[Nierówności] rozstrzygnąć, czy zachodzi

[WolfusA]

Rozstrzygnąć, czy nierówność \(\displaystyle{ ({a}^ {\frac{4}{3}}+{b}^ {\frac{4}{3}}+{c}^ {\frac{4}{3}})^{2} \ge 9{a}^{ \frac{2}{3}}bc}\) zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b, c \in R_{+}}\)

[andkom]

Dla \(\displaystyle{ a=\sqrt[4]8}\) oraz \(\displaystyle{ b=c=\sqrt[4]{27}}\) nie zachodzi.

[Swistak]

Bez żadnych rachunków:

Niech $f(a, b, c) = LHS-RHS$ (standardowe oznaczenie LHS i RHS=lewa i prawa strona). Hipotetyczna teza to f(a,b,c)>=0. Ale f(1,1,1)=0, zatem aby nierówność była prawdziwa, to każda pochodna czątskowa f musi być 0 w tym punkcie. Ale pochodna po a i po b są różne (bo pochodne LHS po nich są równe, a RHS nie), zatem któraś jest różna od 0. Zatem nierówność nie zachodzi.

[andkom]

Ale trzeba wiedzieć, co to pochodna cząstkowa. U mnie wyszło (elementarnie, choć z rachunkiem) z nierówności między średnimi
\(\displaystyle{ (a^{\frac43}+b^{\frac43}+c^ {\frac43})^2=
64\left(\frac{\frac12a^{\frac43}+\frac12a^{\frac43}+\frac13b^{\frac43}+\frac13b^{\frac43}+\frac13b^{\frac43}+\frac13c^{\frac43}+\frac13c^{\frac43}+\frac13c^{\frac43}}8\right)^2\geq
64\sqrt[4]{\frac12a^{\frac43}\frac12a^{\frac43}\frac13b^{\frac43}\frac13b^{\frac43}\frac13b^{\frac43}\frac13c^{\frac43}\frac13c^{\frac43}\frac13c^{\frac43}}=\frac{64}{3\sqrt6}a^{\frac23}bc}\)
co jest mniejsze od \(\displaystyle{ 9a^{\frac23}bc}\). Jeśli więc pierwsza nierówność będzie równością, to mamy kontrprzykład.