[MIX] Mix matematyczny 38
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Mix matematyczny 38
1. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x+1} = \sqrt[4]{3x+1}}\).
2. Wykazać ze można pokolorować płaszczyznę siedmioma kolorami tak, by nie istniały punkty odległe od siebie o \(\displaystyle{ 1}\) i jednokolorowe.
3. Udowodnić, że \(\displaystyle{ {2n \choose n }}\) jest liczbą parzysta dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\)
4. Szyfr to ciąg binarny, którym nie ma trzech bądź więcej zer czy też jedynek obok siebie. Ile jest szyfrów \(\displaystyle{ 12}\) bitowych ?
4. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba całkowitą dodatnią, zaś \(\displaystyle{ d}\) jest dodatnim dzielnikiem \(\displaystyle{ 2n^2}\) to \(\displaystyle{ n^2+d}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej.
5. Liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 = 2(xy +yz+zx)}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{2xyz}.}\)
6. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje na płaszczyźnie zbiór \(\displaystyle{ n}\) okręgów, z których każdy jest styczny do dokładnie trzech spośród pozostałych ?
7. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x^2)(1+x^4) = 4x^3}\).
8. Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie \(\displaystyle{ x^8 - x^7 + 2x^6 - 2x^5 +3x^4 - 3x^3 +4x^2 - 4x + \frac{5}{2} =0}\) ?
9. Czy dowolny układ kwadratów o łącznym polu \(\displaystyle{ 1}\) można umieścić w kwadracie o polu \(\displaystyle{ 2}\), tak aby te kwadraty nie przecinały się ?
10. Każde dwa spośród sześciu punktów płaszczyzny; pokolorowanych na czerono lub niebiesko; połączono odcinkiem. Czy wtedy musi istnieć czworokąt o jednobarwnych wierzchołkach ?
11. Czy jeśli dany jest dowolny niekończony ciąg cyfr ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, ..., 9 \}}\) to kwadrat pewnej liczby całkowitej jest "fragmentem" tego ciągu ?
12. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \lfloor x^2 \rfloor + \{ x \}}\). Wykazać że istnieje nieskończony postęp arytmetyczny zbudowany z liczb wymiernych o mianowniku \(\displaystyle{ 3}\) (po ewentualnym skróceniu), które nie są w zbiorze \(\displaystyle{ f (R)}\).
13. W dowolnym trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) niech \(\displaystyle{ S_{AB}, S_{BC}, S_{CB}}\) będą symetriami względem boków tego trójkąta. Udowodnić, że dowolny punkt, tóry jest na zewnątrz trójkąta można poprzez te przekształcenia przekształcić na punkt wewnątrz trójkąta.
14. Wyznaczyć stała \(\displaystyle{ C>0}\) ;im większą tym lepiej; aby
\(\displaystyle{ \log(n+1) > \log(n) + \frac{C}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
15. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x-1 =y \\ y^2+y-1=z \\z^2+z-1 =x. \end{cases}}\)
16. Czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5} +2} + \sqrt[3]{ \sqrt{5} - 2}}\) jest niewymierna ?
17. Sześciokąt ma boki \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}\) odpowiednio. Jakie jest jego pole ?
18. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m>1}\) istnieje \(\displaystyle{ m}\) cyfrowa liczba \(\displaystyle{ K}\), taka że \(\displaystyle{ K^n}\) kończy się kolejnymi cyframi liczby \(\displaystyle{ K}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
19. Czy jeśli ciąg arytmetyczny zawiera dwa różne wyrazy będące potęgami liczby całkowitej \(\displaystyle{ a>1}\), to ma on nieskończony podciąg geometryczny ?
20. Niech \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN \cup \{ 0 \}}\) gdzie dla \(\displaystyle{ f(1) =0}\) oraz
dla \(\displaystyle{ f (n) = \max_{j} \{ f(j) + f(n-j) + j )}\) dla \(\displaystyle{ n=2, 3.,,,}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(2019)}\).
2. Wykazać ze można pokolorować płaszczyznę siedmioma kolorami tak, by nie istniały punkty odległe od siebie o \(\displaystyle{ 1}\) i jednokolorowe.
3. Udowodnić, że \(\displaystyle{ {2n \choose n }}\) jest liczbą parzysta dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, ...}\)
4. Szyfr to ciąg binarny, którym nie ma trzech bądź więcej zer czy też jedynek obok siebie. Ile jest szyfrów \(\displaystyle{ 12}\) bitowych ?
4. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba całkowitą dodatnią, zaś \(\displaystyle{ d}\) jest dodatnim dzielnikiem \(\displaystyle{ 2n^2}\) to \(\displaystyle{ n^2+d}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej.
5. Liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 = 2(xy +yz+zx)}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{2xyz}.}\)
6. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje na płaszczyźnie zbiór \(\displaystyle{ n}\) okręgów, z których każdy jest styczny do dokładnie trzech spośród pozostałych ?
7. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x^2)(1+x^4) = 4x^3}\).
8. Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie \(\displaystyle{ x^8 - x^7 + 2x^6 - 2x^5 +3x^4 - 3x^3 +4x^2 - 4x + \frac{5}{2} =0}\) ?
9. Czy dowolny układ kwadratów o łącznym polu \(\displaystyle{ 1}\) można umieścić w kwadracie o polu \(\displaystyle{ 2}\), tak aby te kwadraty nie przecinały się ?
10. Każde dwa spośród sześciu punktów płaszczyzny; pokolorowanych na czerono lub niebiesko; połączono odcinkiem. Czy wtedy musi istnieć czworokąt o jednobarwnych wierzchołkach ?
11. Czy jeśli dany jest dowolny niekończony ciąg cyfr ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, ..., 9 \}}\) to kwadrat pewnej liczby całkowitej jest "fragmentem" tego ciągu ?
12. Niech \(\displaystyle{ f(x) = \lfloor x^2 \rfloor + \{ x \}}\). Wykazać że istnieje nieskończony postęp arytmetyczny zbudowany z liczb wymiernych o mianowniku \(\displaystyle{ 3}\) (po ewentualnym skróceniu), które nie są w zbiorze \(\displaystyle{ f (R)}\).
13. W dowolnym trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) niech \(\displaystyle{ S_{AB}, S_{BC}, S_{CB}}\) będą symetriami względem boków tego trójkąta. Udowodnić, że dowolny punkt, tóry jest na zewnątrz trójkąta można poprzez te przekształcenia przekształcić na punkt wewnątrz trójkąta.
14. Wyznaczyć stała \(\displaystyle{ C>0}\) ;im większą tym lepiej; aby
\(\displaystyle{ \log(n+1) > \log(n) + \frac{C}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
15. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x-1 =y \\ y^2+y-1=z \\z^2+z-1 =x. \end{cases}}\)
16. Czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5} +2} + \sqrt[3]{ \sqrt{5} - 2}}\) jest niewymierna ?
17. Sześciokąt ma boki \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}\) odpowiednio. Jakie jest jego pole ?
18. Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m>1}\) istnieje \(\displaystyle{ m}\) cyfrowa liczba \(\displaystyle{ K}\), taka że \(\displaystyle{ K^n}\) kończy się kolejnymi cyframi liczby \(\displaystyle{ K}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
19. Czy jeśli ciąg arytmetyczny zawiera dwa różne wyrazy będące potęgami liczby całkowitej \(\displaystyle{ a>1}\), to ma on nieskończony podciąg geometryczny ?
20. Niech \(\displaystyle{ f: \NN \to \NN \cup \{ 0 \}}\) gdzie dla \(\displaystyle{ f(1) =0}\) oraz
dla \(\displaystyle{ f (n) = \max_{j} \{ f(j) + f(n-j) + j )}\) dla \(\displaystyle{ n=2, 3.,,,}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(2019)}\).
Ostatnio zmieniony 8 lut 2019, o 16:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Notoryczny brak kropek.
Powód: Poprawa wiadomości. Notoryczny brak kropek.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny 38
14:
yorgin pisze:1:
To rozwiązanie ma lukę: dwie funkcje wklęsłe mogą przecinać się w większej ilości punktów
-- 8 lut 2019, o 17:10 --
9:
10:
3:
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny 38
Racja. Obawiam się jednak, że jestem zbyt leniwy, by zrobić przebieg zmienności i pokazać, że są tylko dwa punkty przecięcia. To jest po prostu żmudne, ale łatwe.a4karo pisze: To rozwiązanie ma lukę: dwie funkcje wklęsłe mogą przecinać się w większej ilości punktów
20:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny 38
Tak na szybko w drugim zadaniu można płaszczyznę obłożyć wrzecionem Mosera siedmiowierzchołkowym tak , żeby każdy wierzchołek pomalować innym kolorem...
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: [MIX] Mix matematyczny 38
w siedemnastym po mojemu to brak jednoznaczności zależy jak se narysujesz takie masz pole a tu wrzucam rysunek, dwa przypadki, gdzie obliczałem pola ze wzoru Herona trójkątów ..
Niestety rysunki mi nie wychodzą muszę iść na korepetycję do znamienitych kreślarzy forumowych:
p.: A4karo oraz p.Kruszewskiego jak pomogą stawiam piwo...
Coś kiepski ten rysunek wolałbym większy
Może któryś z adminów to powiększy ...
zad.12.
Zadanie czwarte ale nie to co rozwiązał Kerajs w linku Premislawa ale to drugie czwarte wynika z bardzo prostego spostrzeżenia a mianowicie:
Niestety rysunki mi nie wychodzą muszę iść na korepetycję do znamienitych kreślarzy forumowych:
p.: A4karo oraz p.Kruszewskiego jak pomogą stawiam piwo...
Coś kiepski ten rysunek wolałbym większy
Może któryś z adminów to powiększy ...
zad.12.
Ukryta treść:
Ukryta treść: