[MIX] Mix bez nazwy

[mol_ksiazkowy]

1. Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB, BC, AC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ F, D, E}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ AD= BE}\) to trójkąt jest równoramienny
2. Ile jest permutacji \(\displaystyle{ f}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,n \}}\) takich że zbiór \(\displaystyle{ \{ j \in \{1,..., n \} : f(j) \geq j \}}\) jest dwuelementowy ?
3. Udowodnić, że dla dowolnej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ a}\) istnieją liczby niewymierne \(\displaystyle{ b, b'}\) takie że \(\displaystyle{ a+b}\) oraz \(\displaystyle{ ab'}\) są liczbami wymiernymi zaś \(\displaystyle{ ab}\) oraz \(\displaystyle{ a+b'}\) są liczbami niewymiernymi.
4. Rozwiązać równanie funkcyjne:
\(\displaystyle{ f( 4f(x)-3x)=x}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 0.}\)
Uwagi: Dziedziną \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór liczb nieujemnych, tj. \(\displaystyle{ 4f(x) \geq 3x}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 0.}\)
5. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju powstał sześciokąt wypukły \(\displaystyle{ A B C D E F}\). Udowodnić, że proste \(\displaystyle{ AD, BE, CF}\) mają punkt wspólny.
6. Kiedy zbiór \(\displaystyle{ \{1,...,3n \}}\) może być rozłożony na \(\displaystyle{ n}\) podzbiorów trzyelementowych, w których jeden z elementów jest sumą dwóch pozostałych ?
7. Niech \(\displaystyle{ f: [0, +\infty) \to \RR}\) będzie funkcją taką że \(\displaystyle{ f(x) - x^3}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) - 3x}\) są rosnące. Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ f (x)- x - x^2}\) jest rosnąca ?
8. Niech \(\displaystyle{ A= \{ a_1, a_2, a_3, ... \}}\) będzie zbiorem przeliczalnym i \(\displaystyle{ f_{A}(x) = \sum_{a_n \leq x} 2^{-n}}\).
i) Czy istnieje \(\displaystyle{ A}\) : \(\displaystyle{ f_A(\RR)= \{ 0, 1 \}}\) ?
ii) Czy istnieje \(\displaystyle{ A}\) : \(\displaystyle{ f_A(\RR)}\) jest zbiorem nieskończonym ?
9. Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg; \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) zaś \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem przekątnej \(\displaystyle{ BD}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ AC}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BMD}\) to \(\displaystyle{ BD}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ ANC.}\)
10. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{a^2(b-a)}{a+b}}\) jest kwadratem liczby pierwszej ?
BiH

11. Skonstruować \(\displaystyle{ 2n+1}\)-ścian w którym można pomalować \(\displaystyle{ n+1}\) ścian na czarno w taki sposób że żadna krawędź nie oddziela dwóch ścian czarnych.
12. Czy istnieje funkcja rzeczywista \(\displaystyle{ f}\) taka, że \(\displaystyle{ f ( f(x)) = \frac{1}{4^x}}\) ?
13. Wyznaczyć wszystkie takie ciągi \(\displaystyle{ (x_0,...,x_n)}\) o tej własności iż \(\displaystyle{ x_k}\) to ilość wystąpień liczby \(\displaystyle{ k}\) w tym ciągu dla \(\displaystyle{ k=0,...,n.}\)
14. Udowodnić że płaszczyna bez jedego punktu nie jest sumą rozłącznych prostych.
15. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(x+ \frac{1}{x})=4(y + \frac{1}{y})=5(z + \frac{1}{z}) \\xy+yz+zx=1. \end{cases}}\)

