[Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
[Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych.
Próbujemy wycisnąć jak najwięcej dowodów, że:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.}\)
Ja widziałem przynajmniej z pięć, ale ciekaw jestem gdzie zaproponujecie kompromis pomiędzy dowodem elementarnym, a dowodem szybkim.
Dowód z wikipedii jest jednym z najszybszych jakie widziałem, ale korzysta z nieoczywistego faktu, że skoro \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) ma pierwiastki w punktach \(\displaystyle{ \pm k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k}\) niezerowego, to można zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi} \right) \cdot \left( 1 + \frac{x}{\pi} \right) \cdot \left(1 - \frac{x}{2\pi} \right)\cdot \left( 1 + \frac{x}{2\pi} \right)\cdot \cdots}\),
a następnie spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\).
Inny, jeszcze szybszy polega na rozwinięciu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = |x|}\) w szereg Fouriera i podstawieniu \(\displaystyle{ x = 0}\), co ogranicza się do wyliczenia dwóch prostych całek, ale tracimy elementarność (w końcu potrzeba jest wiedza chociażby tego, że szereg Fouriera zbiega) na rzecz szybkości.
Z kolei najbardziej elementarny sposób polega na bawieniu się wzorami na \(\displaystyle{ \sin(nx)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(nx)}\) i innymi tożsamościami trygonometrycznymi, by zastosować na końcu twierdzenie o trzech ciągach, czyli w zasadzie nie wychodzimy poza zakres liceum. Niestety dowód jest długi, do poczytania np. tutaj: ... szereg.pdf.
Macie jakieś inne propozycje?
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.}\)
Ja widziałem przynajmniej z pięć, ale ciekaw jestem gdzie zaproponujecie kompromis pomiędzy dowodem elementarnym, a dowodem szybkim.
Dowód z wikipedii jest jednym z najszybszych jakie widziałem, ale korzysta z nieoczywistego faktu, że skoro \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\) ma pierwiastki w punktach \(\displaystyle{ \pm k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k}\) niezerowego, to można zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi} \right) \cdot \left( 1 + \frac{x}{\pi} \right) \cdot \left(1 - \frac{x}{2\pi} \right)\cdot \left( 1 + \frac{x}{2\pi} \right)\cdot \cdots}\),
a następnie spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\).
Inny, jeszcze szybszy polega na rozwinięciu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = |x|}\) w szereg Fouriera i podstawieniu \(\displaystyle{ x = 0}\), co ogranicza się do wyliczenia dwóch prostych całek, ale tracimy elementarność (w końcu potrzeba jest wiedza chociażby tego, że szereg Fouriera zbiega) na rzecz szybkości.
Z kolei najbardziej elementarny sposób polega na bawieniu się wzorami na \(\displaystyle{ \sin(nx)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos(nx)}\) i innymi tożsamościami trygonometrycznymi, by zastosować na końcu twierdzenie o trzech ciągach, czyli w zasadzie nie wychodzimy poza zakres liceum. Niestety dowód jest długi, do poczytania np. tutaj: ... szereg.pdf.
Macie jakieś inne propozycje?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
[Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych.
Próbujemy wycisnąć jak najwięcej dowodów
1
Euler , 1735 r.
Ukryta treść:
np. W Dowodach z ksiegi jest dowód (używa rozwinięcia cotangensa w szereg)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} = \frac{(-1)^{k-1} 2^{2k-1}B_{2k}}{(2k)!} \pi^{2k}}\)
3
teoria Funkcja ζ (dzeta) Riemanna
inne
Interpretacja probabilistyczna (Problem Czebyszewa)
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrane liczby naturalne są względnie pierwsze jest równe \(\displaystyle{ \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}}\)
Ukryta treść:
- Santiago A
- Użytkownik
- Posty: 248
- Rejestracja: 22 sty 2016, o 20:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zaragoza
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 51 razy
[Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych.
Dość elementarny jest ten, który zaczyna się od
\(\displaystyle{ \frac 1 {n^2} = \int_0^1\int_0^1 (xy)^{n-1} dx dy}\),
przywołuje twierdzenie o zbieżności monotonicznej i zmusza do wyznaczenia
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^\infty \frac {1}{n^2} = \int_0^1\int_0^1 \frac{dxdy}{1 - xy}}\).
\(\displaystyle{ \frac 1 {n^2} = \int_0^1\int_0^1 (xy)^{n-1} dx dy}\),
przywołuje twierdzenie o zbieżności monotonicznej i zmusza do wyznaczenia
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^\infty \frac {1}{n^2} = \int_0^1\int_0^1 \frac{dxdy}{1 - xy}}\).
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
[Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych.
Znalazłem fajnego pdf'a, w którym jest sporo dowodów. Mi spodobał się szczególnie dowód ósmy, który korzysta z metod analizy zespolonej.
Kod: Zaznacz cały
http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 10 sty 2012, o 08:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Belchatow
- Podziękował: 13 razy
[Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych.
zastanawiam się jak ktoś doszedł do tego wzoru? Przypadkiem, metodą prób i błędów?Santiago A pisze:Dość elementarny jest ten, który zaczyna się od
\(\displaystyle{ \frac 1 {n^2} = \int_0^1\int_0^1 (xy)^{n-1} dx dy}\),
Ale podstawiając wartości całki oznaczonej powiązał to z interpretacją geometryczną tzn. z objętością pewnej figury...
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
[Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} t \ dt = \frac{2 \cdot 4 \cdot ... \cdot (2n)}{ 1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n+1)} = \frac{1}{(-1)^n (2n+1) { - \frac{1}{2} \choose n }}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Re: [Analiza] Szereg odwrotności kwadratów liczb naturalnych
To może ja to jeszcze tutaj zostawię
Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls