[MIX] Mix rekreacyjny
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11403
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Mix rekreacyjny
1. Niektóre pola szachownicy \(\displaystyle{ 2n \times 2n}\) można pokolorować. Na ile sposobów można to zrobić aby każde pole miało parzystą ilość pokolorowanych sąsiadów ?
Uwagi: Pola sąsiadują, gdy mają wspólną krawędź (nie narożnik)
2. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a_1}\) jednym z wyrazów ciągu określonego \(\displaystyle{ a_{n+1}=4a_n(1-a_n)}\) będzie zero ?
3. Kostki do gry; Z jednakowych sześciennych kostek do gry, na ściankach których namalowane są oczka (od 1 do 6) ułożona jest płytka o \(\displaystyle{ n}\) wierszach i \(\displaystyle{ m}\) kolumnach. Przez obrót kolumny kostek rozumiemy jednoczesny obrót wszystkich kostek leżących w tej kolumnie o tę samą wielokrotność kąta prostego. Analogicznie: obrót wiersza kostek
Czy można uzyskać każdy układ oczek na opisanej płycie, wykonując tylko zdefiniowane wyżej obroty wierszy i kolumn
M
4. Dane są liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f}\) takie że \(\displaystyle{ (a, b, c, d)}\) jest ciągiem arytmetycznym, zaś ciąg \(\displaystyle{ (a, e, f, d)}\) jest ciągiem geometrycznym. Udowodnić, że \(\displaystyle{ bc \geq ef}\)
5. Ile rozwiązań ma równanie diofantyczne; wyznaczyć je: \(\displaystyle{ t^2+1= s(s+t)}\) ?
6. Basen napełniany jest przez trzy krany; gdy otwarte są pierwszy i drugi kran to napełnianie basenu trwa 20 godzin, gdy pierwszy i trzeci 15 godzin, a gdy drugi i trzeci 12 godzin. Ile będzie trwało napełnianie basenu, gdy otwarte są wszystkie krany ?
7. Udowodnić, że graf w którym ilości wierzchołków i krawędzi są równe ma cykl
8. Jaka jest odległość środków dwóch krawędzi skośnych czworościanu foremnego ?
9. Wyznaczyć warunki konieczny i wystarczający na to aby suma i iloczyn dwóch liczb całkowitych dodatnich były liczbami względnie pierwszymi.
M
10. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f (x+ f(y)) + f(x - f(y))= 2x}\)
11. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) zachodzi twierdzenie:
W dowolnym grafie mającym \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków istnieją wśród nich takie dwa różne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), że ilość wierzchołków \(\displaystyle{ C}\) koincydentnych (połączonych krawędzią) zarówno z \(\displaystyle{ A}\) jak i z \(\displaystyle{ B}\) jest parzysta ?
12. Niech \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) będą środkami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Udowodnić, że środek łuku \(\displaystyle{ BC}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BIC}\)
13. Wskazać trzynaście przykładów /modeli/ zastosowań teorii grafów
14. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma taką własność: jeśli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ \{ \lfloor x \rfloor, \ \{ x \} , \ x+ \{ x \} \} \subset A}\). Czy zbiór mający tę własność do którego należy liczba niewymierna jest nieskończony ?
M
15. Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a, \ b}\) :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 \equiv 0 \ (mod \ b ) \\ b^2 \equiv 0 \ (mod \ a ) \\ b^2+1 \equiv 0 \ (mod \ a+1) \end{cases}}\)
?
Serbia
16. W kuli o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) jest 73 różnych punktów. Udowodnić że można z nich wybrać trzynaście takich, które są wewnątrz jakiejś kuli o promieniu \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\)
17. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie sumą wszystkich liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ n}\) i nie względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(n+p) \neq f(n)}\) dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\)
Mołdawia
18. Niech \(\displaystyle{ N = \underbrace{1 \ldots 1}_{n}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ S(N^2)}\) oraz \(\displaystyle{ S(N^3)}\), gdzie \(\displaystyle{ S(m)}\) jest sumą wszystkich cyfr liczby \(\displaystyle{ m}\)
19. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{64x^2y^2}{4x^2+y^2} = (x+1)(y+2)(2x+y)}\)
20. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) taki, że \(\displaystyle{ a_1+ 2a_2+...+ na_n = \frac{n+1}{n+2}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ S_n= a_1+...+a_n}\)
21. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ \sqrt{y}+ z = b \\ x + \sqrt{z}+ y = c \\ y+ \sqrt{x}+ z = a \end{cases}}\)
Kiedy ten układ nie ma rozwiązań ?
