[MIX] Mix rekreacyjny

[mol_ksiazkowy]

1. Niektóre pola szachownicy \(\displaystyle{ 2n \times 2n}\) można pokolorować. Na ile sposobów można to zrobić aby każde pole miało parzystą ilość pokolorowanych sąsiadów ?
Uwagi: Pola sąsiadują, gdy mają wspólną krawędź (nie narożnik)
2. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a_1}\) jednym z wyrazów ciągu określonego \(\displaystyle{ a_{n+1}=4a_n(1-a_n)}\) będzie zero ?
3. Kostki do gry; Z jednakowych sześciennych kostek do gry, na ściankach których namalowane są oczka (od 1 do 6) ułożona jest płytka o \(\displaystyle{ n}\) wierszach i \(\displaystyle{ m}\) kolumnach. Przez obrót kolumny kostek rozumiemy jednoczesny obrót wszystkich kostek leżących w tej kolumnie o tę samą wielokrotność kąta prostego. Analogicznie: obrót wiersza kostek
Czy można uzyskać każdy układ oczek na opisanej płycie, wykonując tylko zdefiniowane wyżej obroty wierszy i kolumn
M
4. Dane są liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, b, c, d, e, f}\) takie że \(\displaystyle{ (a, b, c, d)}\) jest ciągiem arytmetycznym, zaś ciąg \(\displaystyle{ (a, e, f, d)}\) jest ciągiem geometrycznym. Udowodnić, że \(\displaystyle{ bc \geq ef}\)
5. Ile rozwiązań ma równanie diofantyczne; wyznaczyć je: \(\displaystyle{ t^2+1= s(s+t)}\) ?
6. Basen napełniany jest przez trzy krany; gdy otwarte są pierwszy i drugi kran to napełnianie basenu trwa 20 godzin, gdy pierwszy i trzeci 15 godzin, a gdy drugi i trzeci 12 godzin. Ile będzie trwało napełnianie basenu, gdy otwarte są wszystkie krany ?
7. Udowodnić, że graf w którym ilości wierzchołków i krawędzi są równe ma cykl
8. Jaka jest odległość środków dwóch krawędzi skośnych czworościanu foremnego ?
9. Wyznaczyć warunki konieczny i wystarczający na to aby suma i iloczyn dwóch liczb całkowitych dodatnich były liczbami względnie pierwszymi.
M
10. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f (x+ f(y)) + f(x - f(y))= 2x}\)

11. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) zachodzi twierdzenie:
W dowolnym grafie mającym \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków istnieją wśród nich takie dwa różne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), że ilość wierzchołków \(\displaystyle{ C}\) koincydentnych (połączonych krawędzią) zarówno z \(\displaystyle{ A}\) jak i z \(\displaystyle{ B}\) jest parzysta ?
12. Niech \(\displaystyle{ I}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) będą środkami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Udowodnić, że środek łuku \(\displaystyle{ BC}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BIC}\)
13. Wskazać trzynaście przykładów /modeli/ zastosowań teorii grafów
14. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma taką własność: jeśli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ \{ \lfloor x \rfloor, \ \{ x \} , \ x+ \{ x \} \} \subset A}\). Czy zbiór mający tę własność do którego należy liczba niewymierna jest nieskończony ?
M
15. Dla jakich liczb \(\displaystyle{ a, \ b}\) :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 \equiv 0 \ (mod \ b ) \\ b^2 \equiv 0 \ (mod \ a ) \\ b^2+1 \equiv 0 \ (mod \ a+1) \end{cases}}\)
?
Serbia
16. W kuli o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) jest 73 różnych punktów. Udowodnić że można z nich wybrać trzynaście takich, które są wewnątrz jakiejś kuli o promieniu \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\)
17. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie sumą wszystkich liczb naturalnych nie większych niż \(\displaystyle{ n}\) i nie względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(n+p) \neq f(n)}\) dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) i dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\)
Mołdawia
18. Niech \(\displaystyle{ N = \underbrace{1 \ldots 1}_{n}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ S(N^2)}\) oraz \(\displaystyle{ S(N^3)}\), gdzie \(\displaystyle{ S(m)}\) jest sumą wszystkich cyfr liczby \(\displaystyle{ m}\)
19. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{64x^2y^2}{4x^2+y^2} = (x+1)(y+2)(2x+y)}\)
20. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) taki, że \(\displaystyle{ a_1+ 2a_2+...+ na_n = \frac{n+1}{n+2}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ S_n= a_1+...+a_n}\)

21. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+ \sqrt{y}+ z = b \\ x + \sqrt{z}+ y = c \\ y+ \sqrt{x}+ z = a \end{cases}}\)
Kiedy ten układ nie ma rozwiązań ?
22. Prostokąt został podzielony na skończoną mniejszych prostokątów, w taki sposób że ich boki są równoległe do boków prostokąta. Dowolna prosta równoległa do boków prostokąta i przecinająca jego wnętrze przecina też wnętrze jakiegoś mniejszego prostokąta z podziału. Udowodnić, że istnieje prostokąt z podziału nie mający punktu wspólnego z brzegiem podzielonego prostokąta.
23. Ile rozwiązań może mieć równanie \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{x-a}{b}} + \sqrt{\frac{x+b}{a}} = \sqrt{\frac{x-b}{a}} + \sqrt{\frac{x+a}{b}}}\) ?
24. Dany jest sześcioelementowy zbiór \(\displaystyle{ X}\) i jego trzyelementowe podzbiory \(\displaystyle{ A_1, ..., A_6}\). Udowodnić, że można pomalować każdy element zbioru \(\displaystyle{ X}\) jednym z dwóch kolorów, tak aby żaden ze zbiorów \(\displaystyle{ A_j}\) nie był jednokolorowy
25. Ponumerować wierzchołki sześcianu liczbami ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,..,9 \}}\) w taki sposób, aby sumy numerów wierzchołków z każdej ściany były równe i nie podzielne przez liczbę nie wziętą do numeracji
26. Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) że \(\displaystyle{ f( (x-y)^2 ) \equiv f(x)^2 - 2xf(y) + y^2}\)
27. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) spełnione są nierówności \(\displaystyle{ |AB| > |AC| > |BC|}\). Który z trzech okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABH, ACH, BCH}\) ma największy, a który najmniejszy obwód ?
Uwagi: Punkt \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
28. Dla jakich \(\displaystyle{ c \in R}\) wielomian
\(\displaystyle{ x^n + {c \choose 1}x^{n-1} + {c \choose 2}x^{n-2} + ... + {c \choose n} \ \ n \geq 2}\)
ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych (licząc ewentualne krotności)
Australia
29. Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b ,c}\) są dodatnie i \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) to
\(\displaystyle{ \frac{1}{bc+a+ \frac{1}{a}} + \frac{1}{ca+b+ \frac{1}{b}} + \frac{1}{ab+c+ \frac{1}{c}} \leq \frac{27}{31}}\)
Serbia
30. Dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+y^3=2 \\ y =ax+b \end{cases}}\)
nie ma rozwiązań ?

[kerajs]

6:    

Przez 60 godzin otwarte pierwszy i drugi kran napełnią 3 baseny, pierwszy i trzeci kran napełnią 4 baseny, a drugi i trzeci kran napełnią 5 basenów. Sumując mam że zdublowane wszystkie krany napełnią 12 basenów w 60 godzin, czyli trzy krany napełnią basen w godzin 10.

8:    

To wysokość w trójkącie równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i ramieniu \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) i wynosi \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{2} }{2}}\), gdzie a to krawędź czworościanu.

30:    

\(\displaystyle{ y= \sqrt[3]{2-x^3}}\)
Ta krzywa ma asymptotę ukośną \(\displaystyle{ y=-x}\) z którą nie ma żadnych punktów wspólnych (cała leży nad asymptotą). Ponadto wykres krzywej jest symetryczny względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\) (bo jest swoją funkcją odwrotną)
\(\displaystyle{ x^3+x^3=2 \Rightarrow x=y=1}\)
Układ krzywej z prostą \(\displaystyle{ y=-x+2}\) daje tylko punkt \(\displaystyle{ (1,1)}\). A skoro cały (bo jest ciągła) wykres leży miedzy wskazanymi prostymi to pierwotny układ nie ma rozwiązań dla \(\displaystyle{ a=-1 \wedge b \in (- \infty ,0> \cup (2; \infty)}\)

[Premislav]

20.:    

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k \ a_k= \frac{n+1}{n+2}\\ (n+1)a_{n+1}= \frac{n+2}{n+3}- \frac{n+1}{n+2}\\ a_{n+1}= \frac{1}{2n+2}+ \frac{1}{2n+6} - \frac{1}{n+2}\\ S_{n+1}-a_1= \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+2}+ \frac{1}{2k+6} - \frac{1}{k+2} \right)\\ S_{n+1}=\frac 2 3+\frac 1 2 (H_{n+1}-1)+\frac 1 2\left( H_{n+3}-1-\frac 1 2-\frac 1 3\right)-\left( H_{n+2}-1-\frac 1 2\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ H_n=\sum_{k=1}^n\frac 1 k}\)
czyli
\(\displaystyle{ S_{n+1}=\frac 2 3-\frac 1 2+ \frac{1}{2n+4}+ \frac{1}{2n+6}-\frac 1 2 -\frac 1 4-\frac 1 6-\frac{1}{n+2}+\frac 3 2}\)
a odejmując od tego \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) mamy
\(\displaystyle{ S_n= \frac{3}{4}+\frac{1}{2n+4}- \frac{1}{2n+2}}\)

[kerajs]

4:    

\(\displaystyle{ bc=(a+r)(a+2r)=a^2+3ar+2r^2\\
ef=aq \cdot aq^2=a^2q^3=ad=a(a+3r)=a^2+3ar=bc-2r^2<bc}\)

25:    

Tylko gdy nie użyję cyfry 7 to suma wierzchołków na każdej ścianie nie będzie podzielna przez pozostawioną cyfrę.
\(\displaystyle{ A=9, \ B=1, \ C=6, \ D=3, \\
A'=5, \ B'=4, \ C'=8, \ D'=2}\)

[Bourder]

10:    

Ukryta treść:    

Nie wiem czy dobrze, bo w zasadzie nie bawię się takimi równaniami.
Robiąc podstawienie \(\displaystyle{ x:=0}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ f(f(y)) + f(- f(y))=0}\) Mamy więc, że funkcja jest nieparzysta, ponieważ \(\displaystyle{ f(f(y)=-f(-f(y))}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ f(y):=0}\). Stąd bezpośrednio otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2f(x)=2x}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)=x}\) Funkcja ta spełnia warunki zadania

Jeszcze raz. Podstawmy \(\displaystyle{ f(y)=x}\). Równanie upraszcza się do \(\displaystyle{ f(2x)+f(0)=2x}\).Biorąc teraz \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Podstawiając w pierwotnym równaniu \(\displaystyle{ y=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)=x}\).
Mam nadzieję, że nie jest to tym samym co wcześniej, tylko że na około

[AndrzejK]

10:    

Nie wiem czy dobrze, bo w zasadzie nie bawię się takimi równaniami.
Robiąc podstawienie \(\displaystyle{ x:=0}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ f(f(y)) + f(- f(y))=0}\) Mamy więc, że funkcja jest nieparzysta, ponieważ \(\displaystyle{ f(f(y)=-f(-f(y))}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ f(y):=0}\). Stąd bezpośrednio otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2f(x)=2x}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)=x}\) Funkcja ta spełnia warunki zadania.

Ukryta treść:    

Wydaje mi się, że nie do końca. Z \(\displaystyle{ f(f(y))=-f(-f(y))}\) wcale nie wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest nieparzysta, tylko że \(\displaystyle{ f}\) obcięta do swojego zbioru wartości jest nieparzysta. Nie wiadomo jednak czy istnieje \(\displaystyle{ y}\) takie, że \(\displaystyle{ f(y)=0}\).

[bosa_Nike]

29:    

WLOG \(\displaystyle{ 1>a\ge b\ge c>0}\), wtedy

\(\displaystyle{ \frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}=\frac{a}{abc+a^2+1}\ge\frac{b}{abc+b^2+1}=\frac{1}{ac+b+\frac{1}{b}}\iff\\ \\ (a-b)(1-ab+abc)\ge 0}\)

oraz oczywiście \(\displaystyle{ abc+a^2+1\ge abc+b^2+1}\) itd.

Wobec tego, z nierówności Czebyszewa, mamy:

\(\displaystyle{ 3=3\sum a=3\sum\left(\frac{a}{abc+a^2+1}\cdot\left(abc+a^2+1\right)\right)\ge\\ \\ \sum\left(\frac{a}{abc+a^2+1}\right)\cdot\sum\left(abc+a^2+1\right)=\\ \\ \sum\left(\frac{a}{abc+a^2+1}\right)\cdot\left(3+3abc+\sum a^2\right)}\)

Potrzebujemy więc \(\displaystyle{ 3abc+\sum a^2\ge\frac{4}{9}}\), a w postaci jednorodnej \(\displaystyle{ 27abc+9\sum a^2\cdot\sum a\ge 4\left(\sum a\right)^3}\), albo \(\displaystyle{ 5(a+b+c)^3+27abc-18(a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 0}\)

Ostatnia nierówność jest prawdziwa na mocy nierówności Schura i AM-GM, bo jest równoważna

\(\displaystyle{ 2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+\\ 3\left(a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\right)\ge 0}\)

Równość dla \(\displaystyle{ a=b=c=\frac{1}{3}}\).

Ble, brzydko wyszło, zafiksowałam się na Czebyszewie.

4:    

\(\displaystyle{ bc=\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}\ge\sqrt{abcd}\iff bc\ge ad=ef}\)

[Premislav]

tu były bzdury

[Mruczek]

11.

Ukryta treść:    

Odpowiedź: dowolne \(\displaystyle{ n}\) parzyste.
Przypadek gdy \(\displaystyle{ n}\) nieparzyste. Wtedy weźmy klikę \(\displaystyle{ n}\) - wierzchołkową i jej dwa dowolne wierzchołki. Są one połączone ze wszystkimi pozostałymi wierzchołkami tego grafu - mają nieparzystą liczbę wspólnych sąsiadów. Dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego nie działa.

Pokażemy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) parzystego to działa.
Przypadek gdy każdy wierzchołek ma parzysty stopień rozpatrzyłem tutaj:
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=419609.
Przypadek gdy pewien wierzchołek ma nieparzysty stopień:
Weźmy ten wierzchołek \(\displaystyle{ v}\), a zbiór jego sąsiadów oznaczmy przez \(\displaystyle{ N(v)}\). Jeżeli jakiś wierzchołek \(\displaystyle{ u \in N(v)}\) ma parzystą liczbę sąsiadów w tym zbiorze, tzn. \(\displaystyle{ |N(u) \cap N(v)|}\) jest parzyste, to wtedy \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) mają parzystą liczbę wspólnych sąsiadów - ich wspólni sąsiedzi to zbiór \(\displaystyle{ N(u) \cap N(v)}\). Jeżeli nie to w podgrafie utworzonym przez \(\displaystyle{ N(v)}\) każdy wierzchołek ma nieparzysty stopień, ale ten podgraf ma nieparzystą liczbę wierzchołków, czyli łączna suma stopni w tym podgrafie jest nieparzysta, sprzeczność z lematem o uściskach dłoni.

[kerajs]

3:    

Mam w i-tym wierszu i j-otej kolumnie tak ustawioną kostkę \(\displaystyle{ K_{ij}}\) (suma oczek z przeciwnych ścian to 7)

1.jpg (43.31 KiB) Przejrzano 85 razy

\(\displaystyle{ \leftarrow , \ \rightarrow}\) obroty kolumny
\(\displaystyle{ \uparrow, \ \downarrow}\) obroty wiersza
Sekwencja ruchów wykonywanych tylko i-tym wierszem i j-otą kolumną :
a) \(\displaystyle{ \uparrow \leftarrow \leftarrow \downarrow \rightarrow \rightarrow}\) daje 6 oczek
b) \(\displaystyle{ \uparrow \leftarrow \downarrow \rightarrow}\) daje 5 oczek
c) \(\displaystyle{ \downarrow \leftarrow \uparrow \rightarrow}\) daje 2 oczka
d) \(\displaystyle{ \leftarrow \downarrow \rightarrow \uparrow}\) daje 4 oczka
e) \(\displaystyle{ \rightarrow \downarrow \leftarrow \uparrow}\) daje 3 oczka
na kostce \(\displaystyle{ K_{ij}}\), jednocześnie nie zmieniając położenia pozostałych kostek na i-tym wierszu i w j -tej kolumnie.

Wniosek: Na płytce można ułożyć każdy układ oczek.

12:    

Niech kątami w trójkącie ABC będą: \(\displaystyle{ 2 \alpha , \ 2\beta , \ 2\gamma}\), a \(\displaystyle{ \left| BC\right|=a}\)

Promień okręgu (o środku w punkcie O) opisanego na ABC :
\(\displaystyle{ R= \frac{a}{2\sin ( \pi -2\beta - 2\gamma)}= \frac{a}{2\sin (2\beta +2\gamma)}}\)
Promień okręgu (o środku w punkcie O') opisanego na BCI :
\(\displaystyle{ R'= \frac{a}{2\sin ( \pi -\beta - \gamma)}= \frac{a}{2\sin (\beta +\gamma)}}\)
Środki obu okregów leżą na symetralnej boku a. Teza zadania jest równoważna tezie: odległość środków obu okręgów jest równa promieniowi okręgu opisanego na ABC.

a) Kąt A jest ostry.
\(\displaystyle{ \left| Oa\right|+\left| O'a\right|= \sqrt{R^2- (\frac{a}{2})^2 }+ \sqrt{R'^2- (\frac{a}{2})^2 } =\\= \sqrt{( \frac{a}{2\sin (2\beta +2\gamma)})^2- (\frac{a}{2})^2 }+ \sqrt{( \frac{a}{2\sin (\beta +\gamma)})^2- (\frac{a}{2})^2 }=\\
= \frac{a}{2}\left[ \sqrt{ \frac{1-\sin^2 (2\beta +2\gamma)}{\sin^2 (2\beta +2\gamma)} }+ \sqrt{ \frac{1-\sin^2 (\beta +\gamma)}{\sin^2 (\beta +\gamma)} } \right]=
\frac{a}{2}\left[ \frac{-\cos (2\beta +2\gamma)}{\sin (2\beta +2\gamma)} + \frac{\cos (\beta +\gamma)}{\sin (\beta +\gamma)} \right]=\\
=\frac{a}{2}\left[ \frac{-\cos (2\beta +2\gamma)+2\cos^2 (\beta +\gamma)}{\sin (2\beta +2\gamma)} \right]=\frac{a}{2} \frac{1}{\sin (2\beta +2\gamma)} =R}\)

b) Kąt A jest prosty (\(\displaystyle{ R= \frac{a}{2}}\)) .
\(\displaystyle{ \left| Oa\right|+\left| O'a\right|=0+ \sqrt{R'^2- (\frac{a}{2})^2 } = \sqrt{( \frac{a}{2\sin (\beta +\gamma)})^2- (\frac{a}{2})^2 }= \frac{a}{2} \sqrt{ \frac{\cos^2 (\beta +\gamma)}{\sin^2 (\beta +\gamma)} }=\\= \frac{a}{2}\tg (\beta +\gamma)=\frac{a}{2}\tg ( \frac{ \pi }{4} )= \frac{a}{2}=R}\)

c) Kąt A jest rozwarty.
\(\displaystyle{ -\left| Oa\right|+\left| O'a\right|=- \sqrt{R^2- (\frac{a}{2})^2 }+ \sqrt{R'^2- (\frac{a}{2})^2 } =\\= - \sqrt{( \frac{a}{2\sin (2\beta +2\gamma)})^2- (\frac{a}{2})^2 }+ \sqrt{( \frac{a}{2\sin (\beta +\gamma)})^2- (\frac{a}{2})^2 }=\\
= \frac{a}{2}\left[ -\sqrt{ \frac{1-\sin^2 (2\beta +2\gamma)}{\sin^2 (2\beta +2\gamma)} }+ \sqrt{ \frac{1-\sin^2 (\beta +\gamma)}{\sin^2 (\beta +\gamma)} } \right]=
\frac{a}{2}\left[ \frac{-\cos (2\beta +2\gamma)}{\sin (2\beta +2\gamma)} + \frac{\cos (\beta +\gamma)}{\sin (\beta +\gamma)} \right]=\\
=\frac{a}{2}\left[ \frac{-\cos (2\beta +2\gamma)+2\cos^2 (\beta +\gamma)}{\sin (2\beta +2\gamma)} \right]=\frac{a}{2} \frac{1}{\sin (2\beta +2\gamma)} =R}\)

-- 21 cze 2017, o 20:57 --

2:    

Niech symbol \(\displaystyle{ \div}\) oznacza dowolne z dwóch działań: \(\displaystyle{ +}\) lub \(\displaystyle{ -}\)
\(\displaystyle{ a_1 \in \left\{ 0, \ 1, \ \frac{1}{2}, \ \frac{2 \div \sqrt{2} }{4}, \ \frac{2 \div \sqrt{2 \div \sqrt{2} } }{4}, \ \frac{2 \div \sqrt{2 \div \sqrt{2 \div \sqrt{2} } } }{4}, \ \frac{2 \div \sqrt{2 \div \sqrt{2 \div \sqrt{2 \div \sqrt{2} } } } }{4}, ....\right\}}\)

5:    

\(\displaystyle{ (0,1)\\
(1,1)\\
(3,2)\\
(8,5)\\
(21,13)\\
(55,34)\\
.....}\)
wskazuje, że nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ ( t_k, s_k)}\) oraz \(\displaystyle{ ( t_k, s_k)}\) dostaje się z zależności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} s_{n+1}=t_n+s_n \\ t_{n+1}=t_n+s_{n+1}\end{cases} \ \ \ \ dla \ \ \ t_1=0 \wedge s_1=1}\)
\(\displaystyle{ t_n= \frac{(-5-3 \sqrt{5}) }{10}\left( \frac{3- \sqrt{5} }{2} \right)^n+ \frac{(-5+3 \sqrt{5}) }{10}\left( \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right)^n\\
s_n= \frac{5+2 \sqrt{5} }{5}\left( \frac{3- \sqrt{5} }{2} \right)^n+ \frac{5-2 \sqrt{5} }{5}\left( \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right)^n}\)
Drugą grupę rozwiązań o różnych znakach \(\displaystyle{ ( t_k, s_k)}\) (oraz \(\displaystyle{ ( - t_k, -s_k))}\) tworzą:
\(\displaystyle{ (0,-1)\\
(1,-2)\\
(3,-5)\\
(8,-13)\\
(21,-34)\\
...}\)
dostaje się je z zależności:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t_{n+1}=t_n- s_n \\ s_{n+1}=-t_{n+1}+s_{n}\end{cases} \ \ \ \ dla \ \ \ t_1=0 \wedge s_1=-1}\)
Pozostaje wskazać, równie brzydki jak w pierwszej grupie, jawny wzór pary rozwiązań.

-- 22 cze 2017, o 07:49 --Errata
W zad 5 jest:

wskazuje, że nieskończenie wiele rozwiązań ( t_k, s_k) oraz ( t_k, s_k) dostaje się z zależności:

a powinno być:

wskazuje, że nieskończenie wiele rozwiązań ( t_k, s_k) oraz ( - t_k,- s_k) dostaje się z zależności:

[Premislav]

Czy zadanie 19. nie miało być w nieujemnych? Jeśli tak, to

19.:    

\(\displaystyle{ \frac{64x^2y^2}{4x^2+y^2} = (x+1)(y+2)(2x+y)}\)
Oczywiście nie może być jednocześnie \(\displaystyle{ x=0, y=0}\).
Dla ułatwienia podstawmy \(\displaystyle{ y=2u}\). Po skróceniu mamy:
\(\displaystyle{ \frac{16u^2 x^2}{x^2+u^2}=(x+1)(u+1)(x+u)\\ \frac{16u^2 x^2}{u^2+x^2}\\16u^2x^2=(u^2+x^2)(x+1)(u+1)(x+u)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ u,x>0}\), to z nierówności między średnimi
\(\displaystyle{ 16x^2u^2 \le (u^2+x^2)(x+1)(u+1)(x+u)}\)
i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ u=x=1}\), czyli \(\displaystyle{ x=1, y=2}\)
Jeżeli dokładnie jedna ze zmiennych \(\displaystyle{ u, x}\) jest równa zero, to druga musi być równa \(\displaystyle{ -1}\), bo lewa strona jest zerem, a żaden z czynników \(\displaystyle{ x+u, u^2+x^2}\) nie będzie zerem, czyli wówczas \(\displaystyle{ (x,y)=(-1,0) \vee (x,y)=(0,-2)}\)
(a to być może odpada, jeśli ograniczymy się do nieujemnych).

A jeśli chodzi o dopuszczenie liczb ujemnych, to wtedy to jest jakiś syf - tak to krótko skomentuję.
Niektóre możliwości łatwo odpadają, np. \(\displaystyle{ x<-1 \wedge u<-1}\), ale nie wszystkie.

-- 22 cze 2017, o 18:20 --

26.:    

\(\displaystyle{ f( (x-y)^2 ) \equiv f(x)^2 - 2xf(y) + y^2 \ (*)}\)
Kładąc \(\displaystyle{ x=y}\) mamy
\(\displaystyle{ f(0)=(f(x)-x)^2}\), czyli
\(\displaystyle{ |f(x)-x|=c, \ c \ge 0}\), gdzie \(\displaystyle{ c=\sqrt{f(0)}}\)
Natomiast wstawiając w początkowej tożsamości \(\displaystyle{ x=y=0}\), mamy \(\displaystyle{ f(0)=f(0)^2}\), więc \(\displaystyle{ f(0)=0\vee f(0)=1}\)
W tym pierwszym przypadku otrzymujemy po prostu \(\displaystyle{ |f(x)-x|\equiv 0}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)=x}\)

zaś w tym drugim przypadku kładziemy w \(\displaystyle{ (*)}\) za \(\displaystyle{ x=0}\),
co daje nam
\(\displaystyle{ f(y^2)=f(0)^2+y^2}\) dla każdego \(\displaystyle{ y \in \RR}\)
Zatem jeśli \(\displaystyle{ x \ge 0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\).
A teraz weźmy dwie równe co do modułu liczby przeciwnych znaków, dajmy na to, \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ y=-x}\)
Wówczas dostajemy
\(\displaystyle{ 4x^2+1=f(4x^2)=f((x-y)^2)= f(x)^2 - 2xf(y) + y^2=(x+1)^2-2xf(-x)+x^2}\)
Po redukcjach:
\(\displaystyle{ 2x^2-2x=-2xf(-x)\\f(-x)=-x+1}\)
Skoro \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) i \(\displaystyle{ f(-x)=-x+1}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), to ogólnie \(\displaystyle{ f(x)=x+1, x \in \RR}\)

Odpowiedź: są dwie takie funkcje, \(\displaystyle{ f(x)=x, \ f(x)=x+1}\)


Dziękuję użytkownikowi timon92 za zauważenie mojego błędu w poprzedniej wersji.

[mol_ksiazkowy]

Nierozwiazane zadania to 1, 7, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 27 i 28

Jeśli coś znowu namieszane to niecelowo...

6 cd

Ukryta treść:    

Fizycy raczej nie uznają takiego rozwiązania / uproszczenia...

[mol_ksiazkowy]

7.

Ukryta treść:    

Twierdzenie:
Jeśli każdy wierzchołek grafu ma stopień > 1 to graf ma cykl.
(krok indukcyjny, ucięcie liścia).

13.

Ukryta treść:    

wzory chemiczne, mapy, modele wielościanów, system znajomości , operacje zbiorami, obsada kompetencji , układy scalone, gry, turnieje, matroidy, kody binarne, macierze, kraty, algorytmy. schematy dowodowe, diagramy Feynmana, itd.