[Rozgrzewka przed maturą IV] Zadania różne

[albanczyk123456]

Ukryta treść:    

Oznaczenia: \(\displaystyle{ O}\) środek półokręgu, \(\displaystyle{ S}\) środek okręgu stycznego do średnicy w jej środku, \(\displaystyle{ T}\) środek szukanego okręgu, \(\displaystyle{ T'}\) rzut punktu T na \(\displaystyle{ SO}\), \(\displaystyle{ r}\) promień szukanego okręgu. \(\displaystyle{ |TO|= \frac{d}{2}-r}\), \(\displaystyle{ |TT'|= \frac{d}{2}-r}\), \(\displaystyle{ |TS|= \frac{d}{2}+r}\). Stosujemy dwa razy twierdzenie Pitagorasa: \(\displaystyle{ |TT'|^{2}=|TO|^{2}-|T'O|^{2}}\) i \(\displaystyle{ |TT'|^{2}=|TS|^{2}-|ST'|^{2}}\)
Po przyrównaniu i otrzymujemy: \(\displaystyle{ r=\frac{d}{8}{}\)

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ A={1,2,3,...,n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n>3}\). Zbiór \(\displaystyle{ A}\) dzielimy losowo na dwa niepuste podzbiory. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że liczby 1 i n są w tym samym podzbiorze.

[Janusz Tracz]

Ukryta treść:    

Można by myśleć o tym jak o ciągach zer i jedynej przynależność do jednego ze zbioru oznaczając zerem a do przynależność do drugiego zbioru jedynką. Więc pytanie brzmi ile jest takich wszystkich zbiorów, no \(\displaystyle{ 2^n-2}\) bo wyrzucamy dwie możliwości w których jeden ze zbiorów pozostał pusty co odpowiadało by ciągowi zer lub jedynek. Pytanie teraz o zbiory w których występuje jedynka oraz \(\displaystyle{ n}\) odpowiada to sytuacji w której w ciągu mamy \(\displaystyle{ 1...1}\) lub \(\displaystyle{ 0...0}\) oraz \(\displaystyle{ n-2}\) elementów ustawionych prawie dowolnie takich sytuacji jest \(\displaystyle{ 2^{n-2}}\) dwa razy czyli \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) i jeszcze wyrzucamy dwa zbioru puste czyli \(\displaystyle{ 2^{n-1}-2}\) możliwości. Więc o ile się nie mylę to prawdopodobieństwo będzie równe

\(\displaystyle{ P= \frac{2^{n-1}-2}{2^{n}-2}}\)

choć zawsze byłem cienki w takich wyliczankach więc mogłem coś zgubić

[Kfadrat]

Janusz Tracz, możesz podrzuć nowe zadanie

[Janusz Tracz]

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ m,k}\) zbiór \(\displaystyle{ \left[ -2,3\right]}\) jest rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle{ -2x^2+(m-1)x+k \ge 0}\)? Zawsze uważałem to zadanie za pouczające choć na maturze raczej nie wystąpi w takiej postaci to warto je znać.

[Kfadrat]

Ukryta treść:    

Wzory viete'a
\(\displaystyle{ m=3 \wedge k=12}\)

Liczby \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2+2137^2}\), wykaż, że \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest nieparzyste.

[Chewbacca97]

Ukryta treść:    

Kwadrat liczby parzystej jest parzysty, a liczby nieparzystej - nieparzysty. A suma liczb nieparzystych jak i parzystych - jest parzysta. Aby parzystość równania \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2+2137^2}\) się zgadzała musi zaistnieć jedno z: (\(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ b}\) parzyste, \(\displaystyle{ a}\) nieparzyste) lub (\(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ a}\) parzyste, \(\displaystyle{ b}\) nieparzyste) lub (\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) parzyste, \(\displaystyle{ c}\) nieparzyste) lub (\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) nieparzyste), w każdym z tych przypadków \(\displaystyle{ 2 \nmid a+b+c}\).

zadanko:
(chyba) 24. ABCD jest równoległobokiem, wartości pól poszczególnych trójkątów/ czworokątów umieszczone zostały wewnątrz figur (zobacz rysunek). Proszę policzyć pole czerwonego trójkąta zaznaczonego na rysunku "iksem".

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/CPF4iEw

[kerajs]

Fajne zadanko, więc wstawiam obrazek gdyby kiedyś wygasł link.

Wynik:    

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P_{ABCD}=Y+79+Z+10=(X+Y)+(72+Z+8) \\
X=9}\)

Skoro dziś Niedziela Wielkanocna to pasuje takie zadanko:
Ile różnych wyrazów czteroliterowych można utworzyć z liter słowa ALLELUJA ?

[Kfadrat]

Ukryta treść:    

Podzieliłem to na przypadki (mamy \(\displaystyle{ 3\times L; 2\times A; 1\times E,U,J}\), razem 5 różnych znaków):
\(\displaystyle{ (3,1)}\) - 3 razy L i 1 inna - \(\displaystyle{ {4\choose3} \cdot {4\choose1}=16}\)
\(\displaystyle{ (2,2)}\) - 2 razy L i 2 razy A - \(\displaystyle{ {4\choose2} =6}\)
\(\displaystyle{ (2,1,1)}\) - 2 razy L lub A i dwie inne - \(\displaystyle{ {4\choose2} \cdot {2\choose1} \cdot {4\choose2} \cdot 2!=144}\)
\(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) - wszystkie 4 różne - \(\displaystyle{ {5\choose4} \cdot 4!=120}\)
Wszystkich wyrazów jest: \(\displaystyle{ 286}\)

Obliczyć wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \log \frac{3}{2} \left(\sqrt{k} - \frac{1}{3}\right)}\), wiedząc, że:

