[Rozgrzewka przed maturą IV] Zadania różne

[VirtualUser]

Dla przejrzystości, obecnie otwarte zadanie:

Zad 2 (trudniejsze)
Wyznacz wszystkie k takie, ze równanie \(\displaystyle{ \log ( x^2 + 2kx) = \log ( 8x - 6k - 3)}\) ma tylko jedno rozwiązanie.

[arek1357]

W tym roku zacząłem ostre przygotowanie do matury więc może pokażę swoje rozwiązanie tegoż zadania:

\(\displaystyle{ r_{i}}\) - reszty z dzielenia\(\displaystyle{ a \wedge b}\) przez \(\displaystyle{ 11}\)

\(\displaystyle{ r_{2}^2+9r_{2}r_{1}+r_{1}^2=0/r_{1}^2}\)

przyjmując, że:

\(\displaystyle{ x= \frac{r_{2}}{r_{1}} , r_{1}, r_{2} \neq 0}\)

mamy równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ x^2+9x+1=0}\)

jedyne rozwiązanie w ciele.:\(\displaystyle{ Z_{11}}\)

to:

\(\displaystyle{ x=1}\)

znaczy, że:

\(\displaystyle{ r_{2}=r_{1}}\)

Czyli teza spełniona...

Tego trudniejszego na razie nie tykam...

Zdam maturę?

[Vax]

Pomijając zapis, to:

przyjmując, że:

\(\displaystyle{ x= \frac{r_{2}}{r_{1}}}\)

zakładasz tu, że \(\displaystyle{ r_1}\) jest odwracalne, co nie musi być prawdą.

[Kfadrat]

arek1357, to rozwiązanie mi się bardziej podoba, bez żadnego niepotrzebnego kombinowania.

[arek1357]

zakładasz tu, że \(\displaystyle{ r_{1}}\) jest odwracalne, co nie musi być prawdą.

Otóż kolego sympatyczny musi być odwracalne bo rzecz się dzieje w ciele modulo jedenaście a tam oprócz zera wszystko jest odwracalne a \(\displaystyle{ r_{1}}\) nie jest zerem bo przez zero się nie dzieli.
Więc ta uwaga nie była potrzebna (pamiętaj cholero nie dziel przez zero) stosuje się to w sumie w każdym ciele...

Dołożyłem już,że te reszty są różne od zera co by niektórych nie raziło za bardzo...

[kerajs]

mamy równanie kwadratowe:

\(\displaystyle{ x^2+9x+1=0}\)

jedyne rozwiązanie w ciele.:\(\displaystyle{ Z_{11}}\)

to:

\(\displaystyle{ x=1}\)

Zdam maturę?

Ponieważ nie zamieściłeś adekwatnych obliczeń, ani nie pokazałeś brudnopisu, to stwierdzenie o jedynym rozwiązaniu jest na razie pobożnym życzeniem. Dodatkowo, w żadnym miejscu nie odnosisz się do różnicy sześcianów, więc nie wiadomo skąd bierzesz stwierdzenie o prawdziwości tezy. Dostajesz 0,5 pkt. na możliwe 2 pkt. więc, o ile pozostałe zadania są równie dobrze rozwiązane, to niestety maturę z matmy OBLEWASZ.

[Vax]

zakładasz tu, że \(\displaystyle{ r_{1}}\) jest odwracalne, co nie musi być prawdą.

Otóż kolego sympatyczny musi być odwracalne bo rzecz się dzieje w ciele modulo jedenaście a tam oprócz zera wszystko jest odwracalne a \(\displaystyle{ r_{1}}\) nie jest zerem bo przez zero się nie dzieli.
Więc ta uwaga nie była potrzebna (pamiętaj cholero nie dziel przez zero) stosuje się to w sumie w każdym ciele...

Dołożyłem już,że te reszty są różne od zera co by niektórych nie raziło za bardzo...

Właśnie chodzi o to, że \(\displaystyle{ r_1}\) może być równe 0 i robiąc w ten sposób musisz uwzględnić ten przypadek...

[arek1357]

Ponieważ nie zamieściłeś adekwatnych obliczeń, ani nie pokazałeś brudnopisu, to stwierdzenie o jedynym rozwiązaniu jest na razie pobożnym życzeniem. Dodatkowo, w żadnym miejscu nie odnosisz się do różnicy sześcianów, więc nie wiadomo skąd bierzesz

Wszystko to zostawiłem dla domysłu sprawdzających mą pracę nauczycieli , którzy zamiast strajkować powinni zauważyć w moim rozwiązaniu to co potrzeba...

[VirtualUser]

Dla przejrzystości, obecnie otwarte zadanie:

Zad 2 (trudniejsze)
Wyznacz wszystkie k takie, ze równanie \(\displaystyle{ \log ( x^2 + 2kx) = \log ( 8x - 6k - 3)}\) ma tylko jedno rozwiązanie.

To może któryś maturzysta podejmie się rozpisania warunków?

[SloppyTurtle]

Mamy k=1 v k=13, po sprawdzenie dziedziny metodą starożytnych zostaje nam tylko k=1.

[Kfadrat]

To może któryś maturzysta podejmie się rozpisania warunków?

