[MIX] Mix matematyczny 37

[arek1357]

Troszkę to przypomina zadawanie dość wyrafinowanych ciosów przez zawodowego boksera psu, który leży całkiem martwy...

Bo trudno znaleźć tak czy siak zbiór nieograniczony, zawarty w półprostej, nie będący półprostą a do tego wypukły..., jeżeli wywalimy choć jeden punkt to wypukłość się posypie...

Problem stałby się ciekawszy w przestrzeni Hilberta...

[a4karo]

Ale tego nie wiemy

No raczej \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem zupełnym w topologii klasycznej...

A co to jest "zbiór zupełny"?

W przypadku wypukłego zbioru \(\displaystyle{ X=\{(x,y):y<0\}}\) projekcja tego zbioru na kółko jednostkowe nie jest zbirem domkniętym, więc widać, że argument z "dowodu" wymaga przynajmniej uzasadnienia.

[arek1357]

Oczywiście, że nie jest domknięty po tej projekcji bo źródłowy nie jest ograniczony...

Ja nie mówię , że X jest zwarty ponieważ jest nieograniczony...

X w tym zadaniu to bierzemy w sumie tylko zbiory domknięte...

[a4karo]

Oczywiście, że nie jest domknięty po tej projekcji bo źródłowy nie jest ograniczony...

Słaby argument: wnętrze dolnej połowy koła też next wypukłe i ograniczone

[arek1357]

Oczywiście masz racje ale przyzwyczailiśmy się brać tylko zbiory domknięte w tego typu zadaniach..
I dlatego jedziemy po bandzie...Np rysujesz w szkółce dziecku kółko i każesz liczyć pole lub obwód, czy wnikacie że tak naprawdę operujecie na kółku domkniętym( anie np otwartym)? no chyba nie...
W szkółkach wszystkie operacje wykonuje się na zbiorach domkniętych...

Stare polskie przysłowie mówi: "Nie liczy się zabitych mrówek pod zwalonym dębem"

[yorgin]

9:    

T
Z nieograniczoności dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) dobieramy \(\displaystyle{ x_n\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ |x_n|=n}\). Ciąg \(\displaystyle{ \frac{x_n}{|x_n|}}\) jest oczywiście ograniczony (bo jest zawarty w okręgu jednostkowym), ma więc podciąg zbieżny. Można więc założyć, że cały \(\displaystyle{ \frac{x_n}{|x_n|}\to x}\).

Trzeba teraz pokazać, że \(\displaystyle{ \RR_+x}\) jest szukaną półprostą.

Ustalmy \(\displaystyle{ \alpha>0}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ |x_n|>\alpha}\) dla \(\displaystyle{ n>N}\). Skoro \(\displaystyle{ x_n\in X}\) oraz \(\displaystyle{ 0\in X}\), to również

\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{|x_n|}x+\left(1-\frac{\alpha}{|x_n|}\right)0=\frac{\alpha}{|x_n|}x\in X}\)

Ukryta treść:    

To zajdzie pod warunkiem, że \(\displaystyle{ x\in X}\). Ale tego nie wiemy

Masakra! Do przesady pomyliłem się przy przepisywaniu rozwiązania i zjadłem sporo indeksów

Jeszcze raz całość:

9:    

Tak, choć nie jest to takie "proste".

Oznaczam \(\displaystyle{ |x|}\) - długość wektora w \(\displaystyle{ \RR^2}\) oraz przez \(\displaystyle{ X}\) - zbiór rozważany w zadaniu.

Oczywiście można założyć też, że \(\displaystyle{ 0\in X}\).

Rozumujemy nie wprost: niech \(\displaystyle{ X}\) będzie nieograniczony. Wykażemy, że zawiera półprostą.

Z nieograniczoności dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) dobieramy \(\displaystyle{ x_n\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ |x_n|=n}\). Ciąg \(\displaystyle{ \frac{x_n}{|x_n|}}\) jest oczywiście ograniczony (bo jest zawarty w okręgu jednostkowym), ma więc podciąg zbieżny. Można więc założyć, że cały \(\displaystyle{ \frac{x_n}{|x_n|}\to x}\).

Trzeba teraz pokazać, że \(\displaystyle{ \RR_+x}\) jest szukaną półprostą.

Ustalmy \(\displaystyle{ \alpha>0}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ |x_n|>\alpha}\) dla \(\displaystyle{ n>N}\). Skoro \(\displaystyle{ x_n\in X}\) oraz \(\displaystyle{ 0\in X}\), to również

\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{|x_n|}x_n+\left(1-\frac{\alpha}{|x_n|}\right)0=\frac{\alpha}{|x_n|}x_n\in X}\)

Ciąg \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{|x_n|}x_n}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ \alpha x}\), więc dla \(\displaystyle{ n>M>N}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\frac{\alpha}{|x_n|}x_n-\alpha x\right|<\varepsilon}\). Tym samym \(\displaystyle{ \alpha x-\frac{\alpha}{|x_n|}x\in X}\)

Ostatni krok: dla \(\displaystyle{ n>M}\) zachodzi teraz

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\alpha x=\frac{1}{2}\left[\left(\alpha x-\frac{\alpha}{|x_n|}x\right)+\left(\frac{\alpha}{|x_n|}x_n\right)\right]\in X}\),

bo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\alpha x}\) jest kombinacją wypukłą dwóch punktów z \(\displaystyle{ X}\).

Z dowolności \(\displaystyle{ \alpha}\) wynika teraz, że \(\displaystyle{ \RR_+x\subset X}\).

Mała uwaga objaśniająca część z epsilonem:

Ukryta treść:    

Ciąg \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{|x_n|}x_n}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ \alpha x}\), więc dla \(\displaystyle{ n>M>N}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\frac{\alpha}{|x_n|}x_n-\alpha x\right|<\varepsilon}\). Tym samym \(\displaystyle{ \alpha x-\frac{\alpha}{|x_n|}x\in X}\)

Dlaczego powyższe działa? Można założyć, że \(\displaystyle{ X}\) ma niepuste wnętrze - w przeciwnym wypadku rozumowanie trywializuje się do zbioru jednowymiarowego, o czym pisał Wasilewski. Stąd już prosta droga do \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) takiego, że \(\displaystyle{ B(0,\varepsilon)\subset X}\). Skąd w ogóle wiadomo, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest na brzegu \(\displaystyle{ X}\)? Skoro \(\displaystyle{ Y}\) ma niepuste wnętrze i jest byle jak ułożony na płaszczyźnie, to na pewno znajdziemy \(\displaystyle{ y\in \mbox{Int}Y}\). Teraz \(\displaystyle{ 0\in Y-y}\) jest punktem z wnętrza zbioru \(\displaystyle{ X:=Y-y}\).

[WolfusA]

Ale Macedonia to chyba tylko ostatnie zadanie, bo zadanie 6 to Austriacko-Polskie 1985. Ciekawie z tą całką, ale ja bym uległ pokusie wymnażania.

[mol_ksiazkowy]

2 cd

Ukryta treść:    

Zatem wartość oczekiwana okręgów przechodzących przez tę prostą to po prostu: , a że liczba okręgów jest liczbą całkowitą to musi być przynajmniej: 4

Wartość oczekiwanie nie musi być całkowita...
zadanie powtórzone w Mix 43