Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Dla wybranej liczby można utworzyć tylko trzy podzbiory ją zawierające. Wraz z nią w tych podzbiorach występuje 6 różnych liczb, aby część wspólna dowolnych dwóch z nich nie była zbiorem dwuelementowym. Gdyby dla pozostałych liczb istniało 6 liczb spełniających warunki to maksymalna ilość podzbiorów byłaby równa \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2}8 \cdot 6 }{3} =8}\). Faktycznie, jest możliwy taki podział, np: \(\displaystyle{ \left\{ (1,2,3),(1,4,5),(1,6,7),(8,2,4),(8,6,5),(8,7,3),(7,2,5),(6,4,3)\right\}}\)
Określamy dziedzinę nierówności, czyli \(\displaystyle{ x \neq 0}\), \(\displaystyle{ x + \frac {1}{x} \ge 0}\), \(\displaystyle{ 1 - \frac {1}{x} \ge 0}\), czyli po paru żmudnych przekształceniach: \(\displaystyle{ x \in \left\{ -1 \right\} \cup \left\langle 1, \infty )}\). Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ x = -1}\), otrzymując \(\displaystyle{ - \sqrt {2} > 2}\), zatem \(\displaystyle{ -1}\) nie jest rozwiązaniem tej nierówności. Zatem \(\displaystyle{ x \ge 1}\). Mnożymy więc naszą nierówność przez \(\displaystyle{ x}\) i wciągamy w lewej stronie go do pierwiastka otrzymując \(\displaystyle{ \sqrt {x^3 - x} - \sqrt {x^2 - x} > x-1}\). Teraz podnosząc obie strony do kwadratu (bo obie strony są nieujemne) mamy \(\displaystyle{ x^3 - x + x^2 - x - 2x\sqrt{x^3 - x^2 - x + 1} > x^2 - 2x + 1}\), równoważnie \(\displaystyle{ x^3-1 > 2x\sqrt{x^3-x^2-x+1}}\), podnosząc ponownie do kwadratu mamy \(\displaystyle{ x^6 - 2x^3 + 1 > 4x^5 - 4x^4 - 4x^3 + 4x^2}\), czyli \(\displaystyle{ x^6 - 4x^5 + 4x^4 + 2x^3 - 4x^2 + > 0}\). Dwukrotnie stosując schemat Hornera, zauważając że \(\displaystyle{ 1}\) jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu po lewej mamy \(\displaystyle{ (x-1)^2 (x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x +1) = (x-1)^2 (x^4 - x^3 - x^2 - x^3 + x^2 + x - x^2 + x + 1) = (x-1)^2 (x^2 (x^2-x-1) - x(x^2-x-1) - (x^2-x-1)) = (x-1)^2 (x^2-x-1)^2 > 0}\).
Ta nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x \neq 1}\) oraz (z drugiego czynnika) \(\displaystyle{ \frac {\sqrt5 - 1}{2}}\) (który i tak się nie zalicza do naszej dziedziny) oraz \(\displaystyle{ \frac {\sqrt5 + 1}{2}}\), więc rozwiązaniem naszej nierówności jest \(\displaystyle{ x \in \left( 1, \frac {\sqrt5 + 1}{2} \right) \cup \left( \frac {\sqrt5 + 1}{2}, \infty \right)}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} \tg^2 \left( x \right) + 2\ctg^2 \left( 2y \right) = 1\\ \tg^2 \left( y \right) + 2\ctg^2 \left( 2z \right) = 1 \\ \tg^2 \left( z \right) + 2\ctg^2 \left( 2x \right) = 1. \end{cases}}\)
Dziedzina: \(\displaystyle{ x,y,z\in \RR\setminus\left\{ \frac{k\pi}{2}: k\in \ZZ\right\}}\)
Łatwo wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ \ctg(a+b)=\frac{\ctg a\ctg b-1}{\ctg a+\ctg b}}\)
z którego wynika w szczególności, że \(\displaystyle{ \ctg(2y)=\frac{\ctg^2y-1}{2\ctg y}}\)
Korzystamy z tego i wszystko przedstawiamy jako funkcje kotangensa: \(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{ \ctg^2 \left( x \right)} + \frac{(\ctg^2 y-1)^2}{2\ctg^2 y} = 1\\ \frac{1}{\ctg^2 \left( y \right)} + \frac{(\ctg^2z-1)^2}{2\ctg^2 z} = 1 \\ \frac{1}{\ctg^2 \left( z \right)}+ \frac{(\ctg^2 x-1)^2}{2\ctg^2 x} = 1. \end{cases}}\)