16. Wyznaczyć takie uprządkowanie \(\displaystyle{ (a_0',...,a_n')}\) ciągu liczb \(\displaystyle{ a_0 \leq ... \leq a_n}\), w którym wyrażenie \(\displaystyle{ (a_0' - a_1')^2 + ... + (a_n' - a_0')^2}\) będzie możliwie najmniejsze.
17. Wyznaczyć \(\displaystyle{ abc}\) mając dane \(\displaystyle{ a+b+c}\), \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3.}\)
18. Udowodnić że ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest nieograniczony; czy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = + \infty}\) ?
\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_n}{n} + \frac{n}{x_n}}\)
19. Jeśli parabola \(\displaystyle{ y =x^2+px+q}\) ma trzy punkty wspólne z osiami \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OY,}\) to wyznaczają one jednoznacznie okrąg. Udowodnić że wszystkie takie okręgi mają punkt wspólny.
20. W pudełku I jest \(\displaystyle{ n}\) ponumerowanych kul. Pudełko II jest puste. Losujemy numer kuli i kulę o tym numerze przekładamy z pudełka do pudełka. Wyznaczyć średnią różnicę liczby kul w obu pudełkach po \(\displaystyle{ m}\) przełożeniach.

21. Udowodnić że wszystkie liczby naturalne które nie są potęgami dwójki (i tylko takie) mogą być przedstawione w formie \(\displaystyle{ {k \choose 2} + kn}\) gdzie \(\displaystyle{ k > 1}\), \(\displaystyle{ n \geq 1.}\)
22. Dany jest rosnący ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1 < a_2 < a_3 < ...}\); Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_1a_2}+ \frac{1}{a_1a_2a_3}+...}\)
jest liczbą niewymierną.
M
23. Zadanie o digrafie.
Połączono strzałkami \(\displaystyle{ n}\) punktów tak, że każde dwa różne punkty są połączone strzałką. Udowodnić, że można obejść wszystkie punkty poruszając się zgodnie z kierunkiem strzałek i przechodząc przez każdy punkt tylko raz.

24. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ h= f \circ g}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją i \(\displaystyle{ h}\) jest surjekcją, to \(\displaystyle{ g}\) jest surjekcją.
25. Każdy okrag na płaszczyźnie pomalowany został na jeden z trzech kolorów. Niech \(\displaystyle{ A}\) bedzie nieskończonym zbiorem punktów na płaszczyznie. Udowodnić, że istnieje taki nieskonczony podzbiór \(\displaystyle{ B}\) zbioru \(\displaystyle{ A}\), że dowolny okrąg zawierający co najmniej trzy punkty zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest tego samego koloru.
26. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą zerojedynkową, w której dowolne jedynki z tego samego rzędu nie są rozdzielone zerem, to wyznacznik \(\displaystyle{ M}\) równy jest \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ -1}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
27. Na ile sposobów można pomalować wierzchołki \(\displaystyle{ n}\) kąta foremnego mając do dyspozycji \(\displaystyle{ k}\) kolorów aby każde dwa sąsiednie wierzchołki były różnokolorowe ? Jak zmieni się odpowiedź jesli założyć dodatkowo, że każdy kolor musi być użyty chociaż jeden raz ?
28. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq ... \geq x_{2n-1} \geq 0}\) to \(\displaystyle{ x_1^2 - x_2^2 + x_3^2- ... + x_{2n-1}^2 \geq (x_1-x_2+x_3-...+x_{2n-1})^2.}\)
29. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) takie, że \(\displaystyle{ f( g(x)) = \frac{x}{xf(x) - 2}}\) oraz \(\displaystyle{ g( f(x)) = \frac{x}{xg(x) - 2}}\)
Uwagi: funkcje określone na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
30. Czy czworokąt o prostopadłych przekątnych opisany na kole może mieć wszystkie boki różnej długości ?

Ukryta treść:    

Kod: Zaznacz cały

https://www.dropbox.com/sh/w9mfy9qtjs68xzc/AAD0vglMXiZDFz1IQI6KZnEAa/Miscellaneous?dl=0&preview=2006+MOP+Homework.pdf

Zadania 3, 7, 29

[timon92]

22. to nieprawda np. dla \(\displaystyle{ a_k=2^k}\)

[Zahion]

21:    

Skorzystamy z tego, że każda liczba naturalna, która nie jest potęgą dwójki daje się przedstawić w postaci sumy pewnych kolejnych liczb.
Mamy \(\displaystyle{ {k \choose 2} + nk = \frac{2nk + k^{2} - k}{2} = \frac{k\left( \left( n+k\right) +\left( n - 1 \right) \right) }{2} = \left( n - 1\right) + ... + \left( n + k \right)}\). Ponadto \(\displaystyle{ n + k = \left( n - 1 \right) + \left( k + 1\right)}\), skąd możemy je dowolnie ustalać pod twierdzenie.

.

[Premislav]

17.:    

Stare:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\\=(a+b+c)\left( a^2+b^2+c^2-\frac 1 2(a+b+c)^2+\frac 1 2(a^2+b^2+c^2)\right)}\), czyli
\(\displaystyle{ abc=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}-\frac 1 3(a+b+c)\left( -\frac 1 2(a+b+c)^2+\frac 3 2(a^2+b^2+c^2)\right)}\)

24.:    

Niech \(\displaystyle{ g:X \rightarrow Y, \ f:Y \rightarrow Z}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją i \(\displaystyle{ h=f\circ g}\) jest surjekcją.
Tj. \(\displaystyle{ (\forall z \in Z)(\exists x \in X)(h(x)=z)}\)
Innymi słowy \(\displaystyle{ (\forall z\in Z)(\exists x \in X)(f(g(x))=z)}\)
Wobec tego obrazem \(\displaystyle{ g[X] \subset Y}\) przez \(\displaystyle{ f}\) jest całe \(\displaystyle{ Z}\). Ale ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją, więc także \(\displaystyle{ f}\) obcięta do \(\displaystyle{ g[X]}\) jest injekcją w \(\displaystyle{ Y}\).
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje \(\displaystyle{ y \in Y\setminus g[X]}\). Wówczas \(\displaystyle{ Z \ni f(y)=h(x_0)}\)dla pewnego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\), bo \(\displaystyle{ h}\) jest surjekcją. Czyli \(\displaystyle{ f(y)=f(g(x_0))}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x_0 \in X}\). Z różnowartościowości \(\displaystyle{ f}\) mamy wtedy \(\displaystyle{ y=g(x_0)}\), czyli \(\displaystyle{ y \in g[X]}\), sprzeczność, co kończy dowód.

28.:    

Po rozwinięciu prawej strony i przerzuceniu wszystkiego na lewą oraz podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) stronami mamy równoważną wyjściowej nierówność:
\(\displaystyle{ -x_2^2-x_4^2-\ldots-x_{2n-2}^2- \sum_{i\neq j, i\equiv j\pmod{2}}^{}x_i x_j+ \sum_{i \neq j \pmod{2}}^{}x_i x_j \ge 0}\)
Sytuacja wygląda tak: nietrudno policzyć, że pierwsza suma z sigmą ma \(\displaystyle{ (n-1)^2}\) składników, zaś druga suma z sigmą ma \(\displaystyle{ n(n-1)}\) składników.
Ponadto wyrazów z minusami na początku jest \(\displaystyle{ n-1}\).
Teraz zauważmy, że
\(\displaystyle{ x_1x_2+x_2x_3-x_2^2-x_1x_3=(x_1-x_2)(x_2-x_3) \ge 0}\),
analogicznie \(\displaystyle{ x_3x_4+x_4 x_5-x_4^2-x_3x_5=(x_3-x_4)(x_4-x_5)\ge 0}\)
i ogólnie
\(\displaystyle{ x_{2i-1}x_{2i}+x_{2i}x_{2i+1}-x_{2i}^2-x_{2i-1}x_{2i+1}=\\=(x_{2i-1}-x_{2i})(x_{2i}-x_{2i+1})}\)
dla \(\displaystyle{ i=1\ldots n-1}\).
Resztę załatwia rozpisanie \(\displaystyle{ x_1 x_4+x_2 x_5-x_2 x_4-x_1 x_5=(x_4-x_5)(x_1-x_2)\ge 0}\) itd.
Ogólny sposób postępowania: jeżeli \(\displaystyle{ i, j}\) są parzyste, \(\displaystyle{ i\le j}\) dla ustalenia uwagi, to możemy zapisać
\(\displaystyle{ x_{i-1}x_j+x_ix_{j+1}-x_i x_j-x_{i-1}x_{j+1}=(x_{i-1}-x_i)(x_{j}-x_{j+1})\ge 0}\)
Sumując po wszystkich możliwych \(\displaystyle{ i,j}\) dostajemy tezę.

[timon92]

22 w poprawionej wersji:    

z warunku \(\displaystyle{ a_1<a_2<a_3<\ldots}\) przez banalną indukcję dowodzimy, że \(\displaystyle{ a_k\ge k}\) dla każdego \(\displaystyle{ k}\)

w takim razie
\(\displaystyle{ \frac 1{a_N}+\frac 1{a_Na_{N+1}}+\frac 1{a_Na_{N+1}a_{N+2}}+\ldots \le \\
\frac 1N+\frac{1}{N(N+1)}+\frac{1}{N(N+1)(N+2)} + \ldots < \\
\frac{1}{N}+\frac{1}{N^2}+\frac{1}{N^3}+\ldots = \frac{1}{N-1}}\)

gdyby \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_1a_2}+ \frac{1}{a_1a_2a_3}+\ldots = \frac{p}{q}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,q}\) całkowitych dodatnich, to mielibyśmy
\(\displaystyle{ \frac 1{a_N}+\frac 1{a_Na_{N+1}}+\frac 1{a_Na_{N+1}a_{N+2}}+\ldots = \\
a_{N-1}\left(\ldots \left(a_3\left(a_2 \left(a_1\cdot \frac{p}{q} - 1\right) -1 \right)-1\right) \ldots \right) -1 = \frac{r}{q}}\)
dla jakiejś liczby całkowitej \(\displaystyle{ r}\) (dodatniej, bo lewa strona tej równości jest dodatnia!)

wybierając \(\displaystyle{ N=q+1}\) dochodzimy do sprzeczności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{q} = \frac{1}{N-1} > \frac 1{a_N}+\frac 1{a_Na_{N+1}}+\frac 1{a_Na_{N+1}a_{N+2}}+\ldots = \frac rq \ge \frac 1q}\)

[Mruczek]

23:    

To zadanie jest bardzo znane. Trzeba pokazać, że w turnieju jest ścieżka Hamiltona. Przykładowe rozwiązanie jest np. tutaj w zadaniu nr 20 na stronie 21: ... G_2011.pdf

[Premislav]

7.:    

Mamy więc w świetle założeń, że dla \(\displaystyle{ x>y\ge 0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x)-f(y)>x^3-y^3}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)-f(y)>3x-3y}\)
Wówczas oczywiście zachodzi też
\(\displaystyle{ f(x)-f(y)=\frac{1}{3}(f(x)-f(y))+\frac 2 3(f(x)-f(y))>\\>\frac 1 3(x^3-y^3)+\frac 2 3\left( 3x-3y\right)}\)
i pozostaje wykazać, że gdy \(\displaystyle{ x>y\ge 0}\), to
\(\displaystyle{ \frac 1 3(x^3-y^3)+\frac 2 3\left( 3x-3y\right) \ge x^2-y^2+x-y}\)
Równoważnie, po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ x-y}\), dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac 1 3 x^2+\frac 1 3 xy+\frac 1 3y^2+2\ge x+y+1\\\frac 1 3 x^2-x+\frac 1 3 xy+\frac 1 3y^2-y+1\ge 0\\x^2-3x+xy+y^2-3y+3\ge 0}\)
a to jest prawda dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) nieujemnych (nie tylko spełniających \(\displaystyle{ x>y}\), zresztą jak widać nierówność jest symetryczna), ale potrafię to wykazać tylko z użyciem rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych. Jeśli \(\displaystyle{ x\ge 3}\) lub \(\displaystyle{ y\ge 3}\), to \(\displaystyle{ xy \ge 3y}\)(odpowiednio \(\displaystyle{ xy\ge 3x}\)), ponadto np. \(\displaystyle{ x^2-3x+3=\frac 3 4+\left( x-\frac 3 2\right)^2}\), więc teza jest oczywista. Zakładam więc, że \(\displaystyle{ x \in [0,3], \ y\in [0,3]}\), korzystam z tego, że funkcja ciągła osiąga kresy na zbiorze zwartym i łatwo znajduję minimum wynoszące \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x=y=1}\). Możliwość bardziej w stylu tego działu to jakieś ładne zwinięcie do kwadratów, ale tego zrobić nie umiem, trzeba sobie przypomnieć metodę Lagrange'a z algebry liniowej.
Ewentualnie można to potraktować jak nierówność zmiennej \(\displaystyle{ x}\) z parametrem \(\displaystyle{ y}\) (albo na odwrót) i przeliczyć deltę: \(\displaystyle{ \Delta=(y-3)^2-4(y^2-3y+3)=-3y^2+6y-3=-3(y-1)^2\le 0}\)
Odpowiedź: TAK.

18.:    

\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_n}{n} + \frac{n}{x_n}}\)
Przypuśćmy nie wprost, że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest ograniczony, tj. że istnieje takie \(\displaystyle{ M \in \RR^+}\), iż \(\displaystyle{ (\forall n \in \NN)(|x_n|<M)}\)
Weźmy sobie \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i skorzystajmy z zależności rekurencyjnej oraz z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ |x_{n+1}|=\left| \frac{x_n}{n}+\frac{n}{x_n}\right| \ge \frac{n}{|x_n|}- \frac{|x_n|}{n} \ge \frac{n}{M}- \frac{M}{n} \rightarrow +\infty}\)
gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow +\infty}\) a to jest sprzeczność. Zatem ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) nie może być ograniczony. Oczywiście niekoniecznie zajdzie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }x_n=+\infty}\), choćby jeśli zadamy \(\displaystyle{ x_0<0}\), to wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) będą ujemne.

[Zahion]

18 podobnie:    

Mamy, że \(\displaystyle{ x_{n}x_{n+1} = n + \frac{x_{n}^{2}}{n} > n}\), skąd wystarczy przejść z \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) i mamy \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow \pm \infty}\). Oczywiście wszystko zależy od \(\displaystyle{ x_{1}}\).

Premislav
\(\displaystyle{ x^2-3x+xy+y^2-3y+3 = \left( x + \frac{y}{2} - \frac{3}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}\left( y - 1\right)^{2}}\)

[Premislav]

No to nieźle. Ja się nigdy nie nauczę tak zwijać (oczywiście popularne jest mówienie, że to kwestia praktyki, ale nie do końca jednak, ja praktyki mam bardzo dużo).

[bosa_Nike]

Udzielę może częściowej odpowiedzi na pytanie, które zadałam tutaj, a które co prawda doczekało się odzewu, jednak nie do końca zgodnego z oczekiwaniami, za co winić należy zapewne jedną z licznych akcji promocyjnych Żabki.

Składnika mieszanego z wyrażenia \(\displaystyle{ Ax^2+Bx+Cy^2+Dy+Exy+F}\) pozbywamy się podstawiając np. \(\displaystyle{ x=t-\frac{E}{2A}y}\) - wyrażenie z rozdzielonymi zmiennymi zwija się łatwiej. Można to sprawdzić na powyższym przykładzie.

Nie wiem o analogicznych skrótach przy większej liczbie zmiennych.

[karolex123]

1.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) będą rzutami odpowiednio punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) na proste \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ P}\) leżą w tej właśnie kolejności na prostej \(\displaystyle{ AC}\). Istotnie, gdyby punkt \(\displaystyle{ P}\) leżał pomiędzy punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ E}\) , to kąt \(\displaystyle{ AED}\) musiałby być ostry, co jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ CE=CD}\), więc kąt \(\displaystyle{ CED}\) musi być ostry (jako kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ CED}\)), a dwa kąty przyległe nie mogą być jednocześnie ostre. Analogicznie punkty \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą w tej kolejności na prostej \(\displaystyle{ BC}\). Ponieważ zaś trójkąt \(\displaystyle{ CED}\) jest równoramienny, to zachodzą równości: \(\displaystyle{ EQ=DP}\) oraz \(\displaystyle{ EP=DQ}\). Z założenia jednak \(\displaystyle{ AD=BE}\), więc z twierdzenia Pitagorasa wynika wprost,
że \(\displaystyle{ BQ=AP}\). Jednak \(\displaystyle{ EP=DQ}\), co daje nam równość \(\displaystyle{ AE=BD}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ AC=BC}\).

