1. Udowodnić, że jeśli graf regularny stopnia \(\displaystyle{ k}\) ma średnicę 2, zaś obwód 5, to graf ten ma ma dokładnie \(\displaystyle{ k^2 + 1}\) wierzchołków.
Uwagi: średnica grafu to największa odległość dwóch wierzchołków; obwód to długość najkrótszego cyklu
2. W turniej szachowym każdy z każdym rozegrał jedną partię. Udowodnić, że albo można umieścić wszystkich zawodników przy okrągłym stole, tak by każdy po prawej stronie miał gracza z którym wygrał, albo można wszystkich szachistów podzielić na dwie grupy: dowolny gracz z pierwszej wygrał z dowolnym graczej z drugiej grupy.
3. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n^k} \frac{1}{i} \geq k \sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i}}\)
4. Wyznaczyć maksymalną możliwą ilość podciągów arytmetycznych \(\displaystyle{ (b_1, b_2,b_3)}\) z ciągu \(\displaystyle{ a_1 < ... < a_n}\)
KOMaL
5. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^4 -2x^3 -5x^2 +6x +8 = 0}\)
6. Udowodnić elementarnie, że \(\displaystyle{ n-2}\) transpozycji nie wystarczy, aby przez ich składanie wygenerować wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,...,n \}}\)
7. Udowodnić, że \(\displaystyle{ a-b}\) oraz \(\displaystyle{ a^2+3b^2+1}\) są sześcianami liczb całkowitych dla nieskończenie wielu liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
8. Elementami macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ n \times n}\) są liczby 0 bądź 1. Rozważamy \(\displaystyle{ 2n+2}\) liczb: tj. sumy elementów z kolumn, wierszy i obu przekątnych.
Czy wśród tych liczb każda może wystąpić dokładnie dwa razy ?
9. Rozwiązać układ kongruencji :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv p_{i} \ (mod \ p_{i+1}) \ i=1,...,n-2 \\ x \equiv 0 \ (mod \ p_{n}) \end{cases}}\)
zaś \(\displaystyle{ p_k}\) jest \(\displaystyle{ k}\) tą liczbą pierwszą
10. Jak zakodować graf ? ; wskazać możliwie najwięcej sposobów przedstawienia grafu
11. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) jest prosty. Okrąg wpisany jest styczny do boków w punktach \(\displaystyle{ E, F, D}\). Prosta \(\displaystyle{ AD}\) wyznacza na tym okręgu punkt \(\displaystyle{ P}\) przy czym kąt \(\displaystyle{ BPC}\) jest prosty. Udowodnić, że \(\displaystyle{ AE + AP = PD}\)
Chiny
12. Jakie wartości ma wyznacznik macierzy zbudowanej z trójkąta Pascala:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1 & ...\\1&2&3 & ...\\1&3&6 &...\\ ... \end{bmatrix}}\)
?
13. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{7}{6} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7n(n+1)+2}{6n^5(n+1)^5}}\)
14. Udowodnić, że suma pól części czterech kół zbudowanych na bokach kwadratu jako ich średnicach; rozłącznych z kołem opianym na tym kwadracie jest równa polu tego kwadratu
15. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sup_{x, y \in [-1, 1]} |f(x)- f(y)|}\) gdy \(\displaystyle{ f(t)= 2t^3 - 2t}\)
KOMaL
16. Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in R}\) istnieje \(\displaystyle{ y=f(x)}\) takie, że \(\displaystyle{ \sin(x+y) = 2x+3y}\) oraz że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła
17. Wyznaczyć takie liczby \(\displaystyle{ a, b, p, q}\) aby \(\displaystyle{ (2x-1)^{20} - (ax+b)^{20} \equiv (x^2+px+q)^{10}}\)
ZSRR
18. Dane są trzy trójmiany kwadratowe o różnych współczynnikach przy \(\displaystyle{ x^2}\). Wykresy każdych dwóch z nich mają dokłądnie jeden punkt wspólny. Udowodnić, że istnieje punkt wspólny wszystkich trzech wykresów.
19. Jaką krzywą utworzą środki odcinków długości \(\displaystyle{ 4}\), których jeden z końców jest na prostej \(\displaystyle{ y=x}\) a drugi na prostej \(\displaystyle{ y=2x}\) ?
Kanada
20. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1+2x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)} + \sqrt{y(1-2y)} = \frac{2}{9}\end{cases}}\)
21. Ile maksymalnie może być punktów przecięcia się prostych zawierających przekątne \(\displaystyle{ n}\) kąta wypukłego będących poza wnętrzem tego wielokąta ?
22. Na ile sposobów można na szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) ustawić \(\displaystyle{ n}\) gońców, tak by każdy z nich mógł zbić jakiegoś innego ?
23. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f( xf(y)+ y ) = xy + f(x)}\)
24. Scharakteryzować zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ Re(z^2)= Im(z^3)}\)
25. Czy jeśli \(\displaystyle{ f: (0, +\infty) \mapsto R}\) jest taka, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x>0}\) jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(\frac{x}{n}) = 0}\) to \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 0}\) ?
26. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x-1)yz = 1 \\ (y-1)xz = 3 \\ (z-1)xy = 4,5 \end{cases}}\)
27. Na spotkaniu było \(\displaystyle{ n>1}\) osób. Udowodnić, że można je usadzić przy jednym bądź dwóch stolikach, tak by każdy miał parzystą ilość znajomych przy swoim stole.
28. Ile jest słów \(\displaystyle{ n}\) literowych nad alfabetem \(\displaystyle{ \{ a, b, c \}}\) które mają parzystą ilość wystąpień litery a ?
Excalibur
29. Udowodnić, że styczna do okręgu opisanego na trójkącie poprowadzona przez wierzchołek jest równoległa do odcinka łączącego spodki wysokości z pozostałych dwóch wierzchołków
30. Kąt trójścienny czworościanu o ostrych kątach płaskich nazywamy szpicem. Czy istnieje czworościan bez szpiców ?
M
31. Boża krówka może poruszać się po szachownicy, mając do dyspozycji trzy ruchy: w prawo, do góry lub w lewo w doł po skosie. tj. z pola \(\displaystyle{ (x,y)}\) na \(\displaystyle{ (x+1,y)}\) lub \(\displaystyle{ (x,y+1)}\) lub \(\displaystyle{ (x-1,y-1)}\).
Czy może ona obejść wszystkie pola szachownicy \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) od jednego rogu do przeciwległego i być ma każdym polu tylko raz ?
32. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów \(\displaystyle{ O}\) dla których istnieje kwadrat o środku w \(\displaystyle{ O}\) na którego bokach są punkty \(\displaystyle{ A, B ,C}\)
33. Ile jest ciągów zerojedynkowych \(\displaystyle{ n}\) bitowych, w których sekwencje zer i jedynek są co najwyżej dwuelemenowe ?
np. \(\displaystyle{ 0100101101}\) jest takie, ale już \(\displaystyle{ 0100010101}\) nie