Przepisujemy ten układ w innej postaci, przenosząc \(\displaystyle{ \frac{1}{\ctg^2(x)}}\) i tak dalej: \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{(\ctg^2 y-1)^2}{2\ctg^2 y} = \frac{\ctg^2 x-1}{\ctg^2 x} \\ \frac{(\ctg^2z-1)^2}{2\ctg^2 z} = \frac{\ctg^2 y-1}{\ctg^2 y} \\ \frac{(\ctg^2 x-1)^2}{2\ctg^2 x} = \frac{\ctg^2 z-1}{\ctg^2 z} . \end{cases}}\)
Jeśli choć jedna z wartości \(\displaystyle{ \ctg^2 x, \ \ctg^2 y, \ \ctg^2 z}\) równa jest \(\displaystyle{ 1}\), to łatwo widać, że wszystkie muszą być tyle równe. Ponadto z wcześniejszej postaci układu wynika, że \(\displaystyle{ \ctg^2x\ge 1, \ \ctg^2 y\ge 1, \ \ctg^2 z\ge 1}\). Załóżmy teraz, że żadna z tych liczb nie wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ a=1-\frac{1}{\ctg^2(x)}, \ b=1-\frac{1}{\ctg^2 y}, \ c=1-\frac{1}{\ctg^2 z}}\)
Układ przyjmuje postać: \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{b^2}{1-b}=2a \\ \frac{c^2}{1-c} =2b \\\frac{a^2}{1-a}=2c\end{cases}}\)
przy czym \(\displaystyle{ 0<a,b,c<1}\).
Wymnażamy wszystkie równania przez mianowniki, dodajemy stronami i mamy \(\displaystyle{ (a+b+c)^2=2(a+b+c)}\), czyli \(\displaystyle{ a+b+c=2}\).
Z drugiej strony mnożąc wszystkie równania stronami i skracając, dostajemy \(\displaystyle{ abc=8(1-a)(1-b)(1-c)}\),
czyli \(\displaystyle{ 8+9abc=8(ab+bc+ca)}\)
I tutaj pomoże nam względnie ciekawa nierówność: jeśli \(\displaystyle{ a,b,c\in (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c=2}\), to \(\displaystyle{ 8+9abc\ge 8(ab+bc+ca)}\)
Prawdziwa jest nawet ociupinkę ogólniejsza:
jeśli \(\displaystyle{ a,b,c\ge 0}\) i \(\displaystyle{ a+b+c=2}\), to \(\displaystyle{ 8+9abc\ge 8(ab+bc+ca)}\)
Dowód idzie z nierówności Schura (w najbardziej podstawowej formie):
w nieujemnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi (to jest właśnie Schur) \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+3abc\ge \sum_{\text{ cyc }}^{}ab(a+b)}\),
dodajemy stronami \(\displaystyle{ 3abc+3\sum_{\text{ cyc }}^{}ab(a+b)}\)
i otrzymujemy w ten sposób \(\displaystyle{ (a+b+c)^3\ge 3abc+4 \sum_{\text{ cyc }}^{}ab(a+b)}\)
czyli z uwagi na założenie o sumie: \(\displaystyle{ 8\ge 3abc+4 \sum_{\text{ cyc }}^{}ab(2-c)\\ 8+9abc\ge 8 \sum_{\text{ cyc}}^{}ab}\)
Równość (jak to z Schurem bywa) dla równych zmiennych oraz \(\displaystyle{ (a,a,0)}\) i permutacji,
czyli \(\displaystyle{ (a,b,c)=\left( \frac 2 3, \frac 2 3, \frac 2 3\right)}\) bądź \(\displaystyle{ (a,b,c)=(1,1,0)}\) i permutacje, jako że u nas \(\displaystyle{ a,b,c\in (0,1)}\), to ten drugi przypadek równości odpada i pozostaje \(\displaystyle{ a=b=c=\frac 2 3}\),
czyli \(\displaystyle{ \ctg^2x=\ctg^2 y=\ctg^2 z=3}\)
Uff. Podsumowanie:
rozwiązaniami zadania są trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)=\left( \frac \pi 4+\frac{k\pi}{2}, \frac \pi 4+\frac{l\pi}{2}, \frac \pi 4+\frac{m\pi}{2}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ k,l,m \in \ZZ}\)
oraz \(\displaystyle{ (x,y,z)=\left( \pm \frac \pi 6+k\pi, \pm \frac \pi 6+l\pi, \pm \frac \pi 6+m\pi\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ k,l,m\in \ZZ}\) (a układ plusów i minusów jest dowolny).
i)
Wypisując liczby spirali co pewien czas zapisane pola tworzą kwadraty:
a) o środku w środku pola z liczbą 1 i kwadratem liczby nieparzystej (czyli ilością pól w kwadracie) w lewym dolnym rogu kwadratu. Dlatego kwadraty liczb nieparzystych są na jednej diagonali
b) o środku w prawym dolnym wierzchołku pola z liczbą 1 i kwadratem liczby parzystej (czyli ilością pól w kwadracie) w prawym górnym rogu kwadratu. One też leżą na wspólnej przekątnej.
ii)
Liczby na półprostej o początku w polu z liczbą 5 to: \(\displaystyle{ 5,16,35,62,97,...}\)
Łączy je rekurencja: \(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+4(2n-1)-1 \wedge a_1=5}\)
którą można wyrazić wzorem ogólnym: \(\displaystyle{ a_n=4n^2-n+2}\)
Łatwo wykazać (np: przez podstawienie za n liczb \(\displaystyle{ 3k, 3k+1,3k+2}\) ) że żaden wyraz nie jest podzielny przez 3.
\(\displaystyle{ x + \sqrt{x \left( x+1 \right) } +\sqrt{x \left( x+2 \right) }+ \sqrt{ \left( x+1 \right) \left( x+2 \right) } = 2}\)
Dziedzina: \(\displaystyle{ x\in \RR\setminus (-2,0)}\).
Przyjmijmy najpierw, że \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Zapisujemy \(\displaystyle{ \sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2-x}\), stąd \(\displaystyle{ x\le 2}\).
Podnosimy stronami do kwadratu i mamy: \(\displaystyle{ x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)+2x\sqrt{(x+1)(x+2)}+2(x+1)\sqrt{x(x+2)}+2(x+2)\sqrt{x(x+1)}=x^2-4x+4}\),
dalej podstawiamy za \(\displaystyle{ \sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
i dostajemy: \(\displaystyle{ x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)+2x(2-x)+2\sqrt{x(x+2)}+4\sqrt{x(x+1)}=x^2-4x+4}\),
a po uproszczeniach: \(\displaystyle{ \sqrt{x(x+2)}+2\sqrt{x(x+1)}=1-7x}\),
co zawęża nasze rozważania do \(\displaystyle{ x\in\left[ 0, \frac 1 7\right]}\).
Przy tych założeniach znów podnosimy stronami do kwadratu i otrzymujemy \(\displaystyle{ x(x+2)+4x(x+1)+4x\sqrt{(x+1)(x+2)}=49x^2-14x+1\\ 4x\sqrt{(x+1)(x+2)}=44x^2-20x+1}\)
Teraz ograniczamy się do \(\displaystyle{ x\in \left[ 0, \frac{5-\sqrt{14}}{22} \right]}\)
Po raz ostatni podnosimy stronami do kwadratu i dostajemy: \(\displaystyle{ 16x^2(x+1)(x+2)=1936x^4-1760x^3+488x^2-40x+1\\ 1920x^4-1808x^3+456x^2-40x+1=0\\ \left( 24x-1\right)\left(80x^3-72x^2+16x -1\right)=0}\)
Drugi czynnik nie zeruje się w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{5-\sqrt{14}}{22} \right]}\), a nawet w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{10}\right]}\),
co łatwo można wykazać z użyciem rachunku różniczkowego. Stąd jedyne dodatnie rozwiązanie równania to \(\displaystyle{ x=\frac{1}{24}}\).
Teraz przyjmiemy, że \(\displaystyle{ x\le -2}\). Jak poprzednio dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2-x}\)
zaś po podniesieniu stronami do kwadratu: \(\displaystyle{ x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)-2x\sqrt{(x+1)(x+2)}-2(x+1)\sqrt{x(x+2)}-2(x+2)\sqrt{x(x+1)}=x^2-4x+4}\),
a zatem, po wyłączeniu \(\displaystyle{ -2x\left( \sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}\right):}\) \(\displaystyle{ x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)-2x(2-x)-2\sqrt{x(x+2)}-4\sqrt{x(x+1)}=\\=x^2-4x+4}\)
a po uproszczeniach \(\displaystyle{ 2x^2+3x-1=\sqrt{x(x+2)}+2\sqrt{x(x+1)}}\)
Lewa strona jest nieujemna dla \(\displaystyle{ x\le \frac{-3-\sqrt{17}}{4}}\), więc w szczególności dla \(\displaystyle{ x\le -2}\). Podnosimy stronami do kwadratu i otrzymujemy: \(\displaystyle{ 4x^4+12x^3+5x^2-6x+1=x(x+2)+4x(x+1)-4x\sqrt{(x+1)(x+2)}\\ 4x^4+12x^3-12x+1=-4x\sqrt{(x+1)(x+2)}}\)
Po podniesieniu tego stronami do kwadratu (nawet po to, by wiedzieć, kiedy to można zrobić, potrzebne są już wzory Ferrariego) mamy równanie siódmego stopnia, ja wiem, taki człowiek był, Galois chyba się nazywał, który mi powiedział, żebym dał sobie święty spokój (zanim zginął). Po co dawać takie zadania, czemu to służy? Potem można dorzucić kolejne bezsensowne zadanie do „nierozwiązanych problemów".
BTW Ciąg w zadaniu 23. jest źle określony, proponuję poprawić treść.
czyli istnieje takie \(\displaystyle{ u \in \ZZ}\) , że:
\(\displaystyle{ f(u)=0, u<0}\)
A skąd wniosek, że istnieje takie \(\displaystyle{ u<0}\)? Może \(\displaystyle{ f(1)=0}\)? Albo jakieś większe \(\displaystyle{ u \in \mathbb N}\)?
Poza tym za dużo "jak widać" jak na to, że nie wiele widać przez ten dziwny zapis
A w zasadzie to każda funkcja postaci \(\displaystyle{ a \in \mathbb R_+}\) \(\displaystyle{ \exists! u \in \ZZ : \ f(u) = 0 \wedge \forall i \in \mathbb Z: \ f(u+i) = ai}\)
spełnia warunki zadania i to są funkcje, które są szukane...
Ostatnio zmieniony 3 sty 2019, o 22:34 przez PoweredDragon, łącznie zmieniany 1 raz.
Jest silnie rosnąca
Można ją "okroić" na \(\displaystyle{ \ZZ \to \ZZ \subseteq \RR}\) \(\displaystyle{ f(1) = 0}\)
I dla każdej pary liczb całkowitych m, n istnieje k t. że\(\displaystyle{ f(k) = f(m)-f(n) \in \ZZ}\)
bo oczywiście ta funkcja jest "na" \(\displaystyle{ \ZZ}\)
1) Tożsamość:
W tej izometrii każdy punkt jest punktem stałym tego przekształcenia, więc środek symetrii także nim jest.
2) Symetria środkowa:
Figura ograniczona ma co najwyżej jeden środek symetrii. Jeśli F posiada środek symetrii to jest on jedynym środkiem symetrii F, więc i punktem stałym tego przekształcenia.
3) Symetria osiowa:
Jeśli F ma oś symetrii i środek symetrii to posiada także drugą symetralną, prostopadłą do pierwszej. Ich przecięciem jest środek symetrii. Ponieważ leży on na symetralnej wiec jest punktem stałym symetrii środkowej względem tej osi.
4) Translacja:
a) Przesunięcie o niezerowy wektor nie jest izometrią własną (obrazem F nie jest F).
b) Przesunięcie o zerowy wektor to tożsamość.
5) Obrót:
a) Jeśli środek symetrii pokrywa się ze środkiem obrotu to jest punktem stałym tej izomerii.
b) Jeśli środek symetrii nie pokrywa się ze środkiem obrotu to takie przekształcenie nie jest to izomerią własną. Łatwo to pokazać biorąc punkt A będący jednym z punków F najbardziej oddalonych od środka symetrii S, oraz jego obraz w tej symetrii (B). Nawet jeśli znajdzie się taki kąt przy którym A' (obraz A w obrocie) spełnia: \(\displaystyle{ \left|AS\right| =\left|A'S\right|}\) to wtedy \(\displaystyle{ \left|AS\right| =\left|A'S\right|=\left|BS\right| \leq \left|B'S\right|}\). Dla pozostałych kątów \(\displaystyle{ \left|AS \right| \leq \left|A'S\right|}\). W obu przypadkach obrazem F nie jest F.
Ergo:
W każdej izometrii przekształcającej F w F, środek symetrii F jest jej punktem stałym.
\(\displaystyle{ \frac{45}{61}>\frac{45+45+45+59}{61+61+61+80}>\frac{45+45+59}{61+61+80}>\frac{45+45+59+59}{61+61+80+80}>\frac{45+59}{61+80}> \\ >\frac{45+59+59}{61+80+80}>\frac{45+59+59+59}{61+80+80+80}>\frac{59}{80}}\)
Dalsze wypisywanie ułamków nie ma sensu gdyż ich liczniki są większe od 200 .
Szukane ułamki to: \(\displaystyle{ \frac{45+45+45+59}{61+61+61+80}= \frac{194}{263} \\
\frac{45+45+59}{61+61+80}= \frac{149}{202}\\
\frac{45+59}{61+80}= \frac{104}{141}\\
\frac{45+59+59}{61+80+80}= \frac{163}{221}}\)
28 inaczej:
Różnica kwadratów przy dzieleniu przez 4 może mieć resztę -1, 0 lub 1. Dlatego m nie może mieć postaci \(\displaystyle{ 4t+2}\). Pozostałe liczby całkowite m można przedstawić w postaci różnicy kwadratów: \(\displaystyle{ 4t-1=(2t)^2-(2t-1)^2\
4t=(t+1)^2-(t-1)^2\
4t+1=(2t+1)^2-(2t)^2}\)
Skoro \(\displaystyle{ m=p^2-q^2}\) to \(\displaystyle{ mk=m(a^2-b^2)=(p^2-q^2)(a^2-b^2)=(ap+bq)^2-(aq+bp)^2}\)
Konkluzja: Każda liczba całkowita która nie jest postaci \(\displaystyle{ 4t+2}\) spełnia warunki zadania.
Czyli nam pozostaje znaleźć jedyne rozwiązanie ujemne.
pytanie do 4:
arek1357 pisze:
Czyli mamy,że:
\(\displaystyle{ E[X] \ge 3,9}\)
A, że wartość oczekiwana musi być całkowita powinna być:
\(\displaystyle{ E[X] \ge 4}\)
Dlaczego wartość oczekiwana musi być liczbą całkowitą?
EDIT
ad 9: A4karo słusznie mi wypomniał, iż to mianownik, a nie licznik jak napisałem powyżej, jest ograniczony do 200. Dlatego jedynym rozwiązaniem jest wskazane już w Re: [MIX]Mix na Nowy Rok 2019 (Post by a4karo #5566955): \(\displaystyle{ \frac{45+59}{61+80}= \frac{104}{141}}\) . Sorry.
Ostatnio zmieniony 8 sty 2019, o 00:16 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
Wartość oczekiwana w istocie nie musi być całkowita, ale w tym zadaniu chodzi o całkowite wartości więc musimy przybliżyć do najbliższej całkowitej coby pasowało...