[MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: kerajs »

12:    
13 (może):    
PokEmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 mar 2017, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 20 razy

[MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: PokEmil »

27.:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: Premislav »

19.:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: kerajs »

3:    
26:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: Premislav »

21. częściowo:    
BTW Ciąg w zadaniu 23. jest źle określony, proponuję poprawić treść.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: mol_ksiazkowy »

21 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: arek1357 »

Zad. 8
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 3 sty 2019, o 18:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: PoweredDragon »

Odpowiedź do UP:    
Ostatnio zmieniony 3 sty 2019, o 22:34 przez PoweredDragon, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: arek1357 »

Funkcje są ściśle rosnące...

A to wychodzi z warunków zadania przeczytaj uważnie treść...
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: PoweredDragon »

No funkcje, o których ja pisałem też są ściśle rosnące, są \(\displaystyle{ \ZZ \rightarrow \RR}\)

I dla każdej pary argumentów \(\displaystyle{ m, n}\) istnieje \(\displaystyle{ k}\), t. że \(\displaystyle{ f(k) = f(m) - f(n)}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: arek1357 »

Zad. 4
Ukryta treść:    

Odp. do 8:

Jeżeli przyjmiesz:

\(\displaystyle{ m=n}\)

to istnieje takie u , że:

\(\displaystyle{ f(u)=f(m)-f(m)=0}\)

Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ u<0}\)

Nie wiem o co ci chodzi...

Poza tym co Ty piszesz:
A skąd wniosek, że istnieje takie \(\displaystyle{ u<0}\)? Może \(\displaystyle{ f(1)=0}\)
Jakby\(\displaystyle{ f(1)=0}\) to funkcja nie byłaby rosnąca chyba...
Poza tym za dużo "jak widać" jak na to, że nie wiele widać przez ten dziwny zapis
Dokładnie z tego już co piszesz nic nie widać...

Sam sobie zaprzeczasz...
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: PoweredDragon »

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x-1}\)

Jest silnie rosnąca
Można ją "okroić" na \(\displaystyle{ \ZZ \to \ZZ \subseteq \RR}\)
\(\displaystyle{ f(1) = 0}\)
I dla każdej pary liczb całkowitych m, n istnieje k t. że\(\displaystyle{ f(k) = f(m)-f(n) \in \ZZ}\)
bo oczywiście ta funkcja jest "na" \(\displaystyle{ \ZZ}\)

Ta funkcja spełnia warunki zadania
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: arek1357 »

Tak masz rację warunek,\(\displaystyle{ u<0}\) u mnie jest niepotrzebny...
Musiałem czymś się zasugerować...

Natomiast w zadaniu 23. jak widać można liczyć tylko parzyste ponieważ brak jest:

\(\displaystyle{ a_{1}}\) a przeskok jest co dwa...



Natomiast 15.
Ukryta treść:    

Zad. 28
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: kerajs »

2:    
9:    
28 inaczej:    

PS:
uwaga do 21:    
pytanie do 4:    
EDIT
ad 9:

A4karo słusznie mi wypomniał, iż to mianownik, a nie licznik jak napisałem powyżej, jest ograniczony do 200. Dlatego jedynym rozwiązaniem jest wskazane już w Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019 (Post by a4karo #5566955): \(\displaystyle{ \frac{45+59}{61+80}= \frac{104}{141}}\) . Sorry.
Ostatnio zmieniony 8 sty 2019, o 00:16 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019

Post autor: arek1357 »

Wartość oczekiwana w istocie nie musi być całkowita, ale w tym zadaniu chodzi o całkowite wartości więc musimy przybliżyć do najbliższej całkowitej coby pasowało...
ODPOWIEDZ