Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
rozwiązanie "firmowe"
Jest to układ \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+ \sqrt{3}xt+ t^2=25 \\ t^2+z^2=9\\ z^2+zx+x^2=16\end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ t= \frac{y}{\sqrt{3}}}\)
Budujemy trójkąt \(\displaystyle{ FTZ}\) o przyprostokątnych \(\displaystyle{ z, t}\) (\(\displaystyle{ FZ=t}\)) tj. \(\displaystyle{ TZ=3}\). Punkt \(\displaystyle{ X}\) jest taki, że kąt \(\displaystyle{ TFX}\) jest równy \(\displaystyle{ 120^{o}}\) czyli kąt \(\displaystyle{ ZFX}\) to \(\displaystyle{ 150^{o}}\). Ze wzoru cosinusów \(\displaystyle{ XT= 4}\) i \(\displaystyle{ XZ=5}\). Pole trójkąta \(\displaystyle{ TXZ}\) jako suma pól trójkątów \(\displaystyle{ FTZ}\), \(\displaystyle{ FTX}\) i \(\displaystyle{ FXZ}\) jest równe \(\displaystyle{ 6}\), tj. \(\displaystyle{ xy+2yz+ 3xz = 24\sqrt{3}}\)
Niech \(\displaystyle{ A}\) to zbiór takich \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ \frac{x}{n+2-k} {n \choose k-1}}\) jest liczba całkowitą. Dowolna kombinacja liniowa elementów z \(\displaystyle{ A}\) (o współczynnikach całkowitych) jest w A. \(\displaystyle{ a=n+2-k \in A}\) i \(\displaystyle{ b=k-1 \in A}\) gdyż \(\displaystyle{ \frac{k-1}{n+2-k} {n \choose k-1} = {n \choose k-2}}\).
Z teorii równań diofantycznych (liniowych) istnieją \(\displaystyle{ x, y \in Z}\) takie, że \(\displaystyle{ ax+by = NWD(a, b) = NWD(n+1, k-1) \in A}\)
(Jeżeli wszytkie równania są cykliczne to piszę tylko pierwsze).
Układ jest równoważny takiemu \(\displaystyle{ (az-bx) = xz(c-xz)}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ A=az}\) itp, dostajemy \(\displaystyle{ (A-B) = \frac{xyz}{y^2} (C-xyz)}\). Wstawmy sobie jeszcze \(\displaystyle{ P=xyz, U = (A-B), V = (B-C), S=C-xyz}\).
Układ przyjmuje postać \(\displaystyle{ \begin{cases} y^2 U = PS \\ z^2V = P(S+U+V) \\ -x^2(U+V) = P(S+V)\end{cases}}\)
Wyliczamy \(\displaystyle{ P}\) w zależności od pozostałych mnożąc równania. Dostajemy \(\displaystyle{ P = \frac{-UV(U+V)}{S(S+U+V)(S+V)}}\)
Jakby to było w liczbach zespolonych to z grubsza wstawiamy dowolne \(\displaystyle{ S,U,V}\), tak żeby nigdy nie podzielić przez zero, a resztę wyliczamy w zależności od tych.
Jednak my jesteśmy pewnie w liczbach rzeczywistych więc musimy się upewnić, że wyrażenia definiujące \(\displaystyle{ x^2,y^2,z^2}\) są dodatnie. Weźmy te definiujące \(\displaystyle{ y^2,z^2}\). Musi być \(\displaystyle{ 0 \leq PSU \iff V(U+V)(S+U+V)(S+V) \leq 0}\) \(\displaystyle{ 0 \leq P(S+U+V)V \iff U(U+V)S(S+V) \leq 0}\)
To nie może zajść chyba, że coś się zeruje bo jak to zsumujemy to dostajemy \(\displaystyle{ V(U+V)(S+U+V)(S+V)+U(U+V)S(S+V) = (U+V)(S+V)[SV+UV+V^2 + US] = (U+V)^2(S+V)^2}\).
Czyli coś spośród \(\displaystyle{ U,V,U+V,S,S+V,S+U+V}\) się musi zerować (\(\displaystyle{ P \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ x,y,z}\) były w mianowniku).
Powiedzmy nich \(\displaystyle{ U = 0}\) wtedy \(\displaystyle{ S = 0}\). Drugie i trzecie równanie to wtedy \(\displaystyle{ z^2V = PV = -x^2V}\), czyli \(\displaystyle{ V = 0}\).
(inne przypadki podobnie, z resztą tu jest symetria).
Czyli \(\displaystyle{ A = B = C = xyz}\), i w końcu \(\displaystyle{ a = xy, b = yz, c = zx}\).
Medea 2 pisze:Dziesiąte:
Nie, a przykładów jest cała masa. Na przykład dla \(\displaystyle{ a = 3}\) i \(\displaystyle{ b = 1}\) liczba \(\displaystyle{ a^2b-b+1 = 9}\) jest kwadratem, ale nie znajdziemy \(\displaystyle{ c}\), żeby \(\displaystyle{ b^2 c - c + a - 1 = 2}\) też nim (kwadratem) było.
Polemizowałbym:
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ a = 1,\ b = 2,\ c=3\\
\\
a^2b-b+1 = 1\\
b^2c-c+a-1 = 9\\
a^2c-c+b-1 = 1}\)
21
Ukryta treść:
Tylko: \(\displaystyle{ a \in \{-1, 1\}}\) i \(\displaystyle{ b \in \{-1,1\}}\)
10. Niech a i b będą liczbami naturalnymi, takimi ze a^2b - b+1 jest kwadratem liczby całkowitej. Czy z tego wynika że istnieje jakieś c o tej własności iż liczby b^2c - c +a -1 i a^2c - c+b - 1 też są kwadratami liczb całkowitych ?
Nie, jeśli \(\displaystyle{ a = 3}\) oraz \(\displaystyle{ b = 1}\), to \(\displaystyle{ a^2 b - b +1= 9}\) jest kwadratem liczby całkowitej (założenia są spełnione), ale \(\displaystyle{ b^2c-c+a-1 = 2}\) i \(\displaystyle{ a^2c-c+b-1= 8c}\) nie mogą być jednocześnie kwadratami liczb całkowitych (więc z założeń nie wynika ,,teza').
