Matematyka.pl

Obliczyć sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\frac{\pi}{3^n}}{\sin\frac{\pi}{2^n}}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}sin\frac{\pi}{3^n} \leqslant \frac{\pi}{3^n}\\sin\frac{\pi}{2^n} \leqslant \frac{\pi}{2^n}\end{cases}}\) są spełnione, gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{sin\frac{\pi}{3^n}}{sin\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{\pi}{3^n}}{\frac{\pi}{2^n}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{3})^n=2}\)

nie sadze zeby tak bylo..., przeciesz sumujesz od n=1 a nie od \(\displaystyle{ n=\infty}\)

Będzie taka suma, bo można to wykazać z twierdzenia o trzech ciągach c.d.n

[ Dodano: 22 Września 2008, 08:39 ]
\(\displaystyle{ \sin n \geqslant \frac{2}{\pi}\cdot n, \sin n \leqslant n, n \in (0, \frac{\pi}{2})**}\)

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{3}}{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\pi}{2}}+... \leqslant S \leqslant \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{2}}+...}\) Nie chcę już tego rozpisywać, ale każdy wyraz szeregu spełnia te nierówności \(\displaystyle{ **}\). Czy ma ktoś może odpowiedź do tego zadania?

nie wydaje mi sie bo jesli masz
\(\displaystyle{ x \frac{2}{\pi} < \sin x < x \Rightarrow \\
\frac{2}{3} < \sin \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3} \\
\frac{2}{\pi}< \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2} } < 1 \Rightarrow \\
\frac{4}{3 \pi } < \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\sin \frac{\pi}{2} } < \frac{\pi}{3} \\
\frac{4}{ \pi } < S}\)

Już pierwsze dwadzieścia wyrazów daje prawie 2,25 (i taka pewnie będzie suma, bo już wyrazy są bardzo bliskie zera).

Hmmm, Mathematica podaje jak sumę (przy sumowaniu ponad 150 wyrazów) 2,2471481860358501745618008598817468414100...
Nie wydaje mi się, żeby było to sensownie z czymkolwiek powiązane, więc raczej nie ma co liczyć na "rozsądne" rozwiązanie analityczne.
Również wydaje mi się, że w zadaniu chodziło raczej o uzasadnienie zbieżności szeregu niż o konkretną wartość sumy...

Pozdrawiam,

mozna by np probowac jakos tak,
sprobojmy sopbie utozsamic nasz szereg z pewnym szeregiem Fouriera, o wspolczynnikach \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2^k}}}\)
kladac
\(\displaystyle{ u= \frac{\pi}{3^k}
\pi 2^{-k} = u 2^{\log_3 2} = u b, \ 0< u < \pi \\}\)
wezmy sobie teraz funkcje f taka ze:
\(\displaystyle{ \hat{f} (u) = \sin (ub)}\)
pozostaje znalezc transformate odwrotna do \(\displaystyle{ \sin (ub)}\) z czym mam narazie klopot
no i \(\displaystyle{ \Im f(1)}\) byloby poszukiwana wartoscia, tylko czy czy ten szereg bylby zbiezny do f(1)