[Rozgrzewka przed maturą] Zadania różne

[mint18]

Nie znalazłem podobnego tematu więc zakładam. Proszę o rozwiązania głównie licealistów (niekoniecznie maturzystów), chyba, że odpowiedź nie pojawi się po 24h. Polecajcie ten temat znajomym, w grupie nauka jest o wiele ciekawsza Zacznę pierwszy:

1. Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) będą kątami ostrymi takimi, że mamy jednocześnie \(\displaystyle{ 3\sin^2\alpha+2\sin^2\beta=1}\) oraz \(\displaystyle{ 3\sin2\alpha-2\sin2\beta=0}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \alpha+2\beta=90^{\circ}}\).

[Chewbacca97]

To może ja spróbuję:

Ukryta treść:    

Mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ \alpha+2\beta=90^{\circ}}\), czyli \(\displaystyle{ \sin\left( \alpha+2\beta\right) = 1}\).

Zaczniemy od pierwszego założenia:
\(\displaystyle{ 3\sin^2\alpha+2\sin^2\beta=1 \Leftrightarrow 3\sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\beta = \cos2\beta}\)
Podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 9\sin^4\alpha = \cos^{2} 2\beta \Leftrightarrow \sin^{2} 2\beta = 1 - 9\sin^4\alpha}\)

Teraz przekształcimy trochę drugie:
\(\displaystyle{ 3\sin2\alpha-2\sin2\beta=0 \Leftrightarrow 3\sin\alpha \cos\alpha = \sin2\beta}\)
Co po podniesieniu do kwadratu da nam:
\(\displaystyle{ 9\sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2} \alpha = \sin^{2} 2\beta}\)

Korzystając z pierwszego założenia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 9\sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha = 1 - 9\sin^4\alpha \\ 9\sin^{2} \alpha \left( cos^{2}\alpha + \sin^{2} \alpha\right) = 1}\)

A stąd mamy już:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin\alpha = \frac{1}{3} \\ \cos\alpha = \frac{ \sqrt{8} }{3} \end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases} \sin2\beta = \frac{ \sqrt{8} }{3} \\ \cos2\beta = \frac{1}{3} \end{cases}}\)

Podstawiając wyliczone wartości do:
\(\displaystyle{ \sin\left( \alpha+2\beta\right) = \sin\alpha \cos2\beta + \cos\alpha \sin2\beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{ \sqrt{8} }{3} \cdot \frac{ \sqrt{8} }{3} = 1}\)

A to oznacza, że \(\displaystyle{ \alpha+2\beta=90^{\circ}}\). q.e.d.

Jeszcze ciekaw jestem, skąd pochodzi to zadanie? Zadanko ode mnie:

2. Na kuli o promieniu \(\displaystyle{ r}\) opisano wielościan o polu powierzchni \(\displaystyle{ S}\). Oblicz objętość tego wielościanu. Jaki jest warunek rozwiązywalności tego zadania?

[mint18]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}}\) będą oznaczać odpowiednio pola powierzchni ścian tego wielościanu. Odległość środka kuli od każdej z tych ścian jest taka sama, w takim razie \(\displaystyle{ r}\) jest wysokością w każdym z ostrosłupów o polu podstawy \(\displaystyle{ P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}}\).
Objętość wielościanu jest sumą objętości tych ostrosłupów, czyli \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_{1}r + \frac{1}{3}P_{2}r +...+\frac{1}{3}P_{n}r = \frac{1}{3}r(P_{1}+P_{2}+...+P_{n}) = \frac{1}{3}rS}\)

Aby ten wzór miał sens objętość wielościanu powinna być większa od objętości kuli czyli:
\(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi r^3 < \frac{1}{3} rS \Leftrightarrow 4\pi r^2 < S}\)

Sumy pierwszych \(\displaystyle{ 2n}\) i \(\displaystyle{ 3n}\) wyrazów pewnego monotonicznego ciągu geometrycznego wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 13}\). Dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k \ge 1}\) wyznaczyć sumę \(\displaystyle{ kn}\) pierwszych wyrazów tego ciągu.

