[Rozgrzewka przed maturą IV] Zadania różne

[ann_u]

\(\displaystyle{ \tg ^4x+2\tg x \le 2\tg ^3x+1 \Leftrightarrow \tg ^4x-1-2\tg ^3x+2\tg x \le 0 \\ \Leftrightarrow
(\tg ^2x-1)(\tg ^2x+1)-2\tg x(\tg ^2x-1) \le 0 \Leftrightarrow \\ (\tg ^2x-1)(\tg ^2x+1-2\tg x) \le 0 \Leftrightarrow
(\tg x-1)(\tg x+1)(\tg x-1)^2 \le 0 \Leftrightarrow \\ (\tg x+1)(\tg x-1)^3 \le 0 \Leftrightarrow \\ -1 \le \tg x \le 1 \Leftrightarrow
-\frac{1}{4} \pi +k \pi \le x \le \frac{1}{4} \pi +k \pi}\)

Zad 1. (łatwiejsze)
Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^2+mx-2=0}\) z pierwiastkami \(\displaystyle{ x_1, x_2}\). Wyznacz wszystkie m dla których
\(\displaystyle{ x_1^3+(m^2+2)x_2=5}\).

Zad 2 (trudniejsze)
Wyznacz wszystkie k takie, ze równanie \(\displaystyle{ \log ( x^2 + 2kx) = \log ( 8x - 6k - 3)}\) ma tylko jedno rozwiązanie.

[VirtualUser]

Chyba ten temat należy podlinkować na jakiejś grupie maturzystów z PR, bo obecnie jako bardziej studenci i absolwenci pykamy sobie zadanka :'D

[albanczyk123456]

Przegapione zadanie z geometrii analitycznej

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem takiego okręgu który spełnia warunki zadani, \(\displaystyle{ I=(a;r)}\) a jego równanie wygląda mniej więcej tak: \(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}}\).
Wówczas z jednej strony \(\displaystyle{ OI^{2}=a^{2}+r^{2}}\) a z drugiej \(\displaystyle{ OI^{2}=(2-r)^{2}}\).Po przyrównaniu i przekształceniu otrzymujemy:\(\displaystyle{ r=\frac{4-a^{2}}{4}}\), zatem szukany zbiór to \(\displaystyle{ y=\frac{4-x^{2}}{4}}\) dla \(\displaystyle{ x \in (-2;2)}\)

[Kfadrat]

Też coś dorzucę

zad. 1
Długości boków pewnego trójkąta są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Jeden z kątów tego trójkąta ma miarę \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\). Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

zad. 2
W trapezie o podstawach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) poprowadzono odcinek do nich równoległy. Oblicz długość tego odcinka wiedząc, że podzielił on trapez na dwie figury o równych polach.

zad. 3
Dane są dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takie, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^3+b}{a+b}}\) jest liczbą całkowitą. Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{b^3+a}{b+a}}\) jest również liczbą całkowitą.

zad. 4 (możliwe, że jest błąd, ale powinno być OK)
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{b^2+c^2}+ \sqrt{c^2+a^2} \ge a \sqrt{2} +b \sqrt{2} +c \sqrt{2}}\)

[kerajs]

Wstawiamy TYLKO JEDNO zadanie po rozwiązaniu ostatniego z nierozwiązanych zadań.

Ukryta treść:    

Zad 1. (łatwiejsze)
Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^2+mx-2=0}\) z pierwiastkami \(\displaystyle{ x_1, x_2}\). Wyznacz wszystkie m dla których
\(\displaystyle{ x_1^3+(m^2+2)x_2=5}\).

Pierwiastki
\(\displaystyle{ x_1= \frac{-m \mp \sqrt{m^2+8} }{2} \ \ \vee \ \ x_2= \frac{-m \pm \sqrt{m^2+8} }{2}}\)
wstawiam do podanego wyrażenia. Wyrazy zawierające pierwiastki kwadratowe się redukują dając równanie
\(\displaystyle{ -8m^3-32 m=40}\)
które ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty \(\displaystyle{ m=-1}\)

zad. 1
Długości boków pewnego trójkąta są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Jeden z kątów tego trójkąta ma miarę \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\). Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

\(\displaystyle{ (2n+5)^2=(2n+1)^2+(2n+3)^2-2(2n+1)(2n+3)\cos \frac{2\pi}{3} \ \ \wedge \ \ n \in \NN\\
2n^2+n-3=0 \Rightarrow n=1\\
\\
P= \frac{1}{2}3 \cdot 5 \cdot \sin \frac{2\pi}{3}= \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4R} \Rightarrow R= \frac{7}{ \sqrt{3} }}\)

zad. 2
W trapezie o podstawach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) poprowadzono odcinek do nich równoległy. Oblicz długość tego odcinka wiedząc, że podzielił on trapez na dwie figury o równych polach.

To średnia kwadratowa z danych podstaw
\(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2} }}\)

zad. 3
Dane są dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takie, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^3+b}{a+b}}\) jest liczbą całkowitą. Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{b^3+a}{b+a}}\) jest również liczbą całkowitą.

\(\displaystyle{ \frac{a^3+b}{a+b}=\frac{a^3+b^3+b+a-b^3-a}{a+b}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)+(b+a)-(b^3+a)}{a+b}=\\=a^2-ab+b^2+1- \frac{b^3+a}{a+b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b^3+a}{a+b}=a^2-ab+b^2+1-\frac{a^3+b}{a+b}}\)
skoro wszystkie wyrazy prawej strony są całkowite, to ich suma także.

zad. 4 (możliwe, że jest błąd, ale powinno być OK)
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{b^2+c^2}+ \sqrt{c^2+a^2} \ge a \sqrt{2} +b \sqrt{2} +c \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ 2\sqrt{a^2+b^2}+ \sqrt{b^2+c^2}+ \sqrt{c^2+a^2} \ge 2a \sqrt{2} +2b \sqrt{2} +2c \sqrt{2}\\
(2\sqrt{a^2+b^2}- a \sqrt{2} -b \sqrt{2})+ (2\sqrt{b^2+c^2}- b \sqrt{2} -c \sqrt{2})+( 2\sqrt{c^2+a^2}-a \sqrt{2} -c \sqrt{2}) \ge 0}\)
pierwszy nawias:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{a^2+b^2} \ge a \sqrt{2} +b \sqrt{2} \\
4a^2+4b^2 \ge 2a^2+4ab+2b^2\\
2(a-b)^2 \ge 0}\)
drugi i trzeci analogicznie.

obowiązuje zadanie:

Zad 2 (trudniejsze)
Wyznacz wszystkie k takie, ze równanie \(\displaystyle{ \log ( x^2 + 2kx) = \log ( 8x - 6k - 3)}\) ma tylko jedno rozwiązanie.

[Kfadrat]

Ukryta treść:    

Zad 2 (trudniejsze)
Wyznacz wszystkie k takie, ze równanie \(\displaystyle{ \log ( x^2 + 2kx) = \log ( 8x - 6k - 3)}\) ma tylko jedno rozwiązanie.

logarytmy są sobie równe, więc \(\displaystyle{ x^2+2kx=8x-6k-3}\)
\(\displaystyle{ x^2+(2k-8)x+6k+3}\)
\(\displaystyle{ 0 = \Delta = (2k-8)^2-4(6k+3)}\)
\(\displaystyle{ 4k^2-56k+52=0}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{56+48}{8}=13 \vee k= \frac{56-48}{8}=1}\)
Przy czym dla \(\displaystyle{ k=13}\) rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=-9}\), a ten nie należy do dziedziny.
Zatem jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ k=1}\)

Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) dla których liczba \(\displaystyle{ 19p+1}\) jest sześcianem pewnej liczby całkowitej.

[albanczyk123456]

Kfadrat, To nie jest poprawne rozwiązanie, Może zajść taka sytuacja że równanie kwadratowe do którego doszedłeś będzie miało dwa rozwiązania przy czym tylko jedno spełniające założenia wynikające z dziedzin logarytmów.

[Kfadrat]

Kfadrat, To nie jest poprawne rozwiązanie, Może zajść taka sytuacja że równanie kwadratowe do którego doszedłeś będzie miało dwa rozwiązania przy czym tylko jedno spełniające założenia wynikające z dziedzin logarytmów.

Fakt kompletnie o tym przypadku zapomniałem

Ukryta treść:    

Wysoce prawdopodobne, że gdzieś się machnąłem, ale aby taka sytuacja zaszła równanie \(\displaystyle{ x^2+(2k-8)x+6k+3}\) musi mieć dwa różne rozwiązania z czego \(\displaystyle{ x_1 \le \frac{6k+3}{8}<x_2}\) ponieważ z założeń logarytmu \(\displaystyle{ 8x-6k-3>0 \Rightarrow x \in ( \frac{6k+3}{8};+\infty)}\)
\(\displaystyle{ x_1=\frac{8-2k- \sqrt{4k^2-56k+48} }{2} \le \frac{6k+3}{8} \Rightarrow k \ge 7+ \sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ x_2=\frac{8-2k+ \sqrt{4k^2-56k+48} }{2} > \frac{6k+3}{8} \Rightarrow k < 7- \sqrt{37}}\)
Zbiór rozwiązań jest pusty.

