2. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+3x +\log \left( 2x+1 \right) = y \\ y^3+3y + \log \left( 2y+1 \right) = x. \end{cases}}\)
3. Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = ax^2-bx+c}\) i \(\displaystyle{ 0<|a| <1}\) oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} f \left( a \right) = -b \\ f \left( b \right) = -a \end{cases}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ |c| <3.}\)
4. Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ | 5x^2 +11xy - 5y^2|}\) gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) są liczbami całkowitymi oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2 >0.}\)
5. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2}{x} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3}{x} \right\rfloor =6.}\)
6. Dane są słowa złożone z \(\displaystyle{ a}\) liter a i z \(\displaystyle{ b}\) liter b, z których wylosowane jest jedno. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że w takim słowie występuje \(\displaystyle{ n}\) tka.
Uwagi: \(\displaystyle{ n}\) tka to słowo \(\displaystyle{ …b \underbrace{a…a}_{n} b…}\) lub \(\displaystyle{ …a \underbrace{b…b}_{n} a…}\)
7. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f_j}\) jest ciągiem liczb całkowitych dodatnich, w którym \(\displaystyle{ f_n \geq 1+ f_1…f_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n =1, 2, 3,…}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{f_n}}\) jest liczbą niewymierną.
8. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) ma sens wyrażenie \(\displaystyle{ \underbrace{\ln \left( \ln \left( … \ \left( \ln \left( n \right) \right) \right) \right)}_{n}}\) ?
9. Na płaszczyźnie jest nieskończona ilość modliszek przy czym żadne dwie z nich nie są w bliższej odległości od siebie niż 2 metry. Modliszka umiera gdy przez 10 minut nie zje żadnej innej modliszki. Modliszki przemieszczają się po prostych z prędkością 10 m/min. Udowodnić, ze po 15 minutach wszystkie modliszki będą martwe.
10. Obliczyć \(\displaystyle{ \int \ln \left( \frac{1}{\ln \left( \frac{1}{\ln x} \right) } \right) dx.}\)
11. Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{x^3+y^3+z^3- \frac{1}{x^3} - \frac{1}{y^3} - \frac{1}{z^3} }{x+y+z - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z} }}\)
dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ x, y, z}\) przy założeniu \(\displaystyle{ xyz=1.}\)
12. Rozwiązać nierówność funkcyjną \(\displaystyle{ f \left( xy \right) \leq \frac{1}{2} \left( f \left( x \right) + f \left( y \right) \right) .}\)
13. Czy można trzynastoma prostymi rozdzielić szachownicę w taki sposób by dowolny z powstałych obszarów miał dokładnie jeden środek ze wszystkich pól szachownicy ?
14. Średnica zbioru \(\displaystyle{ X}\) punktów na płaszczyźnie to dowolny odcinek o maksymalnej długości i o końcach ze zbioru \(\displaystyle{ X}\). Udowodnić, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) ma \(\displaystyle{ n}\) elementów, to ma co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) średnic.
Uwagi: \(\displaystyle{ n \geq 3}\)
15. Rozwiązać równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ f \left( yf \left( x+y \right) + f \left( x \right) \right) = 4x+ 2yf \left( x+y \right)}\)
dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
16. Jaki będzie następny wyraz w ciągu: \(\displaystyle{ -1, 1, 1, 2, 5, 10, 22, 47, …}\) ?
17. Cząstka \(\displaystyle{ \alpha}\) przemieszcza się w z prędkością \(\displaystyle{ v_1}\) startując z punktu \(\displaystyle{ \left( x_1, y_1 \right)}\), zaś cząstka \(\displaystyle{ \beta}\) z prędkością \(\displaystyle{ v_2}\) startując z punktu \(\displaystyle{ \left( x_2, y_2 \right)}\) przy czym cząstki te przemieszczają się po prostych do siebie prostopadłych. Wyznaczyć najmniejszą odległość między tymi cząstkami oraz warunek przy którym nie zderzą się one ze sobą.
18. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+z^2+t^2= 4 \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 5 - \frac{1}{ \left( xyzt \right) ^2} .\end{cases}}\)
19. Czy jeśli \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) jest funkcją taką, że \(\displaystyle{ f \left( x \right) - f \left( y \right) = 1}\) gdy \(\displaystyle{ x-y=1}\), to \(\displaystyle{ f}\) jest liniową ?
20. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x - \sqrt{yz} =42 \\ y- \sqrt{xz} =6 \\ z - \sqrt{xy} =-30. \end{cases}}\)
21. Udowodnić że ciąg określony rekurencją \(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{6+6a_n}{7+a_n}}\) jest zbieżny (niezależnie od \(\displaystyle{ a_0}\))
22. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ \frac{x \left( x+2 \right) }{2x^2+1} + \frac{y \left( y+2 \right) }{2y^2+1} + \frac{z \left( z+2 \right) }{2z^2+1} \geq 0.}\)
23. Na płaszczyźnie umieścić nieskończoną ilość identycznych kół o średnicy mniejszej niż \(\displaystyle{ 2}\) w taki sposób, aby odległość dowolnych dwóch punktów z tych kół nie była liczbą całkowitą.
24. Profesor Kontrawariantny ma talię \(\displaystyle{ n}\) kart w której są trzy Jokery. Po wytasowaniu talii wykłada na stół kolejne karty, odkrywając je, aż do momentu gdy zostanie odkryty drugi Joker. Wyznaczyć wartość oczekiwaną liczby wyłożonych kart.
25. Rozstrzygnąć czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN}\), takie, że dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ f \left( n \right) + f \left( n+1 \right) = 2n+2.}\)
Czy odpowiedź będzie inna jeśli \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ}\) ?
26. Dany jest trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\). Na przedłużeniu każdego boku są odłożone po obu stronach odcinki o długościach pozostałych boków. (np. bok na boku \(\displaystyle{ a}\) będą to odcinki o długościach \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ b}\)). W taki sposób są trzy odcinki o równych długościach. Udowodnić, że te sześć punktów tj. końce tych odcinków jest współokręgowych.
27. Udowodnić, że jeśli dwie proste styczne do elipsy są równoległe to prosta łącząca punkty styczności przechodzi przez środek elipsy. Czy także na odwrót ?
28. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x|x|+ y|y|=1 \\ \lfloor x \rfloor + \lfloor x \rfloor = 1. \end{cases}}\)
29. N i e r ó w n o ś ć z cechą i mantysą; Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{ \lfloor x \rfloor}{3x+ \left\{ x \right\} }+ \frac{ \left\{ x \right\} }{3x+ \lfloor x \rfloor } > \frac{4}{15}.}\)
30. Zbadać czy istnieje funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ f}\) taka, że \(\displaystyle{ f \left( x \right) - f \left( x \right) ^2 \geq \frac{1}{4}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?
31. W krainie Id łączą się ze sobą i z zamkiem Króla 60 zamków rycerskich, przy czym z każdego zamku wychodzą 3 drogi. Król wybrał się w podróż po swym Królestwie, spędzając w każdym napotkanym zamku noc i opuszczając zamek co drugi dzień drogą wiodącą w prawo, a co drugi dzień drogą w lewo od drogi, którą przybył. Czy wróci do swego zamku przed upływem roku ?
32. Robinson i Piętaszek grają w taką grę: Na ziemi są dwa stosy kamieni (i każdy stos ma na początku parzystą liczbę kamieni), w każdym ruchu gracz wybiera stos z parzystą liczbą kamieni i przenosi połowę z nich na drugi stos. Ruchy są wykonywane na przemian, grę rozpoczyna Robinson, a przegrywa ten kto nie ma już żadnego ruchu. Dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) ilości kamieni na obu stosach przed rozpoczęciem gry, strategię wygrywającą ma Piętaszek ?
