[MIX] Ostatnie zadania przeróżne

[mol_ksiazkowy]

1. Na przyjęciu u państwa Szaradków jest łącznie 10 osób (tj. cztery małżeństwa i państwo Szaradkowie).
Goście witają się ze sobą, przy czym małżonkowie nie. W pewnej chwili gospodarz przerywa powitania i prosi każdą osobę, oprócz siebie, o napisanie na karteczce liczby osób z którymi się ta osoba przywitała. Kiedy karteczki zostały zebrane okazało się, że na każdej z nich jest inna liczba. Z iloma gośćmi przywitała się pani Szaradkowa ?
2. Dla jakich liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) liczby \(\displaystyle{ p^2+ q^3}\) oraz \(\displaystyle{ p^3+ q^2}\) są kwadratami liczb całkowitych ?
3. Czy istnieje \(\displaystyle{ n>1}\) oraz podzbiór płaszczyzny, którego rzut na dowolną prostą jest zbiorem \(\displaystyle{ n}\) elementowym ?
4. Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb \(\displaystyle{ n}\) takich, że największy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ n^4+n^2+1}\) i \(\displaystyle{ (n+1)^4+ (n+1)^2+ 1}\) jest ten sam.
5. Rozłożyć na iloczyn wyrażenie \(\displaystyle{ -x^5y + x^4 - 2x^2y + xy^3 + x - y^2}\)
6. Czy istnieje nieograniczona funkcja \(\displaystyle{ f: Z \mapsto Z}\) że \(\displaystyle{ f(f(x) - y)=f(y) - f(f(x))}\) gdy \(\displaystyle{ x, y \in Z}\) ?
7. Obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}}\)
8. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^3 = 9(y^2 -3y+3) \\ y^3 = 9(z^2 -3z+3) \\ z^3 =9(x^2 -3x+3) \end{cases}}\)
9. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{...+\sqrt{2n-1}}}}< 2}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3, …}\)
10. Niech \(\displaystyle{ k}\) to ilość dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ k^2 <4n}\)

11. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n > 1}\) taka, że jej kolejne
i) potęgi tj. \(\displaystyle{ n, n^2, n^3, ...}\)
ii) wielokrotności tj. \(\displaystyle{ n, 2n, 3n, ...}\)
iii) następniki tj. \(\displaystyle{ n, n+1, n+2, ….}\)
ułożone po przecinku są liczbą wymierną ?
Uwagi: Każdy podpunkt jest osobnym zadaniem
12. Jak czworokąt wklęsły podzielić na trzy części o równych polach ?
13. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+ \lfloor y \rfloor + \{z \}=1,1 \\ \lfloor x \rfloor +\{y \}+z=2,2 \\ \{x \}+y +\lfloor z \rfloor=3,3 \end{cases}}\)
14. Mając dane \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) oraz \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 = x^5+y^5+z^5}\) obliczyć \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\)
15. Niech \(\displaystyle{ W}\) będzie wielomianem stopnia większego od 2, który ma co najmniej trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ P(x)= W^{\prime \prime}(x) +W^{\prime}(x)^2}\) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty
M
16. Siedem punktów jest w kole jednostkowym i odległość między dowolnymi dwoma z nich jest nie większa niż \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że jednym z tych punktów jest środek koła.
17. Wyznaczyć wielomian \(\displaystyle{ W \in Z[x]}\) stopnia trzeciego o niezerowych współczynnikach, którego pierwiastek jest przybliżeniem liczby \(\displaystyle{ e}\)
Uwagi: Im lepsze przybliżenie tym lepsze rozwiązanie
18. Wyznaczyć w grafie Petersena drogę długości dziewięć
19. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x}= \sqrt{a-x} + \sqrt{b-x} + \sqrt{c-x}}\)
20. Czy na szachownicę \(\displaystyle{ 10 \times 10}\) można nałożyć kostki domino \(\displaystyle{ 2 \times 1}\) tak, aby połowa z nich była ułożona poziomo a połowa pionowo ?

21. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi to \(\displaystyle{ \frac{2a^2-1}{b^2+2 }}\) nie jest liczbą całkowitą
22. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ |z+1| \leq 1}\) i \(\displaystyle{ |z^2+1| \leq 1}\) to \(\displaystyle{ |z| \leq 1}\)
23. W kwadracie o boku długości \(\displaystyle{ 2}\) jest sześć punktów. Udowodnić, że istnieją wśród nich takie trzy, że suma odległości między nimi jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\)
24. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ p(p-1) = 2(n^3+1)}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalna, a \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą
25. Niech dany będzie ciąg \(\displaystyle{ a_1=3}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=3 - \frac{1}{a_n}}\) i niech ciąg \(\displaystyle{ b_n = \frac{1}{a_1…a_n} (\frac{3+ \sqrt{5}}{2})^n}\). Udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest zbieżny i obliczyć jego granicę.
M
26. Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\) w trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\), a \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) są spodkami wysokości z wierzchołków \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Prosta do której należy punkt \(\displaystyle{ M}\) i która jest prostopadła do \(\displaystyle{ DE}\) przecina prostą \(\displaystyle{ AD}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A, M, K, E}\) są na jednym okręgu
27. Udowodnić, że jeśli liczby dodatnie spełniają:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \geq x \geq y \geq z \\ a^2+ b^2 \geq x^2+y^2 \\ a^3+ b^3+ c^3 \geq x^3+y^3 + z^3 \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ a^6+ b^6 +c^6 \geq x^6 + y^6 + z^6}\)
28. Trzy półproste o wspólnym końcu \(\displaystyle{ P}\) z których każde dwie tworzą kąt prosty, poruszają się w przestrzeni w ten sposób, że są stale styczne do elipsoidy. Znaleźć zbiór, jaki tworzą punkty \(\displaystyle{ P}\)
M
29. Majac dane
\(\displaystyle{ \begin{cases}ax+by=3 \\ a x^2 + b y^2 = 7 \\ ax^3 + by^3 = 16 \\ ax^4 + by^4 = 42\end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ ax^5 + by^5}\)
30. Rozwiązać problem komiwojażera dla układu
\(\displaystyle{ \begin{cases}A_1A_2 = 120 \\ A_1A_3 = 140 \\ A_1A_4 = 180 \\ A_2A_3 = 70 \\ A_2A_4 = 100 \\ A_3A_4 = 110 \end{cases}}\)
Komiwojażer mieszka w mieście \(\displaystyle{ A_1}\) i ma odwiedzić miasta \(\displaystyle{ A_2, A_3, A_4}\). Znaleźć najkrótszą trasę z \(\displaystyle{ A_1}\) przez pozostałe trzy miasta z powrotem do \(\displaystyle{ A_1}\)
Ore

[dec1]

W 13. zadaniu notacja \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) oznacza zaokrąglenie w górę czy część ułamkową?

Edit: W treści 2. też chyba wkradł się błąd.

[Premislav]

22.:    

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \left| z\right|>1}\). Wówczas \(\displaystyle{ 1 \ge |z+1|^{2}=|z^{2}+2z+1| \ge 2\left| z\right|-\left|- z^{2}-1\right|=2\left|z\right|-\left| z^{2}+1\right|>1}\), sprzeczność, c.k.d.

[Pinionrzek]

21.

Ukryta treść:    

Załóżmy, że takie liczby istnieją. Wtedy \(\displaystyle{ (2a)^2 \equiv 2 \pmod {b^2+2}}\). Implikuje to na mocy prawa wzajemności reszt kwadratowch, że \(\displaystyle{ (\frac{2}{p})=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) dowolnym dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ b^2+2}\). Ta zależność zachodzi jedynie gdy \(\displaystyle{ p \equiv 1, 7 \pmod 8}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ b}\) musi być liczbą nieparzystą, w przeciwnym razie nasze wyrażenie nie byłoby całkowite, zatem \(\displaystyle{ b^2 + 2 \equiv 3 \pmod 8}\). Oznacza to, że istnieje co najmniej jedna taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ q}\) dzieląca \(\displaystyle{ b^2+2}\), że \(\displaystyle{ q \equiv \pm 3 \pmod 8}\), co stoi w sprzeczności z poczynionymi wcześniej obserwacjami.

[dec1]

29.

