[Planimetria] Rozgrzewka - Konkurs kuratoryjny

[PokEmil]

Witam, stworzyłem parę zadań z planimetrii dla osób, które będą się zmierzały z konkursem kuratoryjnym. Raczej wszystkie są mojej twórczości, lecz nie obiecuję, gdyż mogą się zdarzyć jakieś, z którymi ktoś już się spotkał. Sam będę już w marcu startował w finale, więc życzę i sobie, i wszystkim innym pozostałym dużo wytrwałości i pracowitości, aby ten czas cennie wykorzystać. Starałem się, aby pytania zostały ustawione w rosnącej trudności.

1. Na okręgu obrano punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), tak że okrąg ten został podzielony na łuki o długościach \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ 3\pi}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ |AB|}\).

2. Odpowiedz na poniższe pytania. Uzasadnij swoje rozumowanie.
A) Na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) opisano pewien wielokąt. Czy istnieje taki wielokąt, którego pole może być mniejsze od \(\displaystyle{ 3}\)?
B) Jaką figurą jest czworokąt, którego dwa kolejne kąty są kątami prostymi?
C) W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ |AB| > |BC|}\) narysowano okrąg o średnicy \(\displaystyle{ CD}\). Ile jest takich punktów \(\displaystyle{ K}\), dla których \(\displaystyle{ \angle AKB = 90^ \circ}\)?

3. Dany jest trójkąt prostokątny, który nie jest równoramienny. Iloraz różnicy czwartych potęg przyprostokątnych i różnicy drugich potęg przyprostokątnych jest równy \(\displaystyle{ 289}\). Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

4. Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Niech punkt \(\displaystyle{ E}\) będzie środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), punkt \(\displaystyle{ F}\) - środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), a punkt \(\displaystyle{ G}\) - środkiem boku \(\displaystyle{ CD}\). Niech punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ EF}\) będzie punkt \(\displaystyle{ P}\), a punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ GF}\) punkt \(\displaystyle{ Q}\). Uzasadnij, że figury \(\displaystyle{ PQF}\) i \(\displaystyle{ ABCD}\) mają równe pola.

5. Na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AB}\) i środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) obrano punkty \(\displaystyle{ K}\) oraz \(\displaystyle{ L}\) tak, że leżą one po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\) oraz tak, że \(\displaystyle{ |AK|<|BK|}\) oraz \(\displaystyle{ |AL|>|BL|}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ \angle KAB = 50^ \circ}}\) oraz \(\displaystyle{ \angle LBA = 70^ \circ}}\). Udowodnij, że trójkąt \(\displaystyle{ KLO}\) jest równoboczny.

6. Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ |AB|=10}\) i \(\displaystyle{ |BC|=5}\). Narysowano okręgi o średnicach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Punkty przecięcia tych okręgów to punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ |KL|}\).

7. Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku długości \(\displaystyle{ 5}\) oraz punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) obrane na boku \(\displaystyle{ BC}\) tak, że \(\displaystyle{ 2|BE|=|EC|}\) oraz \(\displaystyle{ |BF|=|FC|}\). Punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ DF}\) jest punkt \(\displaystyle{ M}\). Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ M}\) od prostej \(\displaystyle{ BC}\).

8. W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano punkt \(\displaystyle{ E}\), który jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu. Niech punkt \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem przecięcia odcinków \(\displaystyle{ DE}\) i \(\displaystyle{ AC}\), a punkt \(\displaystyle{ L}\) będzie punktem przecięcia odcinków \(\displaystyle{ CE}\) i \(\displaystyle{ BD}\). Wiedząc, że pole czworokąta \(\displaystyle{ EKSL}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\), oblicz długość boku kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\).

9. Na przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ M}\), po czym narysowano dwa okręgi o środkach w tych punktach tak, że są one do siebie stycznie zewnętrznie, a także styczne do dwóch boków kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Uzasadnij, że długość odcinka \(\displaystyle{ |KM|}\) nie zależy od wyboru punktów \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ M}\), a zależy jedynie od długości boku kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\).

10. Przekątne trapezu równoramiennego przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 60^ \circ}\). Jedna z podstaw jest \(\displaystyle{ 3}\) razy mniejsza od drugiej. Oblicz możliwe pole trapezu wiedząc, że przekątna trapezu ma długość \(\displaystyle{ 6}\). Rozważ wszystkie przypadki.

Powodzenia!
Jeżeli ktoś znajdzie jakieś błędy w zadaniu, zaproponuje zmianę treści, proszę zgłosić to w komentarzu. Dziękuję!

[Kartezjusz]

Zadanie 4

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie środkiem AD. Resztę ratuje staranny rysynek i tw Talesa

[Rafsaf]

Fajnie, że coś wymyślasz, też kiedyś startowałem w tym konkursie choć raczej bez sukcesów z tego co pamiętam.

zad 10:    

Ogólnie to zad idzie z takiego wzoru prawdziwego dla każdego czworokąta \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} d_1d_2 \sin(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) to kąt między przekątnymi a \(\displaystyle{ d_1,d_2}\) długości przekątnymi

zad 9:    

Tutaj warto poprowadzić promień jednego z okręgów pod kątem prostym do boku kwadratu, następnie przedłużyć go aż do przecięcia z przeciwległym bokiem kwadratu. Prosto dowodzimy że powstał nam trójkąt podobny do \(\displaystyle{ ABC}\), zatem stosunki odpowiednich boków są równe i z tego wyciągamy sumę promieni:
\(\displaystyle{ R+r= \frac{a \sqrt{2} }{1+ \sqrt{2} }}\)