[marcel0906]

Moje rozwiązanie jest nieco toporne. Może da się bardziej elegancko.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} S _{3n}-S _{2n}=S _{n} \cdot q ^{2n}=9\\S _{2n}=S _{n}+S _{n} \cdot q ^{n}= S _{n}(1+\cdot q ^{n})=4\end{cases}}\)
Z układu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 9(1+ q ^{n})=4q ^{2n}}\)
Po wprowadzeniu zmiennej \(\displaystyle{ t=q ^{n}}\)otrzymuję
\(\displaystyle{ q ^{n}=3 \vee q ^{n}=- \frac{3}{4}}\)
Rozwiązanie ujemne odrzucam ze względu na monotoniczność ciągu
\(\displaystyle{ S _{n}=1}\)
\(\displaystyle{ S _{kn}=S _{(k-1)n}+q ^{(k-1)n}=S _{(k-1)n}+3 ^{(k-1)}}\)
\(\displaystyle{ S _{kn}= \frac{3 ^{k}-1 }{2}}\)
Co wynika ze wzoru na sumę wyrazów w ciągu geometrycznym

Teraz następne (jeśli moje rozwiązanie jest poprawne).
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ \cos x+ \sqrt{3}\sin x =\log m ^{2}}\) ma rozwiązania?

[Chewbacca97]

Moje rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Lewa strona ma się tak:
\(\displaystyle{ \cos x+ \sqrt{3}\sin x = 2\left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x\right) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)}\)

Prawa natomiast:
\(\displaystyle{ \log m ^{2} = 2 \log \left| m\right|}\)
Wydaje mi się, że trudnością tego zadania jest to przejście, ponieważ trzeba pamiętać o dziedzinie funkcji logarytm.

Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \log \left| m\right|}\), przy czym \(\displaystyle{ m \neq 0}\).

Mamy zatem do rozwiązania nierówność:
\(\displaystyle{ -1 \le \log \left| m\right| \le 1}\)

Częścią wspólną rozwiązań jest: \(\displaystyle{ m \in \left[ -10, - \frac{1}{10} \right] \cup \left[ \frac{1}{10} , 10\right]}\)

5. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 62 \\ xy = 14 \end{cases}}\)

[marcel0906]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 62 \\ xy = 14 \end{cases}}\)
Mnożę drugie równanie przez dwa i sumuję oraz wprowadzam zmienną
\(\displaystyle{ x+y=t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} +t-90=0}\)
\(\displaystyle{ t _{1} =9 , t _{2}= -10}\)
Na dwa przypadki
\(\displaystyle{ 1.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=9\\xy=14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=7\\x=2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2\\x=7\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=-10\\xy=14\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-5+ \sqrt{11} \\x=-5- \sqrt{11} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-5- \sqrt{11} \\x=-5+ \sqrt{11} \end{cases}}\)

No to następne.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 2 \cos x=\log y + (\log y) ^{-1}}\)

[Milczek]

Rozwiązanie

Ukryta treść:    

Fajne, lewa strona jest nie mniejsza niż dwa czyli musi zachodzić \(\displaystyle{ 2\cos x = 2 \wedge \log y + (\log y)^{-1}=2}\) stąd mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2k\pi, k \in C \\ y=10 \end{cases}}\)

Nie wiem co się stało wcześniej i dlaczego zniknęło zadanie Premislava, które mnie bardzo zaciekawiło, i wracamy do niego na tyle na ile je zapamiętałem :

Pewien matematyka ma dwie kieszenie. Jest palaczem więc trzyma w nich dwie paczki zapałek w celu podpalania swoich papierosów. Na początku ma \(\displaystyle{ m}\) zapałek w obu paczkach, te są nowe ze sklepu więc i równomiernie rozłożona jest ich ilość zapałek w pudełeczkach.
Pewnego,kolejnego razu znów chce zapalić papierosa! Sięga do kieszeni, chce dobyć zapałkę . I co się okazuje ! ? Paczka jest pusta, zapałek w jednym pudełku nie ma, lecz głowa do góry. W drugim zostało \(\displaystyle{ k}\) zapałek. Oblicz prawdopodobieństwo że w momencie gdy jedno z pudełek z zapałkami zostaje opróżnione , w drugim jest \(\displaystyle{ k}\) zapałek.