Ukryta treść:    

Skoro \(\displaystyle{ ax^2+by^2=7}\), to \(\displaystyle{ (ax^2+by^2)(x+y)=7(x+y)}\), a więc \(\displaystyle{ ax^3+by^3+xy(ax^2+by^2)=7(x+y)}\), czyli \(\displaystyle{ 16+3xy=7(x+y)}\)

Skoro \(\displaystyle{ ax^3+by^3=16}\), to \(\displaystyle{ (ax^3+by^3)(x+y)=16(x+y)}\), a więc \(\displaystyle{ ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=16(x+y)}\), czyli \(\displaystyle{ 42+7xy=16(x+y)}\).

Rozwiązujemy te dwa równania i otrzymujemy \(\displaystyle{ xy=38}\) oraz \(\displaystyle{ x+y=-14}\).

Skoro \(\displaystyle{ ax^4+by^4=42}\), to \(\displaystyle{ (ax^4+by^4)(x+y)=42(x+y)}\), czyli \(\displaystyle{ ax^5+by^5+xy(ax^3+by^3)=42(x+y)}\), co oznacza, że:
\(\displaystyle{ ax^5+by^5=42(x+y)-16xy=20}\)

[Premislav]

25.:    

łatwo widać, że \(\displaystyle{ a_{n}a_{n+1}=3a_{n}-1}\), stąd dostajemy rekurencję na iloczyn \(\displaystyle{ a_{1}...a_{n}}\) o następującej postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Pi_{1}=3 \\ \Pi_{2}=8\\\Pi_{n+1}=3\Pi_{n}-\Pi_{n-1} \end{cases}}\)
Jej rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \Pi_{n}=a\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{n} +b\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^{n}}\) - np. nawalamy równanie charakterystyczne. Rozwiązując układ równań liniowych, dostajemy bodajże \(\displaystyle{ a= \frac{14+6\sqrt{5}}{6+6\sqrt{5}} , b= \frac{14-6\sqrt{5}}{10-6\sqrt{5}}}\), dalej dzielimy, używamy podstawowych twierdzeń arytmetyki granic i widzimy, że wynikiem jest \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\)
EDIT: wolfram powiedział mi, że jednak \(\displaystyle{ a= \frac{3+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} , b= \frac{7\sqrt{5}-15}{5(\sqrt{5}-3)}}\), więc granica jest równa \(\displaystyle{ \frac{6\sqrt{5}-10}{4}}\), nic nie poradzę, że nie umiem mnożyć i dodawać.
Może ktoś ma ładniejsze podejście?

[Pinionrzek]

26.

Ukryta treść:    

Punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ D, \ E}\) leżą na jednym okręgu o środku w \(\displaystyle{ M}\), więc \(\displaystyle{ M}\) znajduje się na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ EF}\), skąd mamy \(\displaystyle{ EK=DK}\). Niech \(\displaystyle{ L=MK \cap EF}\). \(\displaystyle{ \angle LKE= \frac{\pi}{2}- \angle KED= \frac{\pi}{2}- \angle EDK= \frac{\pi}{2}-\angle EBA=\angle ABC}\), czyli mamy tezę.

[Premislav]

14.:    

mamy \(\displaystyle{ x^{5}+y^{5}+z^{5}=(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x^3 y^2-x^3 z^2 -y^3 x^2 - y^3 z^2-z^3 x^2-z^3 y^2}\)
Skoro \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz}\) (znane, wystarczy rozłożyć \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz}\) na czynniki), zatem z założeń mamy \(\displaystyle{ x^{5}+y^{5}+z^{5}=x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz}\), a ponadto z \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ x+y=-z}\) etc.
czyli mamy \(\displaystyle{ 3xyz=3xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})+x^{2}y^{2}z+x^{2}z^{2}y+y^{2}z^2 x}\), a równoważnie \(\displaystyle{ 3xyz=3xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})+ \frac{1}{2} xyz( (x+y+z)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})}\), korzystając znowu z \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) i przenosząc na jedną stronę mamy \(\displaystyle{ xyz\left(3- \frac{5}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \right)=0}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ xyz\neq 0}\), to \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}= \frac{6}{5}}\), a w przeciwnym razie b.s.o. \(\displaystyle{ z=0}\) i mamy warunki \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}=x^{5}+y^{5} \wedge x+y=0}\), a do znalezienia wartość \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\). Kładziemy \(\displaystyle{ x=-y}\) i dochodzimy do wniosku, że nie mamy jak wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2x^{2}}\), np. dla \(\displaystyle{ x=1, y=-1}\) to jest 2, a dla \(\displaystyle{ x=2, y=-2}\)dostajemy \(\displaystyle{ 8}\)