33. Niech \(\displaystyle{ a_1, … , a_m}\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi nie większymi niż \(\displaystyle{ n^m}\). Udowodnić, że istnieją liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ b_1,…, b_m}\) nie większe od \(\displaystyle{ n}\) i takie, że największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ a_1+b_1, …, a_m + b_m}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ n}\).
Uwagi: zakładamy \(\displaystyle{ m>1}\) i \(\displaystyle{ n>1.}\)
34. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^2+ \left( \frac{x}{x-2} \right) ^2 =45.}\)
35. Wykazać, że układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=3 \\ x^2+y^2+z^2= 2 \left( xy+yz+xz \right) \end{cases}}\)
ma nieskończoną ilość rozwiązań i że w dowolnym jego rozwiązaniu nie ma liczby ujemnej.
36. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z} = 3 \\ x \sqrt{x}+ y \sqrt{y}+ z \sqrt{z} = 3 \\ x^2 \sqrt{x}+ y^2 \sqrt{y}+ z^2 \sqrt{z} = 3. \end{cases}}\)
37. Udowodnić że wielomian \(\displaystyle{ x^7 - 2x^5 +10x^2 -1}\) nie ma pierwiastka większego od \(\displaystyle{ 1}\) .
38. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dodatnią liczbą całkowitą.
(a) Dowieść, że istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ S}\) złożony z \(\displaystyle{ 6n}\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych, że najmniejsza wspólna wielokrotność dowolnych dwóch elementów tego zbioru nie przekracza \(\displaystyle{ 32n^2}\).
(b) Dowieść, że każdy zbiór \(\displaystyle{ T}\) złożony z \(\displaystyle{ 6n}\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych zawiera dwa elementy, których najmniejsza wspólna wielokrotność jest większa od \(\displaystyle{ 9n^2}\).
39. Zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ A}\) nazywamy pełnym ze względu na sumy jeśli \(\displaystyle{ A \subset A+A}\), to znaczy każdy element \(\displaystyle{ a \in A}\) jest sumą pewnej pary (niekoniecznie różnych) elementów \(\displaystyle{ b, c \in A}\). Zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ A}\) nazywamy zero-wolnym ze względu na sumy jeśli \(\displaystyle{ 0}\) jest jedyną liczbą całkowitą, której nie da się przedstawić jako sumy elementów niepustego, skończonego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ A}\). Czy istnieje zbiór liczb całkowitych, który jest zarówno pełny za względu na sumy, jak i zero-wolny ze względu na sumy?
40. Jaka jest największa liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) taka, że na płaszczyźnie istnieje \(\displaystyle{ n}\) punktów, spośród których każde trzy są wierzchołkami trójkąta prostokątnego?
41. Odcinek \(\displaystyle{ AX}\) jest średnicą okręgu, który boki przecina boki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) tj. \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Udowodnić, że środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) jest na wysokości \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ADE}\) .
42. Dane są podzbiory płaszczyzny:
\(\displaystyle{ A = \left\{ \left( x,y \right) : x^2-y^2 = \frac{x}{x^2+y^2} \right\} \\
B= \left\{ \left( x,y \right) : 2xy + \frac{y}{x^2+y^2}=3 \right\} \\ C = \left\{ \left( x,y \right) : x^3- 3xy^2 +3y=1 \right\} \\ D= \left\{ \left( x,y \right) : 3x^2y- 3x - y^3=0 \right\} .}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \cap B = C \cap D.}\)
43. Naroże to skończony zbiór \(\displaystyle{ S}\) elementów \(\displaystyle{ \left( a_1,…,a_n \right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a_j}\) są to liczby całkowite nieujemne, w którym jeśli \(\displaystyle{ \left( a_1,…,a_n \right) \in S}\) oraz \(\displaystyle{ a_j \geq b_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,…,n}\) to \(\displaystyle{ \left( b_1,…,b_n \right) \in S}\). Udowodnić, że wśród nieskończonej ilości zbiorów-naroży istnieją takie dwa, iż jeden z nich jest podzbiorem właściwym drugiego.
Ukryta treść:
