[MIX] Mix matematyczny 39
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Mix matematyczny 39
1. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+y=3x+4 \\ 2y^3+ z=6y+6 \\3z^3+x = 9z + 8 \end{cases}}\)
2. Na płaszczyźnie usiadło 13 wróbli, w ten sposób, że wśród dowolnych pięciu są cztery siedzące na jednym okręgu. Udowodnić, że istnieje zbiór sześciu wróbli siedzących na jednym okręgu.
Czy ten wynik można wzmocnić ?
3. Wyznaczyć maksimum funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^{16} - x^{18}}\) bez rachunku pochodnych
4. Udowodnić że jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(x) + \cos(y)=1 \\ \cos(x) + \sin(y) = -1 \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ \cos(2x) = \cos(2y)}\)
5. Permutację zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 2n \}}\) nazywa sie sympatyczną jesli równość \(\displaystyle{ |x_i - x_{i+1}|=n}\) zachodzi dla co najmniej jednej liczby \(\displaystyle{ i}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1 ,..., 2n-1 \}}\).
Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) więcej niż połowę wszystkich permutacji stanowią permutacje sympatyczne.
6. Udowodnić, że wszystkie osie symetrii wielościanu mają punkt wspólny.
7. Astronom obserwował 100 gwiazd i dodał wszystkie odległości między nimi i otrzymał sumę \(\displaystyle{ S}\), potem gdy niebo pociemniało było widoczne tylko 50 gwiazd, astronom znów dodał wszystkie odległości między nimi i otrzymał sumę \(\displaystyle{ T}\). Czy jest możliwym, aby \(\displaystyle{ 2T > S}\) ?
8. Udowodnić, że jeśli parabole \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) i \(\displaystyle{ y=dx^2+ex+f}\) gdzie \(\displaystyle{ ad <0}\) są rozłączne, to istnieje także prosta rozłączna z nimi
9. Dany jest rekurencyjnie ciąg: \(\displaystyle{ a_n = a_{a_{n-1}} + a_{n - a_{n-1}}}\) oraz \(\displaystyle{ a_1=a_2=1}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ a_n}\) gdy \(\displaystyle{ n=2^k}\); (\(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną)
10. W czworościanie wszystkie pary przeciwległych krawędzi są wzajemnie prostopadłe. Udowodnić, że środki wszystkich krawędzi są na jednej sferze
11. Rozwiązać układ równań w zbiorze liczb całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^2+z^3=A \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^3} = \frac{1}{A} \\ xy^2z^3 = A^2 \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+y=3x+4 \\ 2y^3+ z=6y+6 \\3z^3+x = 9z + 8 \end{cases}}\)
2. Na płaszczyźnie usiadło 13 wróbli, w ten sposób, że wśród dowolnych pięciu są cztery siedzące na jednym okręgu. Udowodnić, że istnieje zbiór sześciu wróbli siedzących na jednym okręgu.
Czy ten wynik można wzmocnić ?
3. Wyznaczyć maksimum funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^{16} - x^{18}}\) bez rachunku pochodnych
4. Udowodnić że jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin(x) + \cos(y)=1 \\ \cos(x) + \sin(y) = -1 \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ \cos(2x) = \cos(2y)}\)
5. Permutację zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 2n \}}\) nazywa sie sympatyczną jesli równość \(\displaystyle{ |x_i - x_{i+1}|=n}\) zachodzi dla co najmniej jednej liczby \(\displaystyle{ i}\) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1 ,..., 2n-1 \}}\).
Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) więcej niż połowę wszystkich permutacji stanowią permutacje sympatyczne.
6. Udowodnić, że wszystkie osie symetrii wielościanu mają punkt wspólny.
7. Astronom obserwował 100 gwiazd i dodał wszystkie odległości między nimi i otrzymał sumę \(\displaystyle{ S}\), potem gdy niebo pociemniało było widoczne tylko 50 gwiazd, astronom znów dodał wszystkie odległości między nimi i otrzymał sumę \(\displaystyle{ T}\). Czy jest możliwym, aby \(\displaystyle{ 2T > S}\) ?
8. Udowodnić, że jeśli parabole \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) i \(\displaystyle{ y=dx^2+ex+f}\) gdzie \(\displaystyle{ ad <0}\) są rozłączne, to istnieje także prosta rozłączna z nimi
9. Dany jest rekurencyjnie ciąg: \(\displaystyle{ a_n = a_{a_{n-1}} + a_{n - a_{n-1}}}\) oraz \(\displaystyle{ a_1=a_2=1}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ a_n}\) gdy \(\displaystyle{ n=2^k}\); (\(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną)
10. W czworościanie wszystkie pary przeciwległych krawędzi są wzajemnie prostopadłe. Udowodnić, że środki wszystkich krawędzi są na jednej sferze
11. Rozwiązać układ równań w zbiorze liczb całkowitych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^2+z^3=A \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^3} = \frac{1}{A} \\ xy^2z^3 = A^2 \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A \neq 0}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny 39
1.:
Brr, jak przeczytałem „wielościan", to się aż wzdrygnąłem, kosa ze stereometrią zawsze i wszędzie.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny 39
Zad2.
a co nie tak z piątym?
A co do dziesiątego nie chcę udawać mędrca ale słowo "prostopadły" jest mocno nadużyte...
Ukryta treść:
A co do dziesiątego nie chcę udawać mędrca ale słowo "prostopadły" jest mocno nadużyte...