[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 8 razy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: WolfusA » 18 cze 2018, o 20:34

Izrael 1995
Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie średnicą półokręgu \(\displaystyle{ h}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest wewnętrznie styczny do \(\displaystyle{ h}\) i styczny do średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ A\in h\wedge B\in PQ}\) będą takimi punktami, że \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wykaż, że półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) jest dwusieczną \(\displaystyle{ \angle PAB}\).
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 22:11 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1515
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 421 razy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: timon92 » 18 cze 2018, o 20:39

Coś jest nie tak z treścią, to można tak narysować, że półprosta \(\displaystyle{ AC}\) nawet nie leży wewnątrz kąta \(\displaystyle{ PAB}\)
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 21:55 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 8 razy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: WolfusA » 18 cze 2018, o 20:48

Rzeczywiście. Zakładamy, że punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ BP}\).

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 748
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: Elayne » 18 cze 2018, o 20:55

Let \(\displaystyle{ PQ}\) be the diameter of semicircle \(\displaystyle{ H}\). Circle \(\displaystyle{ O}\) is internally tangent to \(\displaystyle{ H}\) and tangent to \(\displaystyle{ PQ}\) at \(\displaystyle{ C}\). Let \(\displaystyle{ A}\) be a point on \(\displaystyle{ H}\) and \(\displaystyle{ B}\) a point on \(\displaystyle{ PQ}\) such that \(\displaystyle{ AB \perp PQ}\) and is tangent to \(\displaystyle{ O}\). Prove that \(\displaystyle{ AC}\) bisects \(\displaystyle{ \angle PAB}\).

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: SlotaWoj » 18 cze 2018, o 22:34

WolfusA nie popełnił błędu przy tłumaczeniu, więc temat zadania nie jest dobrze zredagowany. Ale poniższy już jest:
  • Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie średnicą półokręgu \(\displaystyle{ h}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest wewnętrznie styczny do \(\displaystyle{ h}\) i styczny do średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.5 0}A\in h\wedge B\in\!{\dg{\textit{\textbf{C}}}}\hspace{1pt}Q}\) będą takimi punktami, że \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wykaż, że półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) jest dwusieczną \(\displaystyle{ \angle PAB}\).

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 8 razy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: WolfusA » 18 cze 2018, o 23:00

Jestem wdzięczny za dociekliwość. Moim pomysłem na dowód jest:
Ukryta treść:    

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: SlotaWoj » 18 cze 2018, o 23:56

Punkt styczności \(\displaystyle{ {\red{o}}}\) z \(\displaystyle{ {\red{AB}}}\) to \(\displaystyle{ {\red{A}}}\), punkt styczności \(\displaystyle{ o}\) z \(\displaystyle{ PQ}\) to \(\displaystyle{ C}\) i punkty te wraz punktem \(\displaystyle{ Q}\) nie są współliniowe.

Edit: 2018-06-20 00:20

Źle sobie oznaczyłem punkty. Oczywiście \(\displaystyle{ A\not\in o}\), co podkreślił Kruszewski.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 8 razy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: WolfusA » 19 cze 2018, o 09:58

Poprawka:    

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6400
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: kruszewski » 19 cze 2018, o 13:22

Punkt \(\displaystyle{ A}\) przynależy do \(\displaystyle{ h}\) co wyraźnie zapisane jest w treści zadania ale nie przynależy do \(\displaystyle{ o}\) bo przeczyłoby to jednoczesnej styczności z \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\)

Z wzajemnej prostopadłości odpowiednich ramion kątów
\(\displaystyle{ \angle AQP, \ \angle PAB}\)
Rysynek z błędnym opisem zauważonym przez Kolegę WolfusA usunąłem bo wymaga przemeblowania.
Przepraszam.
W.Kr.

Poprawiony rysunek poniżej.


Zauważmy, że proste do której przynależą odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ QD}\) są symetralnymi czworokątów
\(\displaystyle{ CQAD}\) i \(\displaystyle{ CH'AH}\) która są rombami. Stąd po położeniu połowy rombu
\(\displaystyle{ CH'AH}\)
przez obrót wokoło jednej lub drugiej osi symetrii na drugą płowę zauważamy równość kątów \(\displaystyle{ \angle \beta = \angle \gamma}\)
co prowadzi do wniosku, że prosta dana punktami \(\displaystyle{ A \ i \ C}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle BAP}\) cbdo.
Ostatnio zmieniony 20 cze 2018, o 13:21 przez kruszewski, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 8 razy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: WolfusA » 19 cze 2018, o 15:34

Skoro prosta \(\displaystyle{ AQ}\) nie jest styczna do \(\displaystyle{ o}\), zaś prosta \(\displaystyle{ PQ}\) jest styczna, to jakim cudem punkt \(\displaystyle{ S_o}\) leży na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ AQP}\)?

Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy

Post autor: Pinionrzek » 19 cze 2018, o 23:11

Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