[MIX] Mix matematyczny 38

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x+1} = \sqrt[4]{3x+1}}\).
2. Wykazać ze można pokolorować płaszczyznę siedmioma kolorami tak, by nie istniały punkty odległe od siebie o \(\displaystyle{ 1}\) i jednokolorowe.
3. Udowodnić, że \(\displaystyle{ {2n \choose n }}\) jest liczbą parzysta dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\)
4. Szyfr to ciąg binarny, którym nie ma trzech bądź więcej zer czy też jedynek obok siebie. Ile jest szyfrów \(\displaystyle{ 12}\) bitowych ?
4. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba całkowitą dodatnią, zaś \(\displaystyle{ d}\) jest dodatnim dzielnikiem \(\displaystyle{ 2n^2}\) to \(\displaystyle{ n^2+d}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej.
5. Liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 = 2(xy +yz+zx)}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{2xyz}.}\)
6. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje na płaszczyźnie zbiór \(\displaystyle{ n}\) okręgów, z których każdy jest styczny do dokładnie trzech spośród pozostałych ?
7. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x^2)(1+x^4) = 4x^3}\).
8. Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie \(\displaystyle{ x^8 - x^7 + 2x^6 - 2x^5 +3x^4 - 3x^3 +4x^2 - 4x + \frac{5}{2} =0}\) ?
9. Czy dowolny układ kwadratów o łącznym polu \(\displaystyle{ 1}\) można umieścić w kwadracie o polu \(\displaystyle{ 2}\), tak aby te kwadraty nie przecinały się ?
10. Każde dwa spośród sześciu punktów płaszczyzny; pokolorowanych na czerono lub niebiesko; połączono odcinkiem. Czy wtedy musi istnieć czworokąt o jednobarwnych wierzchołkach ?
11. Czy jeśli dany jest dowolny niekończony ciąg cyfr ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, ..., 9 \}}\) to kwadrat pewnej liczby całkowitej jest "fragmentem" tego ciągu ?
12. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \lfloor x^2 \rfloor + \{ x \}}\). Wykazać że istnieje nieskończony postęp arytmetyczny zbudowany z liczb wymiernych o mianowniku \(\displaystyle{ 3}\) (po ewentualnym skróceniu), które nie są w zbiorze \(\displaystyle{ f (R)}\).
13. W dowolnym trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) niech \(\displaystyle{ S_{AB}, S_{BC}, S_{CB}}\) będą symetriami względem boków tego trójkąta. Udowodnić, że dowolny punkt, tóry jest na zewnątrz trójkąta można poprzez te przekształcenia przekształcić na punkt wewnątrz trójkąta.
14. Wyznaczyć stała \(\displaystyle{ C>0}\) ;im większą tym lepiej; aby
\(\displaystyle{ \log(n+1) > \log(n) + \frac{C}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
15. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x-1 =y \\ y^2+y-1=z \\z^2+z-1 =x. \end{cases}}\)
16. Czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5} +2} + \sqrt[3]{ \sqrt{5} - 2}}\) jest niewymierna ?
17. Sześciokąt ma boki \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}\) odpowiednio. Jakie jest jego pole ?
18. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m>1}\) istnieje \(\displaystyle{ m}\) cyfrowa liczba \(\displaystyle{ K}\), taka że \(\displaystyle{ K^n}\) kończy się kolejnymi cyframi liczby \(\displaystyle{ K}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
19. Czy jeśli ciąg arytmetyczny zawiera dwa różne wyrazy będące potęgami liczby całkowitej \(\displaystyle{ a>1}\), to ma on nieskończony podciąg geometryczny ?
20. Niech \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN \cup \{ 0 \}}\) gdzie dla \(\displaystyle{ f(1) =0}\) oraz
dla \(\displaystyle{ f (n) = \max_{j} \{ f(j) + f(n-j) + j )}\) dla \(\displaystyle{ n=2, 3.,,,}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(2019)}\).
Ostatnio zmieniony 8 lut 2019, o 16:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Notoryczny brak kropek.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: a4karo »

7:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: kerajs »

16:    
EDIT
4:    
Ostatnio zmieniony 8 lut 2019, o 17:28 przez kerajs, łącznie zmieniany 2 razy.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: Zahion »

3:    
15:    
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: yorgin »

1:    
11:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: a4karo »

14:    
-- 8 lut 2019, o 17:00 --
yorgin pisze:
1:    

To rozwiązanie ma lukę: dwie funkcje wklęsłe mogą przecinać się w większej ilości punktów

-- 8 lut 2019, o 17:10 --
9:    
-- 8 lut 2019, o 17:19 --
10:    
-- 8 lut 2019, o 17:25 --
3:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: bosa_Nike »

8.:    
5.:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: kerajs »

6:    
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: yorgin »

a4karo pisze: To rozwiązanie ma lukę: dwie funkcje wklęsłe mogą przecinać się w większej ilości punktów
Racja. Obawiam się jednak, że jestem zbyt leniwy, by zrobić przebieg zmienności i pokazać, że są tylko dwa punkty przecięcia. To jest po prostu żmudne, ale łatwe.
20:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: arek1357 »

Tak na szybko w drugim zadaniu można płaszczyznę obłożyć wrzecionem Mosera siedmiowierzchołkowym tak , żeby każdy wierzchołek pomalować innym kolorem...
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: PoweredDragon »

1:    
-- 13 lut 2019, o 15:40 --
7 w R:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: arek1357 »

w siedemnastym po mojemu to brak jednoznaczności zależy jak se narysujesz takie masz pole a tu wrzucam rysunek, dwa przypadki, gdzie obliczałem pola ze wzoru Herona trójkątów ..





Niestety rysunki mi nie wychodzą muszę iść na korepetycję do znamienitych kreślarzy forumowych:

p.: A4karo oraz p.Kruszewskiego jak pomogą stawiam piwo...


Coś kiepski ten rysunek wolałbym większy

Może któryś z adminów to powiększy ...



zad.12.
Ukryta treść:    
Zadanie czwarte ale nie to co rozwiązał Kerajs w linku Premislawa ale to drugie czwarte wynika z bardzo prostego spostrzeżenia a mianowicie:
Ukryta treść:    
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: Blazo2000 »

18.
Ukryta treść:    
-- 16 lut 2019, o 11:29 --19.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: arek1357 »

Zapodaję jeszcze raz 17:



Po kliknięciu jest już dobrze widoczne przynajmniej...
Blazo2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 50
Rejestracja: 31 gru 2017, o 11:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bochnia
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

[MIX] Mix matematyczny 38

Post autor: Blazo2000 »

2.
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