Powodzenia, Ps. Premislavie, jak przekręciłem coś istotnego, podratuj nas i nie wahaj się wytknąć moje błędy.

[mol_ksiazkowy]

Fajne, lewa strona jest nie mniejsza niż dwa czyli musi zachodzić

a jeśli \(\displaystyle{ y = \frac{1}{10}}\) ...?

[Premislav]

@Milczek: znowu okazało się, że nie umiem czytać, czy też może czytam wybiórczo.

Proszę o rozwiązania głównie licealistów (niekoniecznie maturzystów), chyba, że odpowiedź nie pojawi się po 24h.

Zauważyłem tę uwagę jakieś dwie godziny po tym, jak wysłałem rozwiązanie i następne zadanie (tak mi się zdaje) - za pierwszym razem zacząłem od czytania zadań. Dlatego też usunąłem, żeby się nie wpychać.
To zadanie to jest klasyk, więc pewnie niektórzy będą znać, niemniej jednak uważam, że całkiem ładny. Treść w zasadzie OK, można (choć to pewnie oczywiste) dopisać, że zarówno do lewej, jak i do prawej kieszeni matematyk-palacz sięga z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). To chyba naturalne założenie, że wybór obu pudełek jest tak samo prawdopodobny, ale pamiętam, że gdy dostałem to zadanie na rachunku prawdopodobieństwa na studiach, to początkowo rozwiązywałem z \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ 1-p}\) (nie taki był zamysł, tylko po prostu źle zinterpretowałem wtedy treść).

[Milczek]

mol_ksiazkowy, Racja , trochę popsułem , mamy nierówność dla \(\displaystyle{ a \in R-\left\{ 0\right\}}\) taką że \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} \ge 2}\) co daje nam też \(\displaystyle{ -a-\frac{1}{a} \le -2}\)
Stąd drugi przypadek że \(\displaystyle{ 2\cos x=-2}\)

Ponadto można też zauważyć że \(\displaystyle{ \log y + (\log y)^{-1}=2}\) gdy \(\displaystyle{ \log y = \frac{1}{\log y}}\) co wynika z nierówności pomiędzy średnimi.

[Premislav]

Ponadto można też zauważyć że \(\displaystyle{ \log y + (\log y)^{-1}=2}\)gdy \(\displaystyle{ \log y = \frac{1}{\log y}}\)

Znowu: to jest prawda gdy \(\displaystyle{ \log y>0}\), dla \(\displaystyle{ \log y=-1}\) masz wartość \(\displaystyle{ -2}\)
Sorry za czepialstwo.

[mint18]

marcel0906, Napisz jeszcze w swoim rozwiązaniu, że drugie równanie pomnożyłeś przez 2 i wszystko zsumowałeś, żeby było kompletne rozwiązanie, a Milczek, po prostu popraw swoją pierwszą odpowiedź. Napisałem, żeby wypowiadali się głównie (...), ale nie ma problemu jak ktoś starszy też tutaj doda coś od siebie

Aby temat nie stał, bo zadanie z zapałkami się trochę schowało, wrzucam rozwiązanie 182163.htm i dodaję nowe:

8. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta oraz odpowiednio kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) leżą naprzeciwko tym bokom, a także \(\displaystyle{ S}\) to pole tego trójkąta, to zachodzi: \(\displaystyle{ \ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma = \frac{a^2+b^2+c^2}{4S}}\)

[Zahion]