No to tak jak się już z tym wcześniej męczyłem. Logarytmy mają być sobie równe, więc
\(\displaystyle{ x^2+2kx=8x-6k-3 \Leftrightarrow x^2+(2k-8)x+6k+3}\)
i teraz mamy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^\circ
\Delta=0}\) i rozwiązanie należy do dziedziny
\(\displaystyle{ 2^\circ
\Delta>0}\) i tylko jedno rozwiązanie jest w dziedzinie

\(\displaystyle{ x^2+2kx>0 \Rightarrow x\in(-\infty;-2k) \cup (0;+\infty) \vee x\in(-\infty;0) \cup (-2k;+\infty)}\)
\(\displaystyle{ 8x-6k-3>0 \Rightarrow x> \frac{6k+3}{8}}\)

[VirtualUser]

To może któryś maturzysta podejmie się rozpisania warunków?

No to tak jak się już z tym wcześniej męczyłem. Logarytmy mają być sobie równe, więc
\(\displaystyle{ x^2+2kx=8x-6k-3 \Leftrightarrow x^2+(2k-8)x+6k+3}\)
i teraz mamy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^\circ
\Delta=0}\) i rozwiązanie należy do dziedziny
\(\displaystyle{ 2^\circ
\Delta>0}\) i tylko jedno rozwiązanie jest w dziedzinie

\(\displaystyle{ x^2+2kx>0 \Rightarrow x\in(-\infty;-2k) \cup (0;+\infty) \vee x\in(-\infty;0) \cup (-2k;+\infty)}\)
\(\displaystyle{ 8x-6k-3>0 \Rightarrow x> \frac{6k+3}{8}}\)

No, prawie - jeszcze sformalizuj te słowa, które pogrubiłem i meta.

[Kfadrat]

Teraz coś fajniejszego wyjdzie bo wcześniej się pomyliłem w dodawaniu xD

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \Delta=4k^2-56k+52=4(k-1)(k-13)}\)

Teraz kiedy \(\displaystyle{ \Delta=0}\)

\(\displaystyle{ k=1 \vee k=13}\)

ale dla \(\displaystyle{ k=13}\) rozwiązanie nie jest w dziedzinie, więc w tym przypadku zostaje tylko \(\displaystyle{ k=1}\)

W drugim przypadku \(\displaystyle{ k\in\left(-\infty;1\right) \cup \left(13;+\infty\right)}\)

\(\displaystyle{ x_1>x_2}\)

\(\displaystyle{ x_1= \frac{-2k+8+ \sqrt{4k^2-56k+52} }{2} \wedge x_2=\frac{-2k+8- \sqrt{4k^2-56k+52} }{2}}\)

\(\displaystyle{ (1) x_1> \frac{6k+3}{8}\geq x_2}\)

\(\displaystyle{ x_1=\frac{-2k+8+ \sqrt{4k^2-56k+52} }{2}>\frac{6k+3}{8} \Rightarrow k<1}\)

\(\displaystyle{ x_2=\frac{-2k+8- \sqrt{4k^2-56k+52} }{2}\leq \frac{6k+3}{8} \Rightarrow k\in \left\langle- \frac{1}{2};- \frac{3}{22} \right\rangle \cup \left( 13;+\infty\right)}\)

teraz część wspólna obu przedziałów to: \(\displaystyle{ k\in \left\langle- \frac{1}{2};- \frac{3}{22} \right\rangle}\)

Teraz pierwszy przedział:

\(\displaystyle{ (2)\left(x_1^2+2kx_1>0 \wedge x_2^2+2kx_2 \leq 0\right)}\)

\(\displaystyle{ x_1^2+2kx_1>0 \Rightarrow k<1}\)

\(\displaystyle{ x_2^2+2kx_2 \leq 0 \Rightarrow k\in\left\langle -\frac{1}{2};- \frac{3}{22}\right\rangle}\)

i mamy \(\displaystyle{ k\in\left\langle -\frac{1}{2};- \frac{3}{22}\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ (3)\left(x_1^2+2kx_1\leq0 \wedge x_2^2+2kx_2 > 0\right)}\)

\(\displaystyle{ x_1^2+2kx_1\leq 0 \Rightarrow k> 13}\)

\(\displaystyle{ x_2^2+2kx_2 > 0 \Rightarrow k\in\left(-\infty;- \frac{1}{2}\right) \cup \left( -\frac{3}{22};1\right)}\)

i tu jest zbiór pusty,

teraz biorąc \(\displaystyle{ (1)(2)}\) i \(\displaystyle{ (3)}\) do kupy wychodzi mi \(\displaystyle{ k\in \left\langle- \frac{1}{2};- \frac{3}{22} \right\rangle \cup \left\{1\right\}}\)

[albanczyk123456]

Kfadrat, Dodaj kolejne zadanie.

[Kfadrat]

W półkole wpisano okrąg styczny do średnicy w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu, do wpisanego okręgu oraz do średnicy jeżeli długość średnicy to \(\displaystyle{ d}\).

AU

fpr3tim.jpg (8.38 KiB) Przejrzano 348 razy

Obrazek gdyby ktoś miał problem z wyobrażeniem sobie