[Równania funkcyjne] Wyznacz wszystkie funkcje f(x)...

[electronegativity]

Witam,
mam problem z jednym prostym zadaniem z równań funkcyjnych, może ktoś pomoże?
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\) spełniające równanie funkcyjne:
\(\displaystyle{ xf(x)+2f(x-1)=3}\)
Z góry dziękuję za pomoc

[Premislav]

Skąd masz to zadanie? Ja bym się prędzej spodziewał czegoś pokroju
\(\displaystyle{ xf(x)+2f({\red 1-x})=3}\),
wtedy jest to zadanie konkursowe na niskim poziomie trudności, podstawiasz \(\displaystyle{ x:=1-x}\) i dopisujesz drugie równanie z tego wynikające, traktujesz to jak układ równań ze względu na \(\displaystyle{ f(x), \ f(1-x)}\), i już…

Polecam sprawdzić treść (tak jak stoi, o ile się nie pomyliłem to rozwiązań jest bardzo dużo i są one naprawdę brzydkie).

[electronegativity]

Dostałam je od nauczyciela jako jedno z zadań przygotowujących do sprawdzianu. Robiłam już podobne i też na pierwszy rzut oka zauważyłam, że może jest błąd i powinno być \(\displaystyle{ 1-x}\). Wtedy wiedziałabym co zrobić. Niestety sprawdzałam dwa razy i jest \(\displaystyle{ x-1}\). Na zajęciach nie rozwiązywaliśmy trudniejszych zadań z równań funkcyjnych, tylko takie na proste podstawianie itp., dlatego nie mam pomysłu jak to rozwiązać. Chyba jak jednak jest na to jakiś prosty sposób? Będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc lub wskazówki.

[arek1357]

wtedy jest to zadanie konkursowe na niskim poziomie trudności,

Tak masz rację , ale gdy zostaniemy przy.:\(\displaystyle{ x-1}\) , a nie jak sugerujesz.: \(\displaystyle{ 1-x}\)

wtedy zadanie to pozostanie niestety na wysokim stopniu trudności...

-- 12 czerwca 2019, 10:10 --

Proponuję trudniejszą wersję-- 12 czerwca 2019, 10:33 --

"Wymagajcie od siebie nawet wtedy gdyby inni od was nie wymagali"

[a4karo]

Wyliczasz \(\displaystyle{ f(-1)}\) i na przedziale \(\displaystyle{ [-1,0]}\) bierzesz dowolną funkcje. A potem konstruujesz rozwiązanie na przedziałach \(\displaystyle{ (1,2]}\), \(\displaystyle{ (2,3]}\)... Tak samo na lewej polprostej

[arek1357]

Niestety zahaczyło o funkcje specjalne, ale ciekawe zadanko...

Zmutowana funkcja specjalna Gamma.: \(\displaystyle{ \Gamma(x,y)}\)


\(\displaystyle{ \Gamma(x,y)= \int_{y}^{ \infty }t^{x-1}e^{-t}dt}\)

oraz funkcja specjalna:

\(\displaystyle{ Ei(x)= \int_{- \infty }^{x} \frac{e^t}{t}dt}\)

Korzystałem z słynnego wzoru:

\(\displaystyle{ \Gamma(x,s)=(x-1)\Gamma(x-1,s)+s^{x-1}e^{-s}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3e^2\Gamma(-x,2)}{2^{-x}}}\)

łatwo wyliczyć, że:

\(\displaystyle{ f(1)=3+6e^2 Ei(-2)}\)

\(\displaystyle{ f(0)=-3e^2 Ei(-2)}\)

\(\displaystyle{ f(-1)= \frac{3}{2}}\)


I łatwo sprawdzić ,ze nasza funkcja spełnia:

\(\displaystyle{ xf(x)+2f(x-1)=3}\)

bo:

\(\displaystyle{ f(x-1)= \frac{3e^2\Gamma(-x+1,2)}{2^{-x+1}} = \frac{-3e^2x\Gamma(-x,2)+3e^{2}2^{-x}e^{-2}}{2 \cdot 2^{-x}}=\frac{-3e^2x\Gamma(-x,2)+3 \cdot 2^{-x}}{2 \cdot 2^{-x}}}\)

Wystarczy podstawić...

Jakby kto pytał to na rozwiązanie i nalezienie takiej właśnie niepełnej funkcji Gamma wpadłem stosując metody kombinatoryczne...

Zmazałem początek bo był już niepotrzebny...