[arek1357]

zad. 2

Ukryta treść:    

Weźmy permutację spełniającą warunki zadania, jak łatwo zauważyć musi składać się z dwu lub jednego cyklu.
Permutacji dwu cyklicznych spełniających warunki zadania jest tyle ile podziałów:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,n\right\}}\) - na dwa podzbiory.

Zawsze tylko jeden cykl spełnia warunek, że dokładnie dla jednego - \(\displaystyle{ i, f(i) \ge i}\)

Gorzej jest dla permutacji jedno cyklicznych.

Ale zauważmy, że permutacja jedno cykliczna spełniająca warunki zadania powinna wyglądać tak:

\(\displaystyle{ (1,x,n,y)}\)

gdzie: \(\displaystyle{ x, i, y}\) - to ciągi malejące złożone z pozostałych elementów...
Oczywiście może być tylko po jednym takim ciągu, zakładam jeszcze, że: \(\displaystyle{ 1<x \le n-2}\)

\(\displaystyle{ x+y=n-2}\)

Czyli możliwości wyboru takich ciągów będzie:

\(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{n-2} {n-2 \choose x}=2^{n-2}-1}\)

pozostaje nam policzyć możliwości dla ciągów typu:

\(\displaystyle{ (1,n,x)}\), ale nietrudno zauważyć, że tych będzie tyle co:

\(\displaystyle{ a_{n-1}}\) - dla permutacji jedno cyklicznej oczywiście.

czyli dla jedno cyklicznych wzór powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+2^{n-2}-1}\)

Natomiast podziałów zbioru:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,n\right\}}\)

Na dwa niepuste podzbiory jest:

\(\displaystyle{ S(n,2)=2^{n-1}-1}\)

Zliczając otrzymamy wzór:

Niech: \(\displaystyle{ x_{n}}\) - ciąg spełniający warunki naszego zadania:

\(\displaystyle{ a_{n}}\) - Ilość ciągów o jednym cyklu spełniających warunki zadania, czyli:

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+2^{n-2}-1}\)

\(\displaystyle{ x_{n}=a_{n}+2^{n-1}-1}\)

łatwo zauważyć , że:

\(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=x_{1}=0}\)

\(\displaystyle{ a_{3}=1, x_{2}=1}\)

czas by to teraz jawnie wyznaczyć:

Z funkcji charakterystycznej otrzymuję jawny wzór na:

\(\displaystyle{ a_{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n-1}-n}\)

a skoro:

\(\displaystyle{ x_{n}=a_{n}+2^{n-1}-1}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ x_{n}=2^n-n-1}\)

teraz przykłady:

dla:\(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\)

mamy jeden cykl: \(\displaystyle{ (1)}\)

zarówno \(\displaystyle{ x_{1}}\), jak i \(\displaystyle{ a_{1}=0}\)

dla: \(\displaystyle{ n=2}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}}\)

mamy dwa tylko cykle spełniające warunki:

\(\displaystyle{ (1)(2)}\), czyli: \(\displaystyle{ a_{2}=0, x_{2}=1}\)

dla: \(\displaystyle{ n=3}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3\right\}}\)

mamy:

\(\displaystyle{ (1)(2,3)}\),

\(\displaystyle{ (2)(1,3)}\)

\(\displaystyle{ (3)(1,2)}\)

są to permutacje podwójno-cyklowe spełniające warunki zadania

Oraz:

\(\displaystyle{ (1,2,3)}\) - permutacja jedno cyklowa spełniająca warunki zadania

Czyli:

\(\displaystyle{ a_{3}=1, x_{3}=4}\)

Dla pozostałych analogicznie , czyli pozostaje wzór:

\(\displaystyle{ x_{n}=2^n-n-1 , n \ge 1}\)

[karolex123]

5.

Ukryta treść:    

Oznaczmy dany ostrosłup przez \(\displaystyle{ A'B'C'D'E'F'S}\) (myślę, że położenie odpowiednich punktów jest domyślne). Rozważmy płaszczyzny \(\displaystyle{ A'D'S}\) i \(\displaystyle{ B'E'S}\). Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem podstawy danego ostrosłupa. Zauważmy, że punkty \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ S}\) należą do obu tych płaszczyzn. Stąd, krawędzią ich przecięcia jest prosta \(\displaystyle{ OS}\). Jeżeli więc proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ X \in OS}\)- jest tak bowiem punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) znajdują się w płaszczyźnie \(\displaystyle{ A'D'S}\), a punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ E}\) leżą w płaszczyźnie \(\displaystyle{ B'E'S}\). Punkt \(\displaystyle{ X}\) należy zatem do przecięcia tych dwu płaszczyzn. Analogicznie pokazujemy, że np. proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ FC}\) muszą przecinać się w tym samym punkcie \(\displaystyle{ X}\) (tu należy dodać, że prosta \(\displaystyle{ OS}\) przebija płaszczyznę \(\displaystyle{ A B C D E F}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\)). Zatem wszystkie trzy proste \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ CF}\) przecinają się w jednym punkcie \(\displaystyle{ X}\).

[arek1357]

Zad. 8

Ukryta treść:    

Ja myślę, że jeżeliby zbiór A,

\(\displaystyle{ A=Q \cap (0;1)}\)

To gdy:\(\displaystyle{ w > 0}\)

\(\displaystyle{ f(w)= \sum_{A'}^{}2^{-i}}\)

Gdzie\(\displaystyle{ A'}\) przeliczalny podzbiór ale zawsze nieskończony zbioru\(\displaystyle{ A}\)

wobec tego:

\(\displaystyle{ f(w)=1}\)

a dla: \(\displaystyle{ w \le 0}\)

\(\displaystyle{ f(w)=0}\)

Czyli zbiór wartości byłby:

\(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\)

[Premislav]

15.:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(x+ \frac{1}{x})=4(y + \frac{1}{y})=5(z + \frac{1}{z}) \\xy+yz+zx=1 \end{cases}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) muszą mieć ten sam znak i że jeśli \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) spełniają układ, to \(\displaystyle{ (-x,-y, -z)}\) także.
Mnożymy pierwszą linijkę stronami przez \(\displaystyle{ xyz}\),
dzięki czemu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(x^2yz+yz)=4(y^2zx +zx)=5(z^2xy + xy) \\xy+yz+zx=1 \end{cases}}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ a=xy, \ b=yz, \ c=zx}\) co daje:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(ac+b)=4(ab+c)=5(bc+a)\\a+b+c=1 \end{cases}}\)
czy jak kto woli
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(ac+b)=4(ab+c)\\3(ac+b)=5(bc+a)\\a+b+c=1 \end{cases}}\)
Wstawiając do pierwszego i do drugiego równania \(\displaystyle{ c=1-a-b}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(a-a^2-ab+b)=4(ab+1-a-b)\\3(a-a^2-ab+b)=5(a+b-ab-b^2)\\a+b+c=1 \end{cases}}\)
i jak się temu bardzo uważnie przyjrzymy, to zwiniemy to w iloczyny:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(a(1-a)+b(1-a))=4(1-a)(1-b)\\3(a(1-a)+b(1-a))=5(a+b)(1-b)\\a+b+c=1 \end{cases}}\)
a wreszcie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3(a+b)(1-a)=4(1-a)(1-b)\\3(a+b)(1-a)=5(a+b)(1-b)\\a+b+c=1 \end{cases}}\)

Po krótkich, acz żmudnych obliczeniach dostajemy:
\(\displaystyle{ a=\frac 1 6, \ b=\frac 1 2, \ c=\frac 1 3}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=\frac 1 6 \\ yz=\frac 1 2\\ zx=\frac 1 3\end{cases}}\)
Stąd wyliczamy kwadraty naszych zmiennych, mnożąc przez siebie dwa równania, po czym dzieląc przez trzecie, wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=\frac 1 9\\y^2=\frac 1 4 \\z^2=1 \end{cases}}\)
Przypominając sobie spostrzeżenie o tym samym znaku możemy wreszcie napisać:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=\left(\frac 1 3, \frac 1 2, 1 \right) \vee (x,y,z)=\left(-\frac 1 2, -\frac 1 3 , -1 \right)}\)

-- 29 lis 2017, o 00:41 --bosa_Nike, dzięki za użyteczną informację!