[Algebra][Topologia] Łukowa spójność pełnej grupy liniowej

[Kaf]

Takie fajne zadanko: udowodnić, że grupa \(\displaystyle{ \mbox{GL}_n\left( \CC \right)}\) z naturalną topologią* jest łukowo spójną przestrzenią topologiczną. Autorowi rozwiązania istotnie krótszego od mojego stawiam piwo/kawę/herbatę**

* tzn. utożsamiamy macierze \(\displaystyle{ n\times n}\) z wektorami w \(\displaystyle{ \CC^{n^2}}\) i rozważamy na \(\displaystyle{ \mbox{GL}_n\left( \CC \right)}\) topologię dziedziczoną z \(\displaystyle{ \CC^{n^2}}\).

** bonusowe punkty za dowód spójności, z którego nie wynika łukowa spójność

[bartek118]

Ustalmy dowolną macierz \(\displaystyle{ A \in \mbox{GL}_n\left( \CC \right)}\). Z twierdzenia Jordana, istnieje macierz odwracalna \(\displaystyle{ P}\) taka, że
\(\displaystyle{ A = P J(A) P^{-1}.}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) ma \(\displaystyle{ n}\) parami różnych wartości własnych \(\displaystyle{ \lambda_1, \ldots, \lambda_n}\), to
\(\displaystyle{ J(A) = diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_n).}\)
Zdefiniujmy \(\displaystyle{ X(t) = diag( (1-t) \lambda_1 + t, \ldots, (1-t) \lambda_n + t )}\). Wtedy
\(\displaystyle{ A = P X(0) P^{-1}.}\)
Z kolei \(\displaystyle{ P X(1) P^{-1} = P I P^{-1} = I}\). Mamy drogę z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ I}\). Teraz trzeba to jakoś uogólnić na przypadek klatek Jordana....-- 4 sie 2018, o 19:50 --Poprawka -- nie można określić tak \(\displaystyle{ X(t)}\) bo można przejść przypadkiem przez zero. Trzeba ogólniej - wziąć drogę \(\displaystyle{ \gamma_k(t)}\) z \(\displaystyle{ \lambda_k}\) do \(\displaystyle{ 1}\) nieprzechodzącą przez zero i określić
\(\displaystyle{ X(t) = diag (\gamma_1 (t), \ldots, \gamma_n (t)).}\)

[Kaf]

Pomysł z tw. Jordana jest ciekawy (ale nie mam teraz pomysłu, jak go dokończyć), ale można prościej. Na pewno trzeba jakoś zaangażować np. wartości własne, bo to samo twierdzenie dla \(\displaystyle{ \mbox{GL}_n\left( \RR \right)}\) nie zachodzi (co łatwo widać, jak rozpatrzy się obraz tej ostatniej przez funkcję \(\displaystyle{ \det}\))

Wskazówka:    

Rozpatrzyć drogę od \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ B}\) postaci
\(\displaystyle{ \Gamma \left( t\right)=A+\gamma \left( t \right) \left( B-A \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) jest czymś sprytnie dobranym.

[Wasilewski]

Szybki sposób: spektrum elementu \(\displaystyle{ A \in GL_n(\mathbb{C})}\) jest skończone i omija zero, więc można zdefiniować gałąź logarytmu na pewnym otwartym otoczeniu spektrum. Definiujemy \(\displaystyle{ B}\) jako logarytm \(\displaystyle{ A}\) (za pomocą wzoru Cauchy'ego) i droga \(\displaystyle{ \gamma(t):= \exp(tB)}\) łączy identyczność z \(\displaystyle{ A}\).

Trochę bardziej elementarnie: za pomocą rozkładu biegunowego możemy zapisać \(\displaystyle{ A=UB}\), gdzie macierz \(\displaystyle{ U}\) jest unitarna, natomiast \(\displaystyle{ B}\) jest dodatnio określona. Wobec tego \(\displaystyle{ B}\) łatwo połączyć łukiem z identycznością i wystarczy zająć się \(\displaystyle{ U}\). Grupa \(\displaystyle{ U_n}\) działa na sferze \(\displaystyle{ S^{2n-1}}\) i to jest rozwłóknienie z włóknem \(\displaystyle{ U_{n-1}}\) (chyba), więc przez indukcję da się pokazać spójność.

Pewnie mógłbym próbować twierdzić, że ten drugi sposób pokazuje spójność bez łukowej spójności, ale nie będę tego robił; \(\displaystyle{ GL_n(\mathbb{C})}\) jest lokalnie łukowo spójne jako otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej, więc spójność i łukowa spójność są równoważne.

[Kaf]

Wasilewski, ten pierwszy pomysł sumie korzysta z podobnej obserwacji, który sugerowałem we wskazówce, tylko jest trochę mniej elementarny: zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ \lambda}\) dla których
\(\displaystyle{ A+\lambda (B-A) \not\in \mbox{GL}_n\left( \CC\right)}\)
jest skończony (więc nie rozspójnia płaszczyzny), więc można skonstruować drogę postaci
\(\displaystyle{ A+\gamma \left( t \right) \left( B-A\right)}\)

Ten drugi sposób jest natomiast bardzo ładny (nie pomyślałbym o zastosowaniu rozkładu biegunowego) i ten fakt z rozwłóknieniem zachodzi (bo \(\displaystyle{ S^{2n-1}\cong U_n/ U_{n-1}}\) - stabilizatory łatwo wyznaczyć). No i ten komentarz o spójności jest oczywiście prawdziwy, mogłem uściślić o co mi chodziło. Chyba mamy zwycięzcę