[Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Post autor: bosa_Nike »

Dla \(\displaystyle{ a,b>0}\), takich że \(\displaystyle{ a+b=k}\), gdzie \(\displaystyle{ 1\le k\le 2}\), udowodnij \(\displaystyle{ \frac{1}{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(b+\frac{1}{b}\right)^2}\le\frac{2}{\left(\frac{k}{2}+\frac{2}{k}\right)^2}}\)
Ukryta treść:    
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: [Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Post autor: Dilectus »

\(\displaystyle{ \frac{1}{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(b+\frac{1}{b}\right)^2}\le\frac{2}{\left(\frac{k}{2}+\frac{2}{k}\right)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{(a^2+1)^2}+\frac{b^2}{(b^2+1)^2} \le \frac{8k^2}{(k^2+4)^2}= \frac{8(a+b)^2}{\left( (a+b)^2+4\right) ^2}}\)

I koniec. Pojęcia nie mam, co dalej...
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Post autor: timon92 »

aż mi się wierzyć nie chce, że wyszło to gołymi rękami:

gdy \(\displaystyle{ a=b}\) to mamy równość; od teraz zakładamy \(\displaystyle{ a>b}\)

kładziemy \(\displaystyle{ c=\frac k2}\) i przekształcamy równoważnie:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{(a^2+1)^2} + \frac{b^2}{(b^2+1)^2} \le \frac{2c^2}{(c^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{(a^2+1)^2} - \frac{c^2}{(c^2+1)^2} \le \frac{c^2}{(c^2+1)^2} - \frac{b^2}{(b^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2(c^2+1)^2 - c^2(a^2+1)^2}{(a^2+1)^2(c^2+1)^2} \le \frac{c^2(b^2+1)^2 - b^2(c^2+1)^2}{(c^2+1)^2(b^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2c^4+2a^2c^2+a^2-(c^2a^4+2c^2a^2+c^2)}{(a^2+1)^2} \le \frac{c^2b^4+2c^2b^2+c^2-(b^2c^4+2b^2c^2+b^2)}{(b^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a^2-c^2)(1-a^2c^2)}{(a^2+1)^2} \le \frac{(c^2-b^2)(1-c^2b^2)}{(b^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a-c)(a+c)(1-a^2c^2)}{(a^2+1)^2} \le \frac{(c-b)(c+b)(1-c^2b^2)}{(b^2+1)^2}}\)

ponieważ \(\displaystyle{ 2c=a+b}\) i \(\displaystyle{ a>b}\) więc \(\displaystyle{ a-c=c-b>0}\), więc możemy podzielić przez \(\displaystyle{ a-c=c-b}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+c)(1-a^2c^2)}{(a^2+1)^2} \le \frac{(c+b)(1-b^2c^2)}{(b^2+1)^2}}\)

z przyjętych założeń mamy \(\displaystyle{ b<c\le 1}\), więc prawa strona jest dodatnia; jeśli \(\displaystyle{ 1-a^2c^2\le 0}\) to lewa strona jest niedodatnia i nie ma czego dowodzić

od teraz zakładamy, że \(\displaystyle{ 1-a^2c^2>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+c}{b+c} \le \frac{1-b^2c^2}{1-a^2c^2} \cdot \left(\frac{a^2+1}{b^2+1}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ 1+\frac{a-b}{b+c} \le \left(1+\frac{(a^2-b^2)c^2}{1-a^2c^2} \right)\left(1+\frac{a^2-b^2}{b^2+1} \right)^2}\)

korzystając z \(\displaystyle{ x,y,z\ge 0 \implies (1+x)(1+y)(1+z) \ge 1+x+y+z}\) możemy oszacować prawą stronę od dołu przez

\(\displaystyle{ 1+\frac{(a^2-b^2)c^2}{1-a^2c^2}+\frac{2(a^2-b^2)}{b^2+1}}\)

wystarczy więc udowodnić, że

\(\displaystyle{ 1+\frac{a-b}{b+c} \le 1+\frac{(a^2-b^2)c^2}{1-a^2c^2}+\frac{2(a^2-b^2)}{b^2+1}}\)

kancelujemy jedynkę, dzielimy przez \(\displaystyle{ a-b>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{b+c} \le \frac{(a+b)c^2}{1-a^2c^2}+\frac{2(a+b)}{b^2+1}}\)

\(\displaystyle{ 1 \le (b+c)\cdot 2c \cdot \left( \frac{c^2}{1-a^2c^2} + \frac{2}{b^2+1}\right)}\)

rozbijamy to na dwa przypadki:

