[MIX][Planimetria] prawie sama geometria

[klimat]

1. O ostrosłupie trójkątnym \(\displaystyle{ ABCO}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ \angle AOB + \angle BOC + \angle COA> \pi.}\) Wykazać, że każda z krawędzi \(\displaystyle{ OA, OB}\) i \(\displaystyle{ OC}\) ma długość mniejszą niż połowa obwodu trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

2. Niech \(\displaystyle{ p,n \neq 0}\) naturalne oraz \(\displaystyle{ p\ge2}\). Niech \(\displaystyle{ a}\) bedzie liczba rzeczywistą taką że \(\displaystyle{ 1\le a <a+n \le p}\). Pokaż że zbiór \(\displaystyle{ \{\lfloor \log _2 {x} \rfloor, \lfloor \log _3 {x} \rfloor, ... \lfloor \log _p {x} \rfloor : x\in\mathbb{R}, a\le x \le a+n \}}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n+1}\) elementów.

\(\displaystyle{ \lfloor \log _2 {x} \rfloor}\) oznacz część całkowitą


3.Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) , w którym \(\displaystyle{ AB \cdot CD=AD \cdot BC}\) .
Pokaż, że \(\displaystyle{ \angle ACD+\angle BDA+ \angle CAB+\angle DBC= \pi}\) .

4. Danych jest 101 punktów wewnątrz kwadratu jednostkowego z których każde trzy nie są
współliniowe. Pokaż że wśród tych punktów istnieją trzy takie, które są wierzchołkami
trójkąta, którego pole jest mniejsze niż \(\displaystyle{ \frac{1}{180}}\).