\(\displaystyle{ k=\underbrace{4444...44}_{n}\underbrace{8888...889}_{n}}\)

[Janusz Tracz]

Ukryta treść:    

jak się zauważy że \(\displaystyle{ \underbrace{111...111}_{n}= \frac{10^n-1}{9}}\) to można łatwo pokazać że:

\(\displaystyle{ k=10^n \cdot 4 \cdot \frac{10^n-1}{9}+8 \cdot \frac{10^n-1}{9}+1}\)

Co zwija się do:

\(\displaystyle{ k= \frac{(2^{n+1} \cdot 5^n+1)^2}{9}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \log \frac{3}{2} \left(\frac{2^{n+1} \cdot 5^n+1}{3} - \frac{1}{3}\right)=\log \frac{2^{n+1} \cdot 5^n}{2}=n}\)

-- 21 kwi 2019, o 15:59 --Uzasadnij, że jeśli \(\displaystyle{ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2}\) to \(\displaystyle{ ad=bc}\)

[ann_u]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd}\)

\(\displaystyle{ a^2d^2 - 2acbd + b^2c^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ (ad - bc )^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ ad = bc}\)

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2x^{2}-8x+4}\).
Wyznacz wszystkie wymierne wartości \(\displaystyle{ x}\), dla których \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{2} f(x) +4}\) jest liczbą wymierną.

Ps To zadanie, które było na maturze za 2 pkt. Ciekawi mnie jakiś "licealny" (elementarny) sposób jego rozwiązania.

[VirtualUser]

Tak licealnie próbowałbym tak:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^2-4x+6 = (x-2)^2 + 2 = ((p-2q)/q)^2+2 =
((p-2q)^2 + 2q^2)/q^2}\)

Aby to było wymierne wymierny musi być licznik i mianownik. Mianownik z pewnością jest bo \(\displaystyle{ p,q}\) dobraliśmy jako wymierne a \(\displaystyle{ q}\) występuje w kwadracie.
Także licznik \(\displaystyle{ p^2-4pq+6q^2}\) musi być kwadratem jakiejś liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\)
\(\displaystyle{ p^2-4pq+6q^2 = k^2}\)
\(\displaystyle{ (p-2q)^2 = k^2 - 2q^2 = (k- \sqrt{2}q)(k+ \sqrt{2}q)}\)
i coś tutaj przyuważyć... też te zadanie rozbudziło moją ciekawość, kojarzę, że coś kiedyś podobnego robiłem, ale jak i dlaczego chmmm

[albanczyk123456]

Ukryta treść:    

Rozwiązanie zadanie polega na znalezieniu punktów wymiernych na krzywej \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=2}\). Widzimy że \(\displaystyle{ (x,y)=( \frac{3}{2}; \frac{1}{2}}\)) spełnia warunki zadania. Kreślimy prostą przechodzącą przez ten punkt: \(\displaystyle{ y=a(x- \frac{3}{2})+ \frac{1}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Q}}\). Wstawiając do naszego równania mamy:
\(\displaystyle{ x^{2}-(a(x-\frac{3}{2})+\frac{1}{2})^{2}=2 \Rightarrow (x-\frac{3}{2})(x+\frac{3}{2}-a^{2}x+\frac{3}{2}a^{2}-a)=0 \Rightarrow x=\frac{3a^{2}-2a+3}{2(a^{2}-1)}}\)
Teraz wyliczamy y: \(\displaystyle{ y=\frac{a^{2}-6a+1}{2(1-a^{2})})}}\)
Teraz wracamy do zadania: \(\displaystyle{ \sqrt{(x-2)^{2}+2}=b \Rightarrow b^{2}-(x-2)^{2}=2}\)
Zatem \(\displaystyle{ x=2+y}\) czyli: \(\displaystyle{ x=\frac{3a^{2}+6a-5}{2(a^{2}-1)}}\)
Teraz sprawdzamy: \(\displaystyle{ x^{2}-4x+6=(\frac{a^{2}-2a+3}{2a^{2}-2})^{2}}\)
Odpowiedź: \(\displaystyle{ x=\frac{3a^{2}+6a-5}{2(a^{2}-1)}}\)
(Sprawdzić należy co się dzieje dla \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ a=-1}\) ale to może każdy samodzielnie zrobić.)

[Kfadrat]

Sprawdzić należy co się dzieje dla \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ a=-1}\) ale to może każdy samodzielnie zrobić.

Nas ułamecek eksploduje. A tak poważnie, ładne rozwiązanie, ale nie wydaje mi się, aby to zadanie (w jakiejkolwiek formie) miało szansę bytu na obecnej maturze.

[albanczyk123456]

Pole powierzchni całkowitej walca i objętość pewnego walca wyraża ta sama liczba dodatnia. Wyznacz promień i wysokość tego walca, wiedząc że są one liczbami naturalnymi parzystymi.

[Kfadrat]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \pi r(2h+2r)=\pi r^2h}\)

\(\displaystyle{ 2h+2r=rh}\)

\(\displaystyle{ h(r-2)=2r}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{2r}{r-2} \Rightarrow (r-2)\mid 2r}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest liczbą parzystą to również \(\displaystyle{ (r-2)\mid r}\)

\(\displaystyle{ r-2\leq \frac{1}{2}r \Leftrightarrow 2r-4 \le r \Leftrightarrow r\leq4}\)

stąd już mamy, że \(\displaystyle{ r=h=4}\)

Kąty pewnego trójkąta mają miary: \(\displaystyle{ \alpha , \beta = 2\alpha , \gamma = 4\alpha}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a}- \frac{1}{b}- \frac{1}{c}=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) leży odpowiednio naprzeciw \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\).