierwsze ?
9. Połączono skończoną liczbę punktów strzałkami w taki sposób, że każde dwa są polączone. Udowodnić, że istnieje centrum tj. punkt, z którego można dojść do każdego innego w co najwyżej dwóch krokach, idąc zgodnie z kierunkiem strzałek.
10. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+1}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{x+1}} =2 \\ \sqrt{\frac{x+1}{2+y}} - \sqrt{\frac{y+2}{x+1}} = \frac{3}{2} .\end{cases}}\)
11. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą naturalną to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ 2^b -1 }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a }\) .
12. Kiedy zbiór \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \} }\) można rozłożyć na trzy podzbiory rozłączne o równej sumie elementów ?
13. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f }\) dla których \(\displaystyle{ f (f(k+1)+ 3 ) = k }\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ k }\) ) gdy \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją określoną na zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ }\) i o wartościach w tym zbiorze.
i) \(\displaystyle{ x*(y*z) = (x*y)*z = y }\) (tj. łączność)
ii) \(\displaystyle{ x*x*y = y*x*x = y }\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in \ZZ }\)
2. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \QQ^{+} \to \ZZ}\) dla których
i) \(\displaystyle{ f (\frac{1}{x}) = f(x)}\)
ii) \(\displaystyle{ (x+1)f(x-1) = xf(x)}\)
dla \(\displaystyle{ x>1}\).
3. Rozwiązać układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 \leq -j +k +l \leq n \\ 1 \leq i-k +l \leq n \\ 1 \leq i-j+l \leq n \\ 1 \leq i+j -k \leq n \end{cases}}\)
w zbiorze liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ n}\) .
4. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą, a \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) będą liczbami pierwszymi takimi, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ q^r+1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2r}\) dzieli \(\displaystyle{ p -1}\) lub \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ q^2-1}\)
5. Czy bryła przestrzenna, której dowolny przekrój płaszczyzną jest kołem musi być kulą ?
6. Na kulistej planecie wylądowały trzy statki z ufoludkami; Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylądują one na jednej półkuli (tj. że istnieje koło wielkie nie rozdzielające tych punktów) ?
7. W trójkacie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest na boku \(\displaystyle{ BC}\), a punkty \(\displaystyle{ I_1, I_2}\) są środkami okręgów wspisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ACD}\). Proste \(\displaystyle{ BI_2}\) i \(\displaystyle{ CI_1}\) mają punkt wspólny \(\displaystyle{ K}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A, K, D}\) są współliniowe tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ AD}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\).
8. Czy istnieją rosnące postępy arytmetyczne liczb naturalnych dowolnej długości, których każde dwa wyrazy sa względnie pierwsze ?
9. Połączono skończoną liczbę punktów strzałkami w taki sposób, że każde dwa są polączone. Udowodnić, że istnieje centrum tj. punkt, z którego można dojść do każdego innego w co najwyżej dwóch krokach, idąc zgodnie z kierunkiem strzałek.
10. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+1}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{x+1}} =2 \\ \sqrt{\frac{x+1}{2+y}} - \sqrt{\frac{y+2}{x+1}} = \frac{3}{2} .\end{cases}}\)
11. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą naturalną to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ 2^b -1 }\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a }\) .
12. Kiedy zbiór \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \} }\) można rozłożyć na trzy podzbiory rozłączne o równej sumie elementów ?
13. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f }\) dla których \(\displaystyle{ f (f(k+1)+ 3 ) = k }\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ k }\) ) gdy \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją określoną na zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ }\) i o wartościach w tym zbiorze.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2019, o 22:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5743
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Re: [MIX] Taki sobie mix
zad. 12:
Dodano po 3 godzinach 12 minutach 43 sekundach:
zad. 6
Oczywiście prawdopodobieństwo będzie 1 bo każde dwa różne punkty definiują okrąg wielki, który dzieli kulę na dwie półkule a punkt trzeci należy do ,
którejś z dwóch półkul a to nie zmienia sytuacji...
Ukryta treść:
zad. 6
Oczywiście prawdopodobieństwo będzie 1 bo każde dwa różne punkty definiują okrąg wielki, który dzieli kulę na dwie półkule a punkt trzeci należy do ,
którejś z dwóch półkul a to nie zmienia sytuacji...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5743
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Re: [MIX] Taki sobie mix
tak na szybko w drugim wyszło mi:
\(\displaystyle{ f\left( \frac{a}{b}\right) = \frac{a+b}{3}s , a,b \in \ZZ^+ , a>b, s=f(2) , a+b>3 }\)
\(\displaystyle{ f\left( \frac{a}{b}\right) = \frac{a+b}{3}s , a,b \in \ZZ^+ , a>b, s=f(2) , a+b>3 }\)
Ostatnio zmieniony 18 lis 2019, o 10:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5743
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Re: [MIX] Taki sobie mix
Premislaw tam na początku napisałeś f(1) I może to wywołać zgrzyt i dlatego nie napisałem od f(1) tylko od f(2)
Dodano po 3 godzinach 9 minutach 56 sekundach:
zad.13
Dodano po 7 godzinach 18 minutach 59 sekundach:
I ta rekurencja jest rozwiązaniem zadania...
Choć można jawnie...
Dodano po 3 godzinach 9 minutach 56 sekundach:
zad.13
Ukryta treść:
I ta rekurencja jest rozwiązaniem zadania...
Choć można jawnie...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5743
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Re: [MIX] Taki sobie mix
Aneks do zadania 13 stego...
Muszę z tym skończyć bo pomysł ok ale i tak jeszcze była to daleka droga przed końcem, pokażę szkic ale nie całkiem lakoniczny, żeby mi nikt nic nie zarzucał...
Muszę z tym skończyć bo pomysł ok ale i tak jeszcze była to daleka droga przed końcem, pokażę szkic ale nie całkiem lakoniczny, żeby mi nikt nic nie zarzucał...
Ukryta treść:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: [MIX] Taki sobie mix
I jeszcze zadanie 3. Swoją drogą dziwne jest polecenie w tym zadaniu, skoro rozwiązań tylko dla \(\displaystyle{ j=k}\) jest \(\displaystyle{ \frac{n(2n^2+1)}{3} }\) (dla wygody założyłem że zero nie jest liczbą naturalną). Trochę kłopotliwe byłoby ich wypisywanie, a przecież to tylko część rozwiązań.
9: