[MIX] Niebanalne z analizy

[mol_ksiazkowy]

1. Niech \(\displaystyle{ u(x,y)= xy+ f(\frac{y}{x})}\) a \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją mającą ciągła pochodną. Udowodnić, że \(\displaystyle{ x \frac{\partial u}{\partial x } + y \frac{\partial u}{\partial y } = xy+u}\)
2. Rozwinąć w szereg Fouriera \(\displaystyle{ f(x)= \max (0, \sin(x))}\) i obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n^2-1}}\)
3. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{\sinh (n\pi)} = \frac{1}{8\pi}}\)
4. Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ |\sin(x)+ \cos(x)+ \tg(x)+ \ctg(x)+ \frac{1}{\sin(x)}+\frac{1}{\cos(x)} |}\)
5. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^n}} \ dx}\)
6. Wyznaczyć ekstrema lokalne \(\displaystyle{ f(x,y) = x^3y^2(1-x-y)}\)
7. Obliczyć objętość obszaru \(\displaystyle{ V = \{ (x, y, z) : y^2+ z^2 \leq x \leq y , \ z>0 \}}\)
8. Obliczyć długość łuku paraboli \(\displaystyle{ y = x^2}\) od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) do punktu \(\displaystyle{ (1, 1)}\)
9. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} n \underbrace{\sin( \ldots (\sin(\frac{1}{n})))}_{n}}\)
10. Czy szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}}\) można podzielić na nieskończoną ilość szeregów
a) zbieżnych
b) rozbieżnych
? ? ?
11. Wyznaczyć potencjał pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{F}(x, y, z) = (y \cos(z), x \cos(z), -xy \sin(z))}\)
12. Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 u}{\partial x \ \partial z} = 4xzy^5}\)
gdzie \(\displaystyle{ u}\) jest funkcją zmiennych \(\displaystyle{ x, y, z}\)
13. Obliczyć długość „pętelki”
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t^2 \\ y=t - \frac{t^3}{3}\end{cases}}\)
14. Zmienić kolejnośc całkowania w \(\displaystyle{ \int_{1}^{2} dx \int_{\frac{1}{x}}^{x} f(x,y) \ dy}\)
15. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+6x^2+13} \ dx = \frac{\pi}{8}}\)
16. Obliczyć \(\displaystyle{ \int \sqrt[3]{1+ \sqrt[4]{x}} \ dx}\)
17. Znaleźć współrzędne środka ciężkości jednorodnej czaszy kuli \(\displaystyle{ K((0,0,0), r)}\) i o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ 2\alpha < \pi}\)
18. Z twierdzenia Gaussa Ostrogradzkiego obliczyć całkę powierzchniową \(\displaystyle{ \int_{S} x^2+y^2+z^2 d \sigma}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest częścią płaszczyzny \(\displaystyle{ z=x-y}\) wewnątrz walca \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
19. Wyznaczyć \(\displaystyle{ y=y(t)}\) jeśli \(\displaystyle{ t^2 (y y^{\prime \prime}- (y^{\prime})^2) + tyy^{\prime} = y\sqrt{t^2 (y^{\prime})^2 +y^2 }}\)
20. Parabola przecina koło jednostkowe. Czy długość łuku tej paraboli wewnątrz koła może być większa od 4 ?
21. Obliczyć całkę powierzchniową \(\displaystyle{ \int \int_{\Sigma} x^2y^2z \ dx dy}\) gdy \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest górna półsferą \(\displaystyle{ z = \sqrt{1-x^2-y^2}}\) zorientowaną na zewnątrz
22. Wskazać przykłady granic gdy Reguła de Hospitala „zapetla sie” (gdy \(\displaystyle{ x \to 0}\) i gdy \(\displaystyle{ x \to +\infty}\))
23. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{1}^3 \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(3-x)}}}\)
24. Czy szereg \(\displaystyle{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3 \cdot \sqrt[2]{3}} + \frac{1}{3 \cdot \sqrt[2]{3} \cdot \sqrt[3]{3}} +...}\) jest zbieżny ?
25. (K-W) Obliczyć objętość bryły ograniczonej stożkiem \(\displaystyle{ 2(x^2+y^2) - z^2= 0}\) i hiperboloidą \(\displaystyle{ x^2+y^2-z^2 = -a^2}\)
26. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(x)= \sin(x^2)}\) nie jest okresową
27. Sprawdzić twierdzenie Stokesa dla \(\displaystyle{ \vec{F}(x, y, z)=(x^2y^3, 1, z)}\) jeśli \(\displaystyle{ K}\) jest okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=1 , \ z=0}\) oraz \(\displaystyle{ S}\) jest częścią płaszczyzny \(\displaystyle{ z=0}\) rozpiętej na tym okręgu
28. Obliczyć pole powierzchni części sfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=9}\) wyciętej przez walec eliptyczny \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2=36}\)
29. Oblicz pole części powierzchni torusa opisanej parametrycznie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= (10+ 3\cos (v))\cos (u) \\ y= (10+ 3\cos (v))\sin (u) \\ z=\sin(v)\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u \in [0, \pi] , \ v \in [\pi, 2\pi]}\)
30. Rozwiązać układ równań różniczkowych
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=3x+8y \\ \frac{dy}{dt}= - 3y-x \end{cases}}\)
z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ x(0) = 6 , \ y(0)=-2}\)

Ukryta treść:    

W przypadku zadań rachunkowych nie zaszkodziłyby jakieś rysunki...

[kerajs]

8:    

\(\displaystyle{ L= \int_{0}^{1} \sqrt{1+(2x)^2}dx= \left( \frac{x}{2} \sqrt{4x^2+1}+ \frac{1}{4}\ln\left| 8x+4 \sqrt{4x^2+1} \right| \right) \Bigg|^1 _0 = \frac{ \sqrt{5} }{2}+ \frac{\ln\left( 2+ \sqrt{5} \right) }{4}}\)

14:    

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} dx \int_{\frac{1}{x}}^{x} f(x,y) \ dy=\int_{ \frac{1}{2} }^{1} dy \int_{\frac{1}{y}}^{2} f(x,y) \ dx+\int_{ 1 }^{2} dy \int_{y}^{2} f(x,y) \ dx}\)

16:    

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt[3]{1+ \sqrt[4]{x} }dx=\left[ t^3=1+ \sqrt[4]{x} \Rightarrow x=(t^3-1)^4 \Rightarrow dx=4(t^3-1)^33t^2dt\right]=\\=12 \int_{}^{} \sqrt[3]{t^3}(t^3-1)^3t^2dt =12\left( \frac{1}{13}t^{13}-\frac{3}{10}t^{10}+\frac{3}{7}t^{7}-\frac{1}{4}t^{4} \right) +C=}\)
\(\displaystyle{ =12\left( \frac{1}{13}\left( \sqrt[3]{1+ \sqrt[4]{x} }\right) ^{13}-\frac{3}{10}\left( \sqrt[3]{1+ \sqrt[4]{x} }\right) ^{10}+\frac{3}{7}\left( \sqrt[3]{1+ \sqrt[4]{x} }\right) ^{7}-\frac14\left( \sqrt[3]{1+ \sqrt[4]{x} }\right) ^{4} \right) +C}\)

23:    

\(\displaystyle{ \int_{1}^3 \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(3-x)}}=\int_{1}^3 \frac{dx}{\sqrt{1-(x-2)^2}}=\left[t=x-2 \right]= \int_{-1}^{1} \frac{dt}{ \sqrt{1-t^2} }=\arcsin t\Bigg|^1_{-1} = \pi}\)

30:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=3x+8y \\ \frac{dy}{dt}= - 3y-x \end{cases}}\)
Rozwiązanie tego prostego układu to
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=C_1e^{t}+C_2e^{-t} \\ x=-4C_1e^{t}-2C_2e^{-t} \end{cases}}\)
przy warunku początkowym \(\displaystyle{ x(0) = 6 , \ y(0)=-2}\) upraszcza się do:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-e^{t}-e^{-t} \\ x=4e^{t}+2e^{-t} \end{cases}}\)

[Premislav]

5.:    

Ponieważ, jak nietrudno wyliczyć,
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{1+x^n} }= \int_{}^{} \frac{1+x^n-x^n}{ \sqrt{1+x^n} }dx= \int_{}^{}\sqrt{1+x^n}dx- \frac{2x}{n}\sqrt{1+x^n}+ \frac{2}{n} \int_{}^{} \sqrt{1+x^n}dx=\\=\left( 1+ \frac{2}{n} \right) \int_{}^{} \sqrt{1+x^n}dx- \frac{2x}{n}\sqrt{1+x^n}}\),
a ponadto mamy niewątpliwie (na mocy nierówności Bernoulliego i monotoniczności całki) \(\displaystyle{ 1 \le\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^n}dx \le 1+ \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^n dx=1+ \frac{1}{2n+2}}\), więc otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 2 n\right)- \frac{2\sqrt{2}}{n} \le \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^n}} \ dx \le \left( 1+\frac 2 n\right)\left( 1+\frac{1}{2n+2}\right)- \frac{2\sqrt{2}}{n}}\)
i z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że szukana granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

[Benny01]

Czy w 15 wszystko jest ok?

[Premislav]

Moim zdaniem nie jest. Wujek wolfram ma podobną opinię:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=i

... x%5E2%2B13)-- 5 lip 2016, o 17:15 --Ale ta moja opinia nie wzięła się znikąd, gdyż wczoraj to liczyłem przez jakąś godzinę i nie wychodziło.

[Benny01]

No ja liczyłem to wczoraj i dziś. Poddałem się i zajrzałem do wolframika i się w sumie nie zdziwiłem

[Premislav]

26.:    

Przypuśćmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sin(x^2)}\) jest okresowa i niech \(\displaystyle{ T>0}\) będzie pewnym jej okresem. Czyli dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistych jest:
\(\displaystyle{ \sin(x^2+2Tx+T^2)=\sin(x^2)}\)
Przenosząc to na jedną stronę i korzystając ze wzoru na różnicę sinusów, dostajemy
\(\displaystyle{ 2\sin\left( \frac{2Tx+T^2}{2} \right)\cos\left( \frac{2x^2+2Tx+T^2}{2} \right)=0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
Oczywiście by iloczyn był zerowy, co najmniej jeden czynnik musi być równy \(\displaystyle{ 0}\).
Zauważmy, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) naturalne, że
\(\displaystyle{ \frac{2T\sqrt{2n\pi+ \frac{\pi}{2} }+T^2}{2}}\) nie jest całkowitą wielokrotnością \(\displaystyle{ \pi}\). Istotnie, mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2T\sqrt{2n\pi+ \frac{5\pi}{2} }+T^2}{2}-\frac{2T\sqrt{2n\pi+ \frac{\pi}{2} }+T^2}{2}\right) =0}\), a dwie całkowite wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\) różnią się co najmniej o \(\displaystyle{ \pi}\).
Tj. dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) naturalnych co najmniej jedna z liczb
\(\displaystyle{ \frac{2T\sqrt{2n\pi+ \frac{\pi}{2} }+T^2}{2},\frac{2T\sqrt{(2n+2)\pi+ \frac{\pi}{2} }+T^2}{2}}\)
nie jest postaci \(\displaystyle{ k\pi}\) dla żadnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Niech zatem
\(\displaystyle{ n_0 \in \NN}\) takie, iż
\(\displaystyle{ \frac{2T\sqrt{2n_0\pi+ \frac{\pi}{2} }+T^2}{2}\neq k\pi}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 2\sin\left( \frac{2Tx+T^2}{2} \right)\cos\left( \frac{2x^2+2Tx+T^2}{2} \right)\neq 0}\)
dla \(\displaystyle{ x_0=\sqrt{2n_0\pi+ \frac{\pi}{2} }}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_0+T)\neq f(x_0).}\)
Sprzeczność. W zasadzie dowód nie wprost jest niepotrzebny, ale już trudno...

[timon92]

26 inaczej:    

odnotujmy, że:
- pochodna okresowej funkcji różniczkowalnej jest okresowa
- okresowa funkcja ciągła jest ograniczona
- \(\displaystyle{ f'(x) = 2x\cos(x^2)}\) jest ciągła i nieograniczona

z powyższych spostrzeżeń wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f}\) nie może być okresowa

[Premislav]

19.:    

\(\displaystyle{ t^2 (y y^{\prime \prime}- (y^{\prime})^2) + tyy^{\prime} = y\sqrt{t^2 (y^{\prime})^2 +y^2 }\\t\left( \frac{y'}{y} \right)'+ \frac{y'}{y}= +/-\frac{1}{t} \sqrt{t^2\left( \frac{y'}{y} \right)^2+1 }}\)
Podstawy \(\displaystyle{ u= \frac{y'}{y}}\), a otrzymamy:
\(\displaystyle{ tu'+u=+/- \frac{ \sqrt{t^2u^2+1} }{t}\\ \frac{(tu)'}{ \sqrt{(tu)^2+1} }=+/- \frac{1}{t}}\)
Znany jest fakt, że \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2} }=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C}\), zatem po scałkowaniu stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ \ln(tu+\sqrt{(tu)^2+1})=+/-\ln|t|+C}\),
czyli \(\displaystyle{ tu+\sqrt{(tu)^2+1}=C_2 t}\), a wracając do starych oznaczeń:
\(\displaystyle{ t \frac{y'}{y}+\sqrt{t^2\left( \frac{y'}{y} \right)^2+1 }=C_2 t}\),
więc po przeniesieniu i podniesieniu do kwadratu stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ t^2\left( \frac{y'}{y} \right)^2-2C_2 t^2 \frac{y'}{y} +(C_2 t)^2=1+ t^2\left( \frac{y'}{y} \right)^2}\),
czyli po skróceniu \(\displaystyle{ 2C_2t^2 y'=[(C_2 t)^2-1]y}\)
i \(\displaystyle{ \ln|y|+C'= \int_{}^{} \frac{(C_2 t)^2-1}{2C_2 t^2}dt}\),

ostatecznie: \(\displaystyle{ y=C_1 \exp\left( \frac{C_2}{2}t+ \frac{1}{2C_2 t} \right)}\)
Poproszę o ładniejszą metodę; nigdy nie byłem dobry z równań różniczkowych, te schematy jakoś od razu zapominam, a myśleć nie potrafię.

[NogaWeza]

Niektóre z nich są tak łatwe, że nawet ja potrafię je zrobić, ale zainteresowało mnie zadanie 20, czy ktoś ma jakiś pomysł? Chętnie zobaczyłbym rozwiązanie. Założyłem \(\displaystyle{ a > 0}\) i udało mi się sprawdzić, że dla parabol postaci \(\displaystyle{ y(x) = ax^2 - 1}\) długość łuku to \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{16a^2 - 14a +3} + \sinh^{-1}{(2 \sqrt{2a - 1})}}{2a} = L(a)}\). Zgodnie z intuicją \(\displaystyle{ \lim_{a \to \infty} L(a) = 4}\), ale funkcja ta jest rosnąca, więc długość na pewno nie przekracza \(\displaystyle{ 4}\). Liczenia było sporo i wspierałem się wolframem, więc nie wstawiam rachunków. Namęczyłem się, ale to był najprostszy przypadek, bo była symetria i od razu wyraz wolny równy \(\displaystyle{ -1}\). W przypadku gdy wierzchołek będzie przesunięty już nie wiem jak to zrobić

Aha, dopiero po napisaniu tego ogarnąłem, że wierzchołek wcale nie musi być we wnętrzu tego okręgu, teraz to już zupełnie nie wiem czego się łapać. Pałkarze do boju!

[Premislav]

24.:    

Ten szereg to inaczej
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{3^{H_n}}}\)
Znany jest dowód, że istnieje granica właściwa \(\displaystyle{ \gamma =\lim_{n\to \infty} \left( H_n -\ln n\right)}\) (w razie potrzeby mogę ten dowód przeprowadzić).
Stosujemy zatem kryterium ilorazowe:
szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{3^{\ln n}}}\) jest zbieżny, bo \(\displaystyle{ 3^{-\ln n}=\left( \frac 1n\right)^{\ln 3}}\), więc i wyjściowy szereg jest zbieżny.

[Slup]

9)

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sin(x)}\). Mamy:
1) \(\displaystyle{ 0\leq f(x)\leq x\leq \frac{\pi}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,\frac{\pi}{2}]}\)
2) \(\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x)}{x}}\) jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ x\in [0,\frac{\pi}{2}]}\)
3) \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=1}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ x\in [0,\frac{\pi}{2}]}\) oraz \(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ 0\leq f^k(x)\leq f^{k-1}(x)\leq...\leq f(x)\leq x\leq \frac{\pi}{2}}\)
Z tego, że \(\displaystyle{ g}\) jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ [0,\frac{\pi}{2}]}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ g(x)\leq g(f(x))\leq ...\leq g(f^k(x))}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ g(x)^k\leq \prod_{i=0}^{k-1}g(f^{i}(x))=\prod_{i=0}^{k-1} \frac{f^{i+1}(x)}{f^{i}(x)}=\frac{f^k(x)}{x}\leq 1}\)
Zauważmy jeszcze, że:
\(\displaystyle{ \cos(x)\leq \frac{\sin(x)}{x}=g(x)}\)
dla \(\displaystyle{ x\in \left[ 0,\frac{\pi}{2}\right] }\). Czyli:
\(\displaystyle{ \cos(x)^k\leq \frac{f^k(x)}{x}\leq 1}\)
W szczególności dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n}}\) i \(\displaystyle{ k=n}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \cos(\frac{1}{n})^n\leq \frac{\underbrace{\sin(...(\sin(\frac{1}{n})...)}_{n}}{\frac{1}{n}}\leq 1}\)
Z rozwinięcia w szereg:
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{2n^2}\leq \cos(\frac{1}{n})}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (1-\frac{1}{2n^2})^n\leq \frac{\underbrace{\sin(...(\sin(\frac{1}{n})...)}_{n}}{\frac{1}{n}}\leq 1}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow +\infty}(1-\frac{1}{2n^2})^n=\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-\frac{1}{2n^2})^{2n^2\cdot \frac{1}{2n}}==\lim_{n\rightarrow +\infty}(\frac{1}{e})^{\frac{1}{2n}}=(\frac{1}{e})^0=1}\)
i z trzech ciągów dostajemy, że poszukiwana granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

-- 7 lip 2016, o 13:38 --10)

Ukryta treść:    

Na nieskończenie wiele zbieżnych szeregów można rozłożyć każdy szereg. Wystarczy wziąć każdy wyraz z osobna jako szereg.
Dla rozbieżnych trzeba użyć metody przekątniowej Cantora. Niech:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty}a_n}\)
będzie rozbieżnym szeregiem o wyrazach dodatnich. Dla dowolnego podzbioru \(\displaystyle{ F\subseteq \mathbb{N}}\) oznaczmy:
\(\displaystyle{ S_F=\sum_{n\in F}a_n}\)
Odcinkiem początkowym zbioru częściowo uporządkowanego \(\displaystyle{ (X,\leq)}\) nazywam zbiór \(\displaystyle{ F}\) taki, że:
\(\displaystyle{ x\in F \Rightarrow \forall_{y\in X,\,y\leq x}\,y\in F}\)
No dobrze. To teraz zaczynamy. Wybieramy skończony odcinek początkowy \(\displaystyle{ F_{11}}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) tak, żeby:
\(\displaystyle{ S_{F_{11}}\geq 1}\)
Następnie wybieramy skończony odcinek poczatkowy \(\displaystyle{ F_{12}}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}\setminus F_{11}}\) oraz skończony odcinek początkowy \(\displaystyle{ F_{22}}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}\setminus (F_{11}\cup F_{12})}\) tak, żeby:
\(\displaystyle{ S_{F_{11}}+S_{F_{12}}\geq 2}\), \(\displaystyle{ S_{F_{22}}\geq 2}\)
Następnie wybieramy skończony odcinek początkowy \(\displaystyle{ F_{13}}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}\setminus (F_{11}\cup F_{12}\cup F_{22})}\), skończony odcinek początkowy \(\displaystyle{ F_{23}}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}\setminus (F_{11}\cup F_{12}\cup F_{13}\cup F_{22})}\) oraz skończony odcinek początkowy \(\displaystyle{ F_{33}}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{N}\setminus (F_{11}\cup F_{12}\cup F_{13}\cup F_{22}\cup F_{23})}\) tak, żeby:
\(\displaystyle{ S_{F_{11}}+S_{F_{12}}+S_{F_{13}}\geq 3}\), \(\displaystyle{ S_{F_{22}}+S_{F_{23}}\geq 3}\), \(\displaystyle{ S_{F_{33}}\geq 3}\)
Mam nadzieję, że procedura jest jasna. W \(\displaystyle{ n}\)-tym kroku mamy wybrane parami rozłączne zbiory:
\(\displaystyle{ F_{11}, F_{12},F_{13},...,F_{1n}}\);
\(\displaystyle{ F_{22}, F_{23},...,F_{2n}}\);
...;
\(\displaystyle{ F_{nn}}\);
takie, że:
\(\displaystyle{ S_{F_{11}}+S_{F_{12}}+S_{F_{13}}+...+S_{F_{1n}}\geq n}\);
\(\displaystyle{ S_{F_{22}}+S_{F_{23}}+...+S_{F_{2n}}\geq n}\)
...
\(\displaystyle{ S_{F_{nn}}\geq n}\)
Wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ F_n=\bigcup_{k\geq n}F_{nk}}\)
Wtedy zbiory:
\(\displaystyle{ F_1,F_2,...,F_n,...}\)
są rozłączne, wyczerpują \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) oraz szeregi:
\(\displaystyle{ S_{F_1}, S_{F_2},..., S_{F_n},...}\)
są rozbieżne.

[Premislav]

6.:    

\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)\\ \frac{\partial f}{\partial x}=x^2y^2(3-4x-3y)\\ \frac{\partial f}{\partial y}=x^3y(2-2x-3y)\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=xy^2(6-12x-6y)\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=x^3(2-2x-6y)\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} =xy(6x-8x^2-9xy)}\)

Układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2y^2(3-4x-3y)=0 \\ x^3y(2-2x-3y)=0\end{cases}}\)
ma następujące rozwiązania: \(\displaystyle{ x=0, y}\) dowolne; \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ x}\) dowolne
oraz rozwiązanie układu równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 3-4x-3y=0 \\ 2-2x-3y=0 \end{cases}}\)

Zajmiemy się najpierw tym ostatnim, bo to najprostsze. To rozwiązanie ostatniego układu równań to \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}, y=\frac 1 3}\). Hesjan \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right)}\) wygląda tak: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{9} &- \frac{1}{12} \\- \frac{1}{12} &- \frac{1}{8} \end{array}\right]}\) - jest on zatem ujemnie określony, toteż funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma lokalne maksimum w punkcie \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, \frac 1 3\right)}\)
- wynosi ono \(\displaystyle{ \frac{1}{432}}\).

Teraz rozpatrzmy przypadek \(\displaystyle{ x=0}\) - na tej prostej nie ma ekstremów lokalnych, gdyż:
- jeżeli \(\displaystyle{ y}\) jest takie, że \(\displaystyle{ 1-y>0}\) i \(\displaystyle{ y\neq 0}\), to dla dostatecznie małych \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) mamy \(\displaystyle{ 1-y-\varepsilon>0}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ 1-y+\varepsilon>0}\), a więc wtedy \(\displaystyle{ f(-\varepsilon, y)<0 \wedge f(\varepsilon, y)>0}\), zaś \(\displaystyle{ f(0,y)=0}\). Analogiczne rozumowanie pokazuje, że gdy \(\displaystyle{ x=0, 1-y<0}\), to nie mamy ekstremów lokalnych (zamieni się jedynie znak \(\displaystyle{ f(-\varepsilon, y)}\) i \(\displaystyle{ f(\varepsilon, y)}\)). A co dla punktów \(\displaystyle{ (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1)}\)? W przypadku tego pierwszego punktu mamy \(\displaystyle{ f(\varepsilon, \varepsilon)>0}\) dla \(\displaystyle{ \varepsilon<\frac 1 2}\) oraz
\(\displaystyle{ f(-\varepsilon, \varepsilon)<0}\), a punkty tej postaci leżą dowolnie blisko \(\displaystyle{ (0,0)}\) - nie ma ekstremum. Podobnie z punktem \(\displaystyle{ (0,1)}\) - mamy \(\displaystyle{ f(0,1)=0, f(\varepsilon,1)<0}\) oraz \(\displaystyle{ f(\varepsilon, 1-2\varepsilon)>0}\)

Pozostaje przypadek \(\displaystyle{ y=0}\) - na tej prostej wszystkie punkty prócz \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (1,0)}\) są punktami, w których przyjmowane jest lokalne ekstremum.
Jeśli bowiem \(\displaystyle{ x<0}\), to w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x,0)}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\)
jest niedodatnia, zaś w \(\displaystyle{ (x,0)}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) - stąd dostajemy lokalne maksimum, równe \(\displaystyle{ 0}\). Podobnież jeżeli \(\displaystyle{ x>1}\) - wówczas w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x,0)}\) mamy \(\displaystyle{ 1-x-y<0}\) oraz \(\displaystyle{ x^3y^2 \ge0}\), więc \(\displaystyle{ f \le 0}\) w tymże otoczeniu i otrzymujemy maksimum lokalne równe \(\displaystyle{ 0}\). Natomiast jeśli
\(\displaystyle{ y_0=0, x_0 \in (0,1)}\), to \(\displaystyle{ x^3y^2 \ge 1 \wedge 1-x-y>0}\), więc podówczas \(\displaystyle{ f(x,y)>0}\) i w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,0)}\) mamy lokalne minimum równe \(\displaystyle{ 0}\).
Pozostaje rozważyć punkt \(\displaystyle{ (1,0)}\) - oczywiście mamy \(\displaystyle{ f(1,0)=0}\), a ponadto dla dowolnego dodatniego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) mamy \(\displaystyle{ f(1, \varepsilon)<0}\), zaś \(\displaystyle{ f(1-2\varepsilon, \varepsilon)>0}\) dla dostatecznie małych \(\displaystyle{ \varepsilon}\), bo
\(\displaystyle{ f(1-2\varepsilon, \varepsilon)=\varepsilon^3(1-2\varepsilon)^3}\)
Podsumowanie:
\(\displaystyle{ f}\) ma maksimum lokalne równe \(\displaystyle{ \frac{1}{432}}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right)}\) oraz przyjmuje maksimum lokalne (niewłaściwe) równe \(\displaystyle{ 0}\)
we wszelkich punktach \(\displaystyle{ (x,0)}\) takich, że \(\displaystyle{ x \in (-\infty, 0) \cup(1,+\infty)}\);
\(\displaystyle{ f}\) przyjmuje minimum lokalne (niewłaściwe) równe \(\displaystyle{ 0}\) we wszystkich punktach postaci \(\displaystyle{ (x,0)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\).

-- 8 lip 2016, o 10:16 --Jakieś obrzydliwie toporne to wyszło.

[mol_ksiazkowy]

Czy w 15 wszystko jest ok?

a czemu nie ...>?!

[miodzio1988]

22.:    

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{e^{x} +e^{-x} }{e^{x} -e^{-x}} = \lim_{x \to \infty } \frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x}} = \lim_{x \to \infty } \frac{e^{x} +e^{-x} }{e^{x} -e^{-x}}}\)
Takie 'zapętlanie' może być?