22. Prostokąt został podzielony na skończoną mniejszych prostokątów, w taki sposób że ich boki są równoległe do boków prostokąta. Dowolna prosta równoległa do boków prostokąta i przecinająca jego wnętrze przecina też wnętrze jakiegoś mniejszego prostokąta z podziału. Udowodnić, że istnieje prostokąt z podziału nie mający punktu wspólnego z brzegiem podzielonego prostokąta.
23. Ile rozwiązań może mieć równanie \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{x-a}{b}} + \sqrt{\frac{x+b}{a}} = \sqrt{\frac{x-b}{a}} + \sqrt{\frac{x+a}{b}}}\) ?
24. Dany jest sześcioelementowy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i jego trzyelementowe podzbiory \(\displaystyle{ A_1, ..., A_6}\). Udowodnić, że można pomalować każdy element zbioru \(\displaystyle{ X}\) jednym z dwóch kolorów, tak aby żaden ze zbiorów \(\displaystyle{ A_j}\) nie był jednokolorowy
25. Ponumerować wierzchołki sześcianu liczbami ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,..,9 \}}\) w taki sposób, aby sumy numerów wierzchołków z każdej ściany były równe i nie podzielne przez liczbę nie wziętą do numeracji
26. Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) że \(\displaystyle{ f( (x-y)^2 ) \equiv f(x)^2 - 2xf(y) + y^2}\)
27. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) spełnione są nierówności \(\displaystyle{ |AB| > |AC| > |BC|}\). Który z trzech okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABH, ACH, BCH}\) ma największy, a który najmniejszy obwód ?
Uwagi: Punkt \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
28. Dla jakich \(\displaystyle{ c \in R}\) wielomian
\(\displaystyle{ x^n + {c \choose 1}x^{n-1} + {c \choose 2}x^{n-2} + ... + {c \choose n} \ \ n \geq 2}\)
ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych (licząc ewentualne krotności)
Australia
29. Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b ,c}\) są dodatnie i \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) to
\(\displaystyle{ \frac{1}{bc+a+ \frac{1}{a}} + \frac{1}{ca+b+ \frac{1}{b}} + \frac{1}{ab+c+ \frac{1}{c}} \leq \frac{27}{31}}\)
Serbia
30. Dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+y^3=2 \\ y =ax+b \end{cases}}\)
nie ma rozwiązań ?
Uwagi: Pola sąsiadują, gdy mają wspólną krawędź (nie narożnik)
2. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a_1}\) jednym z wyrazów ciągu określonego \(\displaystyle{ a_{n+1}=4a_n(1-a_n)}\) będzie zero ?
3. Kostki do gry; Z jednakowych sześciennych kostek do gry, na ściankach których namalowane są oczka (od 1 do 6) ułożona jest płytka o \(\displaystyle{ n}\) wierszach i \(\displaystyle{ m}\) kolumnach. Przez obrót kolumny kostek rozumiemy jednoczesny obrót wszystkich kostek leżących w tej kolumnie o tę samą wielokrotność kąta prostego. Analogicznie: obrót wiersza kostek
Czy można uzyskać każdy układ oczek na opisanej płycie, wykonując tylko zdefiniowane wyżej obroty wierszy i kolumn
M
4. Dane są liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f}\) takie że \(\displaystyle{ (a, b, c, d)}\) jest ciągiem arytmetycznym, zaś ciąg \(\displaystyle{ (a, e, f, d)}\) jest ciągiem geometrycznym. Udowodnić, że \(\displaystyle{ bc \geq ef}\)
5. Ile rozwiązań ma równanie diofantyczne; wyznaczyć je: \(\displaystyle{ t^2+1= s(s+t)}\) ?
6. Basen napełniany jest przez trzy krany; gdy otwarte są pierwszy i drugi kran to napełnianie basenu trwa 20 godzin, gdy pierwszy i trzeci 15 godzin, a gdy drugi i trzeci 12 godzin. Ile będzie trwało napełnianie basenu, gdy otwarte są wszystkie krany ?
7. Udowodnić, że graf w którym ilości wierzchołków i krawędzi są równe ma cykl
8. Jaka jest odległość środków dwóch krawędzi skośnych czworościanu foremnego ?
9. Wyznaczyć warunki konieczny i wystarczający na to aby suma i iloczyn dwóch liczb całkowitych dodatnich były liczbami względnie pierwszymi.
M
10. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f (x+ f(y)) + f(x - f(y))= 2x}\)
11. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) zachodzi twierdzenie:
W dowolnym grafie mającym \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków istnieją wśród nich takie dwa różne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), że ilość wierzchołków \(\displaystyle{ C}\) koincydentnych (połączonych krawędzią) zarówno z \(\displaystyle{ A}\) jak i z \(\displaystyle{ B}\) jest parzysta ?
