Geometria z 53 Oma

[MrReq]

Witam czy móglby ktos sprawdzic moje rozwiazanie? W czworokacie wypuklym\(\displaystyle{ ABCD}\) zachodza nierównosci\(\displaystyle{ \angle ADB=2\angle ACB}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BDC=2\angle BAC}\). Udowodnij ze \(\displaystyle{ AD=CD}\).
Niech dwusieczna kata \(\displaystyle{ ADB}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\) i niech dwusieczna kata \(\displaystyle{ BDC}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ Y}\).Wówczas kat \(\displaystyle{ XDB=XCB}\) ponad to punkty\(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ C}\) leza po jednej stronie BX i maja wspólna podstawe \(\displaystyle{ XB}\).Z tego wynika ze punkty \(\displaystyle{ DXCB}\) leza na jednym okregu , analogicznie dowodzimy ze punkty \(\displaystyle{ ABYD}\) leza na jednym okregu. Z katów opartych na tym samym luku wychodzi ze \(\displaystyle{ \angle BAC=\angle BDY}\), \(\displaystyle{ \angle BXC=\angle BDC}\),\(\displaystyle{ \angle BYA=\angle BDA}\) i \(\displaystyle{ \angle BCA=\angle BDX}\). Kat \(\displaystyle{ \angle BYA}\) jest dwa razy wiekszy od kata \(\displaystyle{ \angle BDX}\) ponad to leza po jednej stronie BX i maja wspólna podatwe \(\displaystyle{ BX}\) co dowodzi ze punkt Y jest srodkiem okregu opisanego na czworokacie \(\displaystyle{ BCDX}\). Analogicznie dowodzimy ze punkt X jest srodkiem okregu opisanego na czworokacie \(\displaystyle{ ABYD}\).Wnioskujemy z tego ze \(\displaystyle{ AX=DX=XY=XB=YD=YC=YB}\). Trójkat \(\displaystyle{ XBY}\) jest równoboczny i kat \(\displaystyle{ \angle BYA=BXY}\) co daje \(\displaystyle{ \angle ADX=\angle YDC}\) trójkaty \(\displaystyle{ ADX}\) oraz \(\displaystyle{ DCY}\) sa równoramienne ponad to maja identyczne katy przy podstawie co daje ostatecznie ze AD=DC

[mint18]

Kąt \(\displaystyle{ <BYA}\) jest dwa razy większy od kąta \(\displaystyle{ <BDX}\) ponad to leża po jednej stronie BX i mają wspólną podatwe \(\displaystyle{ BX}\) co dowodzi że punkt Y jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie \(\displaystyle{ BCDX}\).

Z tego nie wynika, że \(\displaystyle{ Y}\) jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ BCDX.}\)

Do oznaczania kątów używaj angle zamiast znaku <