[VirtualUser]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 19p+1 = n^3}\)
\(\displaystyle{ 19p = n^3-1 = (n-1)(n^2+n+1)}\)
\(\displaystyle{ 19}\) też jest pierwsza więc
\(\displaystyle{ n-1 = 1}\) lub \(\displaystyle{ n-1 = 19}\)
dla \(\displaystyle{ n = 2}\) mamy \(\displaystyle{ 19p = 7}\) lipa
dla \(\displaystyle{ n = 20}\) mamy \(\displaystyle{ 19p = 19 \cdot (421)}\)
\(\displaystyle{ p = 421}\)

to coś za 2 punkty:
Wiedząc, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+3x+1}=a}\) oblicz \(\displaystyle{ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1}}\)

[loitzl9006]

Ukryta treść:    

Dla każdego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) oraz takiego który nie jest miejscem zerowym funkcji \(\displaystyle{ x^2+3x+1}\):
\(\displaystyle{ a=\frac x{x^2+3x+1} \\ \frac1a=\frac{x^2+3x+1}x=x+3+\frac1x \\ x+\frac1x=\frac1a-3\ \ | ()^2\\ \left( x+\frac1x\right)^2=\left( \frac1a-3\right)^2\\ x^2+2+\frac1{x^2}=\left( \frac1a-3\right)^2 \\ x^2+\frac1{x^2}=\left( \frac1a-3\right)^2-2}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} = \frac1{\frac{x^4+3x^2+1}{x^2}}=\frac1{x^2+3+\frac1{x^2}} = \frac1{x^2+\frac1{x^2}+3} =\frac1{\left( \frac1a-3\right)^2-2+3}=\frac1{\left( \frac1a-3\right)^2 +1}=...=\frac{a^2}{10a^2-6a+1}}\)

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest \(\displaystyle{ a=0}\), wtedy wyrażenie które trzeba policzyć też przyjmuje wartość zerową

też 2pkt:

Dla wszystkich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n\ge1}\) dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n=2018n+2019a_{2018}}\). Oblicz \(\displaystyle{ a_{2019}}\).

[Kfadrat]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{2018}=2018 \cdot 2018+2019 \cdot a_{2018}}\)

\(\displaystyle{ 2018 \cdot a_{2018}=-2018 \cdot 2018}\)

\(\displaystyle{ a_{2018}=-2018}\)

\(\displaystyle{ a_{2019}=2018 \cdot 2019-2019 \cdot 2018=0}\)

Liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są takimi liczbami całkowitymi, że \(\displaystyle{ a^2+119ab+b^2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a^3-b^3}\) też dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\).

[ann_u]

Kfadrat, To nie jest poprawne rozwiązanie, Może zajść taka sytuacja że równanie kwadratowe do którego doszedłeś będzie miało dwa rozwiązania przy czym tylko jedno spełniające założenia wynikające z dziedzin logarytmów.

Fakt kompletnie o tym przypadku zapomniałem

Ukryta treść:    

Wysoce prawdopodobne, że gdzieś się machnąłem, ale aby taka sytuacja zaszła równanie \(\displaystyle{ x^2+(2k-8)x+6k+3}\) musi mieć dwa różne rozwiązania z czego \(\displaystyle{ x_1 \le \frac{6k+3}{8}<x_2}\) ponieważ z założeń logarytmu \(\displaystyle{ 8x-6k-3>0 \Rightarrow x \in ( \frac{6k+3}{8};+\infty)}\)
\(\displaystyle{ x_1=\frac{8-2k- \sqrt{4k^2-56k+48} }{2} \le \frac{6k+3}{8} \Rightarrow k \ge 7+ \sqrt{37}}\)
\(\displaystyle{ x_2=\frac{8-2k+ \sqrt{4k^2-56k+48} }{2} > \frac{6k+3}{8} \Rightarrow k < 7- \sqrt{37}}\)
Zbiór rozwiązań jest pusty.

Niestety zadanie nie jet rozwiązane poprawnie.

[VirtualUser]

@Loitz

Dobrze,
tutaj trochę szybciej:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}=\frac{1}{a}-3}\)
stąd
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1}= \frac{1}{\frac{x^4+3x^2+1}{x^2}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{a}-3\right)^2+1}=\frac{a^2}{10a^2-6a+1}}\)

[Kfadrat]

ann_u, w takim razie zadanie nadal aktualne, ja odpuszczam.

[loitzl9006]

Liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są takimi liczbami całkowitymi, że \(\displaystyle{ a^2+119ab+b^2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a^3-b^3}\) też dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a^2+119ab+b^2=\left( a-b\right)^2+121ab=\left( a-b\right)^2+11\cdot11ab=11c}\) dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b\right)^2=11c-11\cdot11ab=11\left( c-11ab\right)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ 11}\) jest liczbą pierwszą oraz \(\displaystyle{ \left( a-b\right)^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\), to \(\displaystyle{ a-b}\) też musi być podzielne przez \(\displaystyle{ 11}\).
\(\displaystyle{ a-b=11d}\) dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ d}\).
\(\displaystyle{ a^3-b^3=\left( a-b\right)\cdot \left( a^2+ab+b^2\right)=11d\cdot \left( a^2+ab+b^2\right)}\)