Warto byłoby pozwolić każdemu rozwiązywać zadania ( wrzucać je następnie w hide ), to na pewno usprawniłoby poruszanie się w temacie, a ponadto każdy miałby możliwość rozwiązania zadań, nie zwracając uwagi na rozwiązanie poprzednika, ponieważ byłoby ukryte. Na pewno poszerzyłoby to ilość zadań i dałoby lepszy efekt, skróciłaby się ilość czasu czekania na następne zadanie. Natomiast tutaj też trzeba podkreślić, aby zadania poziomem trudności nie wykraczały poza zadania maturalne ( nie poza umiejętności, które powinno się nabyć w trakcie nauki, ponieważ to inne scieżki ). Jak już Premislav szczypie, to ja też - funkcji \(\displaystyle{ \ctg}\) z tego co mi wiadomo nie ma na maturze

[Premislav]

Ukryta treść:    

Z twierdzenia cosinusów mamy co następuje:
\(\displaystyle{ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \alpha \\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \gamma}\)
Sumujemy te trzy równania stronami i przenosimy na jedną stronę kwadraty długości boków, a na drugą wyrażenia z cosinusami, co daje (*)\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2ab\cos \gamma+2bc\cos\alpha+2ac\cos \beta}\)
Ponadto ze znanego wzoru na pole mamy \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2} ab \sin \gamma= \frac{1}{2}bc\sin \alpha=\frac 1 2 ac \sin \beta}\) i w związku z tym oczywiście jest \(\displaystyle{ 2ab\cos \gamma=4\ctg \gamma \cdot S}\) i tak dalej.
Zatem podstawiając te zależności do prawej strony (*) otrzymujemy
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\ctg \gamma+\ctg \beta+\ctg \alpha)}\), dzielimy tę równość stronami przez \(\displaystyle{ 4S}\) i po dowodzie.

[karolex123]

Rozwiązanie 8.

Ukryta treść:    

Liczymy:
\(\displaystyle{ \ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+ \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}=2R\left( \frac{\cos\alpha}{a} + \frac{\cos\beta}{b} + \frac{\cos\gamma}{c} \right)=2R\left( \frac{b ^{2}+c ^{2} -a ^{2} }{2abc}+ \frac{a ^{2}+c ^{2} -b ^{2} }{2abc} + \frac{a ^{2}+b ^{2}-c ^{2} }{2abc} \right)= \frac{R}{abc}\left( a ^{2}+b ^{2}+c ^{2} \right)= \frac{a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}}{ \frac{abc}{R} } = \frac{a ^{2}+b ^{2}+c ^{2}}{4S}}\)
co kończy dowód. W przekształceniach korzystam kolejno z twierdzenia sinusów, twierdzenia Carnota i wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ S= \frac{abc}{4R}}\)

To może ja zaproponuję takie zadanko: Niech dany będzie kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Na boku \(\displaystyle{ AB}\) budujemy trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ ABE}\), przy czym punkt \(\displaystyle{ E}\) oraz punkt \(\displaystyle{ C}\) znajdują się po tej samej prostej \(\displaystyle{ AB}\). Niech teraz punkt \(\displaystyle{ F}\) będzie punktem przecięcia się prostych \(\displaystyle{ CE}\) i \(\displaystyle{ AD}\) oraz niech punkt \(\displaystyle{ G}\) będzie takim punktem leżącym na boku \(\displaystyle{ AB}\), że \(\displaystyle{ \left| DF\right|=\left| BG\right|}\).
a) Uzasadnij, że trójkąt \(\displaystyle{ CFG}\) jest równoboczny.
b) Uzasadnij, że jeśli odcinki \(\displaystyle{ FG}\) i \(\displaystyle{ AE}\) przecinają się w \(\displaystyle{ P}\) oraz odcinki \(\displaystyle{ CG}\) i \(\displaystyle{ BE}\) przecinają się w \(\displaystyle{ Q}\). to trójkąty \(\displaystyle{ APG}\) i \(\displaystyle{ GQB}\) są podobne w skali równej \(\displaystyle{ 2}\).