[Rozgrzewka przed maturą III] Zadania różne

[kerajs]

Rozgrzewka przed maturą I: 406703.htm
Rozgrzewka przed maturą II: 420468.htm

Kolejny łańcuszek maturalny (kontynuacja tematów kolegi mint18).

1.
W urnie znajdują się kule z liczbami naturalnymi od 10 do 20 (włącznie). Losujemy trzy kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo że numery kolejnych wylosowanych kul tworzą ciąg arytmetyczny?

[DamianTancerz]

1.
Wylosowanie pierwszych dwóch nie ma wpływu na znacznie więc je sobie normalnie wyciągamy i zostaje \(\displaystyle{ 19}\).

Teraz mamy cztery warianty:

I Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)

wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{2}{19}}\) szansy

II Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ > 20}\)

wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy

III Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica mniejsze od \(\displaystyle{ 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)

wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy

IV Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \le 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \ge 20}\)

Wtedy wylosowane takiej kuli jest niemożliwe.

Mam nadzieję, że dobrze.

[kerajs]

1.:    

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = \frac{11!}{(11-3)!}=9 \cdot 10 \cdot 11}\)
Rosnących ciągów arytmetycznych o \(\displaystyle{ r=1}\) jest 9, o \(\displaystyle{ r=2}\) jest 7, o \(\displaystyle{ r=3}\) jest 5,
o \(\displaystyle{ r=4}\) jest 3, a o \(\displaystyle{ r=5}\) jest tylko jeden. Razem to 25 ciągów rosnących i tyle samo malejących.
\(\displaystyle{ P= \frac{50}{9 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{5}{99}}\)

2.
Ile rozwiązań w liczbach naturalnych k,n ma równanie:
\(\displaystyle{ 2!+3!+...+n!=k^3}\)


PS
Odpowiadający przedstawia kolejne zadanie.

[SloppyTurtle]

Jedyne rozwiązanie w liczbach naturalnych dla \(\displaystyle{ n<7}\),to \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ k=2}\).
Dla \(\displaystyle{ n\ge 7}\), nie zgadza się reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\). Więc \(\displaystyle{ n=3,k=2}\),to jedyne rozwiązanie.
Jeżeli jest dobrze, to wrzucę następne.

[kerajs]

Owszem, to jedyne rozwiązanie. Należałoby trochę dopracować uzasadnienie braku innych rozwiązań.
Podobne było zadanie 33. 406703,45.htm#p5427825

Przedstaw, proszę, swoje zadanie.

[SloppyTurtle]

Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{2|x|- x^2} =a}\).
Przepraszam za brak Latexu, piszę z telefonu. Poprawię się, obiecuję.

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ \sqrt{2 \left| x\right| -x^2} = a}\)

\(\displaystyle{ 2 \left| x\right|-x^2 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^2 -2t \le 0}\)
\(\displaystyle{ t(t-2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ \left| x\right| \in \left\langle 0; 2\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -2; 2\right\rangle \Leftrightarrow 2\left| x\right|-x^2 \in \left\langle 0; 1 \right\rangle}\)
Stąd \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0; 1\right\rangle}\)
Z rysunku można odczytać ilość rozwiązań - to jest złożenie dwóch paraboli \(\displaystyle{ f(x) = x^2-2x, x >0}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x^2+2x, x < 0}\)
Dla \(\displaystyle{ a < 0}\) rozwiązań brak
Dla \(\displaystyle{ a = 0}\) rozwiązania są trzy: -2, 0, 2
Dla \(\displaystyle{ 0 < a < 1}\) rozwiązania są cztery
Dla \(\displaystyle{ a = 1}\) rozwiązania są dwa: -1, 1 (maksima wspomnianych funkcji)
Dla \(\displaystyle{ a > 1}\) rozwiązań brak

[VirtualUser]

Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{2|x|- x^2} =a}\).
Przepraszam za brak Latexu, piszę z telefonu. Poprawię się, obiecuję.

Gwiazdeczka z kiełbasy

[SloppyTurtle]

PoweredDragon Jest okej, Twoja kolej.
VirtualUser Ja widziałem je gdzieś indziej

[VirtualUser]

Dorzucę coś od siebie (niestety nie mam odpowiedzi, więc trzeba robić to na czuja )

Dane jest równanie \(\displaystyle{ m^2 x^3 - (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\)
Znaleźć takie wartości parametru \(\displaystyle{ m \in C}\), dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi.

[rubiccube]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ m^2 x^3 - (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=x(m^2x^2-(6m+m^2)x+(m+6))}\)
jeśli \(\displaystyle{ m=0}\) to zostaje równanie \(\displaystyle{ 6x=0}\) z jedynym pierwiastkiem \(\displaystyle{ x=0}\)

jeśli \(\displaystyle{ m \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=m^4+8m^3+12m^2 \\
m \le -6 \vee m \ge -2 \setminus \left\{ 0\right\}}\)
również \(\displaystyle{ x_1+x_2 \ge 0 \wedge x_1\cdot x_2 \ge 0 \Rightarrow m \ge -6}\) a więc
\(\displaystyle{ m=-6 \vee m \ge -2 \setminus \left\{ 0\right\}}\)
w tym momencie możemy zauważyć pewną zależność, dla \(\displaystyle{ m=-6}\) oraz \(\displaystyle{ m=-2}\) delty się zerują a pierwiastki wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ x_0=0}\) oraz \(\displaystyle{ x_0=-1}\) oczywiście rozwiązanie \(\displaystyle{ m=-2}\) odrzucamy, ale oprócz nich jedyne inne rozwiązania całkowite to te, dla których \(\displaystyle{ m^2+8m+12=k^2}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\) (tzw. perfect square) (inaczej pierwiastki będą niewymierne) a więc mamy:

\(\displaystyle{ m^2+8m+12-k^2=0\\
\Delta_m=16+4k^2}\)

\(\displaystyle{ m_1=-4- \sqrt{4+k^2}}\) oraz \(\displaystyle{ m_2=-4+ \sqrt{4+k^2}}\)
I teraz kolejny raz - jedyne rozwiązania całkowite \(\displaystyle{ m_1}\) i \(\displaystyle{ m_2}\) istnieją \(\displaystyle{ \Leftrightarrow 4+k^2=t^2}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{Z}}\) a tutaj już łatwo ponieważ \(\displaystyle{ k^2=(t-2)(t+2) \Rightarrow t= \pm 2 , k=0}\) wracając do równań

\(\displaystyle{ m_1=-4- \sqrt{4+0}=-4-2=-6}\) oraz \(\displaystyle{ m_2=-4+2=-2}\) co dowodzi tego, że jedynymi liczbami dla których \(\displaystyle{ \sqrt{m^2+8m+12}}\) będzie całkowity (co jest warunkiem koniecznym na to, żeby rozwiązania były całkowite) są \(\displaystyle{ m=-6 \wedge m=-2}\) po uwzględnieniu założeń w zadaniu, odpowiedź to \(\displaystyle{ m=-6 \vee m=0}\)

wstawiam w ukrytym żeby nikomu zabawy nie popsuć, chociaż nadal zastanawiam się nad poprawnością dowodu pod koniec

[PoweredDragon]

Tia... Problem w tym, że oba rozwiązania nie muszą być nieujemne. Tu jest powiedziane, że nieujemne mają być całkowite, tj. mogą być dwa rozwiązania (1 ujemne i 1 nieujemne) i to 1 nieujemne całkowite spełnia warunki zadania...

[rubiccube]

rozpatrywanie przypadku gdy \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \le 0}\) nic nie zmieni, ponieważ:

1. Zamieni to warunek \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na \(\displaystyle{ m \le -6}\) z którego korzystaliśmy tylko po to, by zauważyć zależność pomiędzy zerowaniem się delty a całkowitością rozwiązań - czyli przepisujemy wszystko to samo zamieniając warunek z \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na powielony warunek z samej delty \(\displaystyle{ m \le -6}\).

2. W związku z tym, że dowód dla \(\displaystyle{ m^2+8m+12=k^2}\) robię dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) a nie \(\displaystyle{ k=0}\) rozpatruję wszystkie możliwe przypadki istnienia pierwiastków (zgodnie z założeniami) i dopiero na końcu dowodu dostaję liczby dla których akurat delta się zeruje (co dowodzi temu, że jeśli pierwiastki całkowite istnieją - to są podwójne.)

[Chewbacca97]

Również coś dorzucę, aby rozruszać ten łańcuszek.

5. Udowodnijcie, że \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożoną liczbą naturalną.

I może faktycznie lepiej wrzucać rozwiązania w ukrytej formie.

[maximum2000]

Również coś dorzucę, aby rozruszać ten łańcuszek.

5. Udowodnijcie, że \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożoną liczbą naturalną.

I może faktycznie lepiej wrzucać rozwiązania w ukrytej formie.

Dla których maturzystów to zadanie? Przeciez to jest problem z shortlist '92.