12. Niech \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) będą środkami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Udowodnić, że środek łuku \(\displaystyle{ BC}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BIC}\)
13. Wskazać trzynaście przykładów /modeli/ zastosowań teorii grafów
14. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma taką własność: jeśli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ \{ \lfloor x \rfloor, \ \{ x \} , \ x+ \{ x \} \} \subset A}\). Czy zbiór mający tę własność do którego należy liczba niewymierna jest nieskończony ?
M
15. Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a, \ b}\) :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 \equiv 0 \ (mod \ b ) \\ b^2 \equiv 0 \ (mod \ a ) \\ b^2+1 \equiv 0 \ (mod \ a+1) \end{cases}}\)
?
Serbia
16. W kuli o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) jest 73 różnych punktów. Udowodnić że można z nich wybrać trzynaście takich, które są wewnątrz jakiejś kuli o promieniu \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\)
17. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie sumą wszystkich liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ n}\) i nie względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(n+p) \neq f(n)}\) dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\)
Mołdawia
18. Niech \(\displaystyle{ N = \underbrace{1 \ldots 1}_{n}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ S(N^2)}\) oraz \(\displaystyle{ S(N^3)}\), gdzie \(\displaystyle{ S(m)}\) jest sumą wszystkich cyfr liczby \(\displaystyle{ m}\)
19. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{64x^2y^2}{4x^2+y^2} = (x+1)(y+2)(2x+y)}\)
20. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) taki, że \(\displaystyle{ a_1+ 2a_2+...+ na_n = \frac{n+1}{n+2}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ S_n= a_1+...+a_n}\)
21. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ \sqrt{y}+ z = b \\ x + \sqrt{z}+ y = c \\ y+ \sqrt{x}+ z = a \end{cases}}\)
Kiedy ten układ nie ma rozwiązań ?
22. Prostokąt został podzielony na skończoną mniejszych prostokątów, w taki sposób że ich boki są równoległe do boków prostokąta. Dowolna prosta równoległa do boków prostokąta i przecinająca jego wnętrze przecina też wnętrze jakiegoś mniejszego prostokąta z podziału. Udowodnić, że istnieje prostokąt z podziału nie mający punktu wspólnego z brzegiem podzielonego prostokąta.
23. Ile rozwiązań może mieć równanie \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{x-a}{b}} + \sqrt{\frac{x+b}{a}} = \sqrt{\frac{x-b}{a}} + \sqrt{\frac{x+a}{b}}}\) ?
24. Dany jest sześcioelementowy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i jego trzyelementowe podzbiory \(\displaystyle{ A_1, ..., A_6}\). Udowodnić, że można pomalować każdy element zbioru \(\displaystyle{ X}\) jednym z dwóch kolorów, tak aby żaden ze zbiorów \(\displaystyle{ A_j}\) nie był jednokolorowy
25. Ponumerować wierzchołki sześcianu liczbami ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,..,9 \}}\) w taki sposób, aby sumy numerów wierzchołków z każdej ściany były równe i nie podzielne przez liczbę nie wziętą do numeracji
26. Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) że \(\displaystyle{ f( (x-y)^2 ) \equiv f(x)^2 - 2xf(y) + y^2}\)
27. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) spełnione są nierówności \(\displaystyle{ |AB| > |AC| > |BC|}\). Który z trzech okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABH, ACH, BCH}\) ma największy, a który najmniejszy obwód ?
Uwagi: Punkt \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
28. Dla jakich \(\displaystyle{ c \in R}\) wielomian
\(\displaystyle{ x^n + {c \choose 1}x^{n-1} + {c \choose 2}x^{n-2} + ... + {c \choose n} \ \ n \geq 2}\)
ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych (licząc ewentualne krotności)
Australia
29. Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b ,c}\) są dodatnie i \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) to
\(\displaystyle{ \frac{1}{bc+a+ \frac{1}{a}} + \frac{1}{ca+b+ \frac{1}{b}} + \frac{1}{ab+c+ \frac{1}{c}} \leq \frac{27}{31}}\)
Serbia
30. Dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+y^3=2 \\ y =ax+b \end{cases}}\)
nie ma rozwiązań ?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: [MIX] Mix rekreacyjny
3:
12:
2:
5:
W zad 5 jest:
a powinno być:wskazuje, że nieskończenie wiele rozwiązań ( t_k, s_k) oraz ( t_k, s_k) dostaje się z zależności:
wskazuje, że nieskończenie wiele rozwiązań ( t_k, s_k) oraz ( - t_k,- s_k) dostaje się z zależności:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11403
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: [MIX] Mix rekreacyjny
Nierozwiazane zadania to 1, 7, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 27 i 28
Jeśli coś znowu namieszane to niecelowo...
6 cd
Jeśli coś znowu namieszane to niecelowo...
6 cd
Ukryta treść:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11403
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy