[Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

[rochaj]

Niecha,b,c będą nieujemne i takie że \(\displaystyle{ (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27}\). Wykaż ze
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}\geq6.}\)

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a+b+c}{3})^2(\frac{a^2+b^2+c^2}{3})=1}\)
\(\displaystyle{ (AK)^2=1}\)
\(\displaystyle{ AK=1}\)
gdzie A - śr. arytmetyczna, K - śr. Kwadratowa
Korzystając z tego dasz radę dalej sam?

[rochaj]

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a+b+c}{3})^2(\frac{a^2+b^2+c^2}{3})=1}\)
\(\displaystyle{ (AK)^2=1}\)
\(\displaystyle{ AK=1}\)
gdzie A - śr. arytmetyczna, K - śr. Kwadratowa
Korzystając z tego dasz radę dalej sam?

Niestety nie.

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+3b^2} = 2\sqrt{\frac{a^2+3b^2}{4}} \ge \frac{a+3b}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{b^2+3c^2} = 2\sqrt{\frac{b^2+3c^2}{4}} \ge \frac{b+3c}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{c^2+3a^2} = 2\sqrt{\frac{c^2+3a^2}{4}} \ge \frac{c+3a}{2}}\)

Po zsumowaniu:
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2} \ge 2(a+b+c)}\)

Wyciągnij pewien wniosek z tego, że \(\displaystyle{ AK = 1}\) odnośnie a, b i c i po zadaniu

[Kaf]

No niezbyt, bo z zależności \(\displaystyle{ AK=1}\) dostajemy przeciwne oszacowanie niż potrzebujemy.

[PoweredDragon]

Hmmm. Faktycznie, myślałem, że operujemy w całkowitych nieujemnych, a tu są tylko nieujemne.

Czy aby na pewno (autorze tematu odezwij się; czy treść jest jak mówisz :V)?

[rochaj]

Ja mam w treści tylko o nieujemości.

[PoweredDragon]

Dla całkowitych (a nawet wymiernych) dowód jest łatwy, dla niewymiernych jednak nieco gorzej (nawet wolfram nie podaje rozwiązań). Mój błąd więc, nie widzę tego rozwiązania.

[Swistak]

Co tu sie. Dla całkowitych nieujemnych to by było dość trywialne, bo jest stała liczba trójek (a, b, c), która spełnia założenia i se dla każdej można sprawdzić, więc raczej jasne, że takie zadanie byłoby bez sensu. Za to jeżeli ktoś umie udowodnić tezę dla wymiernych, to z oczywistych względów rozwiążemy całe zadanie, bo ciągłość blablabla.

[arek1357]

Wyjściową nierówność podzielić przez c i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( \frac{a}{c}\right)^2 +3\left( \frac{b}{c}\right)^2 } + \sqrt{ \left( \frac{b}{c}\right)^2 +3 } + \sqrt{ 1 +3\left( \frac{a}{c}\right)^2 } \ge \frac{6}{c}}\)

warunek podzielić przez:\(\displaystyle{ c^4}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{a}{c}+ \frac{b}{c}+1 \right)^2\left(\left( \frac{a}{c}\right)^2 + \left( \frac{b}{c}\right)^2 +1 \right)= \frac{27}{c^4}}\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ x= \frac{a}{c}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{b}{c}}\)

zapiszmy to tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+3y^2}+ \sqrt{3+y^2}+ \sqrt{1+3x^2} \ge \frac{6}{c}}\)

warunek:

\(\displaystyle{ (x+y+1)^2(x^2+y^2+1)= \frac{27}{c^4}}\)

Wyliczając z warunku c i podstawiając do nierówności otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+3y^2}+ \sqrt{3+y^2}+ \sqrt{1+3x^2} \ge 2 \sqrt[4]{3} \sqrt{x+y+1} \sqrt[4]{x^2+y^2+1}}\)

co teraz można badać funkcję:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt{x^2+3y^2}+ \sqrt{3+y^2}+ \sqrt{1+3x^2} - 2 \sqrt[4]{3} \sqrt{x+y+1} \sqrt[4]{x^2+y^2+1}}\)

dla:

\(\displaystyle{ 0 \le x,y \le \infty}\)

Co tu staram się dość marnie uskuteczniać, ale ta funkcja jest na pewno nieujemna w tym obszarze...:

https://www.matematyka.pl/421394.htm

[Premislav]

arek1357, niestety od początku nie jest dobrze, bo nie możesz założyć bez straty ogólności, że
\(\displaystyle{ a \le b \le c}\), gdyż nierówność nie jest symetryczna.

[arek1357]

Powiem to tak:

w sumie to założenie:

\(\displaystyle{ 0 \le x,y \le 1}\)

nie było mi w sumie za bardzo potrzebne ale było miłe dla oka o ile tu można mówić o czymś miłym,
więc rozszerzyłem go ostatecznie na:

\(\displaystyle{ 0 \le x,y \le \infty}\)

Bo w sumie z tego mojego ogranicznika i tak nie korzystałem...

I tak czy tak w formie mglistej nasza funkcja\(\displaystyle{ f(x,y)}\) ma minimum dla:

\(\displaystyle{ (x,y)=(1,1)}\)

Dowód bardziej empiryczny niż strikte rachunkowy...

W sumie ani Schwarc ani średnia geometryczna jest za słaba na tę nierówność.