[MIX]Mix na Nowy Rok 2019

[kerajs]

23:    

Zakładając, że chodzi o ciąg:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n}= \frac{\sqrt{3}a_{n-1}+1}{\sqrt{3} - a_{n-1}} \\ a_0=2 \end{cases}}\)
to jego wyrazami są:
\(\displaystyle{ a_{6k}=2\\
a_{6k+1}=-8-5 \sqrt{3} \\
a_{6k+2}= \frac{-8-5 \sqrt{3}}{11} \\
a_{6k+3}= \frac{-1}{2} \\
a_{6k+4}= \frac{-8+5 \sqrt{3}}{11} \\
a_{6k+5}=-8+5 \sqrt{3}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ a_{2019}=a_{6 \cdot 336+3}= \frac{-1}{2}}\)

29 ?:    

Trójki spełniające warunki zadania to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{-a}{b} , \frac{b}{c} , \frac{c}{a} \right) , \left( \frac{-a}{b} , \frac{-b}{c} , \frac{-c}{a} \right) \text{ dla } a,b,c \in Z \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Wyjątki których nie obejmują powyższe trójki:
\(\displaystyle{ (1,1,1), (1,-1,-1), (1,2, \frac{1}{2}), (-1,-2, \frac{1}{2}), (-1,2, \frac{-1}{2}), (1,-2, \frac{-1}{2})}\)

[Mariusz M]

Tutaj chciałem się odnieść do wpisów użytkownika mol_ksiazkowy z
3 stycznia 2019, 16:03
oraz użytkownika Premislav z
3 stycznia 2019, 06:38

mol_ksiazkowy, gdybyś przeczytał ze zrozumieniem rozwiązanie użytkownika Premislav,
to zauważyłbyś że on już rozwiązanie tego Japończyka uzyskał

Jeśli chodzi o próbę rozwiązania użytkownika Premislav
to wielomian ósmego stopnia jaki by uzyskał można rozłożyć na
iloczyn dwóch wielomianów czwartego stopnia o współczynnikach całkowitych

[mol_ksiazkowy]

ad 29; skąd taki wynik ?



( ͡° ͜ʖ ͡°)

[kerajs]

To niestety nie jest efekt obliczeń, a raczej zgadywania możliwych rozwiązań. Intuicja sugerowała mi (o, jakże często mnie zwiodła) że raczej nie powinno być innych rozwiązań. Dlatego przy odpowiedzi umieściłem znak zapytania, gdyż nie jestem całkiem pewny czy nie ma innych trójek spełniających warunki zadania.
Pewnie bym nie zamieszczał niepewnej odpowiedzi gdyby nie to, że było to już OSTATNIE zadanie w tym zestawie.

[arek1357]

Co do zadania 1 to coś mi się tu nie podoba , ponieważ reasumując warunki jakie musi spełniać funkcja \(\displaystyle{ f }\)wypiszę je tak jak są przedstawione ale dla przypomnienia, otóż:

\(\displaystyle{ f(1)=2}\)

\(\displaystyle{ f(2)=3}\)

\(\displaystyle{ f(a \cdot 3^n)=3^nf(a)}\)

\(\displaystyle{ f(3a+1)=f(3a)+1}\)

\(\displaystyle{ f(3a+2)=f(3a)+2}\)

Oraz z warunku zadania: \(\displaystyle{ ff(n)=3n}\)

Obliczmy teraz stosując powyższe warunki:

\(\displaystyle{ ff(4)=ff(3 \cdot 1+1)=f\left( f(1 \cdot 3)+1\right) =f\left( 3 \cdot f(1)+1\right) =f\left( 3 \cdot 2+1\right) =f\left( 7\right)=f\left( 3 \cdot 2+1\right)=f\left( 2 \cdot 3\right) +1=3 \cdot f\left( 2\right)+1=3 \cdot 3+1=10 }\)

Wyszło nam, że:

\(\displaystyle{ ff(4)=10}\)

Ale z warunków zadania mamy, że powinno być:

\(\displaystyle{ ff(4)=3 \cdot 4=12}\)

Czyli funkcja nie spełnia warunku zadanego , a może jest inaczej???

Oczywiście liczb niespełniających warunku zadania mogę tu mnożyć...

Dodano po 1 dniu 21 godzinach 25 minutach 53 sekundach:
Według moich spostrzeżeń konstrukcja tego ciągu tak aby spełniał warunki zadania winna być następująca:

\(\displaystyle{ 1,2,3,6,9,18,27,...}\)

Jak widać mamy tu pierwszy podciąg , który spełnia warunki zadania, a teraz popatrzmy jakiej najmniejszej liczby tu brakuje, otóż jest to: \(\displaystyle{ 4}\)

czwórce powinna odpowiadać większa liczba niż trójce czyli \(\displaystyle{ 7}\)

Mamy więc następny podciag:

\(\displaystyle{ 4,7,12,21,36,63,...}\) - widać jak to idzie dalej

Teraz znowu patrzymy jaka jest najmniejsza liczba , której brakuje w obu podciągach jest to: \(\displaystyle{ 5}\)

A skoro wartość piątki ma być większa od wartości czwórki a dla czwórki przypada \(\displaystyle{ 7}\) wybieramy jak najmniejszą czyli \(\displaystyle{ 8}\)

Mamy następujący podciag:

\(\displaystyle{ 5,8,15,21,45,63,135,...}\)

I znowu następną liczbę wybieramy na zasadzie najmniejszego braku czyli \(\displaystyle{ 10}\) a skoro było \(\displaystyle{ 9 \rightarrow 18}\)

To tu musi być:

\(\displaystyle{ 10,19,30,57,90,...}\)

I tak konstruujemy do nieskończoności ten ciąg wypełniając całe \(\displaystyle{ N}\)

Podciągi się nie zazębiają i wypełniają wszystkie liczby naturalne i spełniają warunki zadania...

Trzeba też pamiętać na jakich miejscach stoją poszczególne wartości:

\(\displaystyle{ f(1)=2}\)

\(\displaystyle{ f(2)=3}\)

\(\displaystyle{ f(3)=6}\)

\(\displaystyle{ f(4)=7}\)

\(\displaystyle{ f(5)=8}\)

\(\displaystyle{ f(6)=9}\)

\(\displaystyle{ f(7)=12}\)

\(\displaystyle{ f(8)=15}\)

\(\displaystyle{ f(9)=18}\)

\(\displaystyle{ f(10)=19}\)

\(\displaystyle{ f(11)=?...}\)

Moje przypuszczenie jest takie,że ciąg ten asymptotycznie zbiega do widma liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3} }\) , ale to tylko hipoteza...

Dodano po 1 godzinie 52 minutach 41 sekundach:
Czyli do:

\(\displaystyle{ \left[ \sqrt{3}n \right] }\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)