\(\displaystyle{ (\heartsuit) \quad b \ge \frac{11}{38}}\)

ponieważ na mocy założeń mamy \(\displaystyle{ a,c \ge \frac 12}\) i \(\displaystyle{ b\le 1}\), więc prawa strona szacuje się z dołu przez

\(\displaystyle{ \left(\frac{11}{38}+\frac 12\right) \cdot 2 \cdot \frac 12 \cdot \left(\frac{\left(\frac 12 \right)^2}{1-\left(\frac 12 \right)^2\left(\frac 12 \right)^2} + \frac{2}{1^2+1}\right) = 1}\)

\(\displaystyle{ (\spadesuit)\quad b< \frac{11}{38}}\)

w tym przypadku \(\displaystyle{ a>\frac{27}{38}}\), gdyż \(\displaystyle{ a+b\ge 1}\) i w takim razie prawa strona szacuje się z dołu przez

\(\displaystyle{ (0+\frac 12)\cdot 2 \cdot\frac 12 \cdot \left(\frac{\left(\frac 12\right)^2}{1-\left(\frac{27}{38}\right)^2\left(\frac 12\right)^2} + \frac{2}{\left(\frac{11}{38}\right)^2+1} \right)>1}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Post autor: Premislav »

To ja myślałem inaczej: podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{a^2+1}, \ y=\frac{1}{b^2+1}}\), założenie przyjmuje wówczas formę \(\displaystyle{ \sqrt{\frac 1 x-1}+\sqrt{\frac 1 y-1}=k}\), a teza wygląda tak:
\(\displaystyle{ x-x^2+y-y^2\le \frac{8k^2}{(k^2+4)^2}}\)
Powyższe założenie przepisujemy w postaci
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac 1 x-1}=k-\sqrt{\frac 1 y-1}}\), podnosimy stronami do kwadratu i mamy
\(\displaystyle{ \frac 1 x-1=k^2-2k \sqrt{\frac 1 y-1}+\frac 1 y-1}\), co się da skracamy, przepisujemy to w formie
\(\displaystyle{ k^2+\frac 1 y-\frac 1 x=2k\sqrt{\frac 1 y-1}}\), znów podnosimy do kwadratu i mamy:
\(\displaystyle{ k^4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{2}{xy}+\frac{2k^2}{y}-\frac{2k^2}{x}=4k^2\left( \frac 1 y-1\right)}\) czyli założenie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ k^4+4k^2=\frac{2k^2}{x}+\frac{2k^2}{y}-\left( \frac 1 x-\frac 1 y\right)^2 \ (*)}\)
Teraz można już to trywialnie spałować z mnożników Lagrange'a, ale szukałem innego sposobu i nie znalazłem. :cry:
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Post autor: bosa_Nike »

Dzięki, wrzuciłam, bo cóś czułam, że istnieje mniej techniczny sposób na to zadanie niż to, co udało się wystrugać mnie.

U mnie przy \(\displaystyle{ a\ge b}\) to było razem dwa i pół przypadku:
1. Gdy \(\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{3}}\le k\le 2}\) lub gdy \(\displaystyle{ 1\le k<\frac{2}{\sqrt{3}}}\) i \(\displaystyle{ b\ge\frac{k}{8}}\), to mordujemy stycznymi.
2. Gdy \(\displaystyle{ 1\le k<\frac{2}{\sqrt{3}}}\) i \(\displaystyle{ b<\frac{k}{8}}\), to z monotoniczności \(\displaystyle{ g(x)=\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)^2}}\) na \(\displaystyle{ (0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ g(a)+g(b)\le \frac{1}{4}+g\left(\frac{k}{8}\right)}\)
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

[Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Post autor: Kartezjusz »

Nier. Jensena
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[Nierówności] Niejednorodna, dwie zmienne i stała

Post autor: bosa_Nike »

Tak sauté to raczej nie, bo jest problem z wklęsłością. Może gdyby spróbować nakryć czymś wklęsłym, np. taką sklejką złożoną z kawałka danej funkcji oraz dwóch stycznych do jej wykresu w przedziale \(\displaystyle{ (0,2)}\), przechodzących dodatkowo odpowiednio przez \(\displaystyle{ (0,0);\left(2,\frac{4}{25}\right)}\), a może przez \(\displaystyle{ (0,0);\left(k,\frac{k^2}{\left(k^2+1\right)^2}\right)}\), to to by zagrało. Nie wiem, to by trzeba było przeliczyć.

Może gdybyś zechciał rozwinąć swój pomysł, to byłoby łatwiej rozmawiać.
ODPOWIEDZ