[Pinionrzek]

4.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ P(k)}\) oznacza największy dzielnik pierwszy liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\). Musimy pokazać, że \(\displaystyle{ P(n^4+n^2+1)=P((n+1)^4+(n+1)^2+1)}\) dla nieskończenie wielu liczb całkowitych dodatnich. Niech \(\displaystyle{ f(n)=n^2+n+1}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ n^4+n^2+1=(n^2+n+1)((n-1)^2+(n-1)+1)}\), zatem \(\displaystyle{ f(n^2)=f(n)\cdot f(n-1), \ f((n+1)^2)=f(n+1)\cdot f(n)}\). Mamy stąd: \(\displaystyle{ P(f(n^2))=max(P(f(n)), P(f(n-1))}\) oraz \(\displaystyle{ P((f((n+1)^2))=max(P(f(n+1), P(f(n))}\). Wystarczy teraz, że udowodnimy, że dla nieskończeniu wielu liczb całkowitych dodatnich zachodzi: \(\displaystyle{ P(f(n)) \ge P(f(n-1)), \ P(f(n+1))}\). Załóżmy przeciwnie i niech \(\displaystyle{ m}\) będzie największą z liczb spełniających ten warunek. Wiemy, że \(\displaystyle{ P(f(m^2))=P(f(m)), \ P(f((m+1)^2))=P(f(m+1))}\). Niech \(\displaystyle{ S_1=\left\{ m+1, \ m+2, \ ... \ m^2-1 \right\}, \ S_2=\left\{ m^2+1, \ m^2+2, \ ..., \ (m+1)^2-1 \right\}}\). Jeżeli teraz istnieje takie \(\displaystyle{ k \in S_1}\), że \(\displaystyle{ P(f(k))>P(f(m))}\), to wybieramy takie \(\displaystyle{ k}\), by \(\displaystyle{ P(f(k))}\) było największe i wtedy oczywiście \(\displaystyle{ P(f(k)) \ge P(f(k-1)), \ P(f(k+1))}\), co jest sprzecznością. Analogicznie rozumujemy w przypadku \(\displaystyle{ S_2}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ P(f(m^2)) \ge P(f(m^2-1)), \ P(f(m^2+1))}\), czyli także otrzymujemy sprzeczność.

[dec1]

5.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ =-x^5y+x^4-2x^2y+xy^3+x-y^2\\
=-(x^5y-x^4+2x^2y-xy^3-x+y^2)\\
=-(x^5y-x^4+x^2y+x^2y-xy^3+(x^3y^2-x^3y^2)-x+y^2)\\
=-(x^5y+x^3y^2+x^2y-x^4-(-x^2y)-x-x^3y^2-xy^3+y^2)\\
=-x^2y(x^3-xy+1)-x(x^3-xy+1)+y^2(x^3-xy+1)\\
=-(x^2y-x+y^2)(x^3-xy+1)}\)

[Premislav]

10. trochę brzydko:    

Oczywiście dla \(\displaystyle{ n=1}\) działa, dalej nie rozważajmy tego przypadku. Zachodzą następujące nierówności dla \(\displaystyle{ x \in \NN}\):
1) \(\displaystyle{ (1+x)^{2}<2^{x+\frac 3 2}}\)
2) \(\displaystyle{ (1+x)^{2}<\sqrt{2} \cdot 3^{x}}\)
3) \(\displaystyle{ (1+x)^{2}<r^{x}}\) dla \(\displaystyle{ r \ge 4}\)
Oczywiście dowód ostatniego wystarczy przeprowadzić dla \(\displaystyle{ r=4}\). Ogólnie wszystkie trzy to brzydka indukcja po \(\displaystyle{ x}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ n=p_{1}^{a_{1}}\cdot...\cdotp_{m}^{a_{m}}}\), gdzie \(\displaystyle{ p_{i}}\) są parami różnymi liczbami pierwszymi, dajmy na to, że uporządkowanymi rosnąco, zaś \(\displaystyle{ a_{i}}\) wykładnikami całkowitymi dodatnimi, to \(\displaystyle{ k^{2}= \prod_{i=1}^{m} (1+a_{i})^{2}}\)
Zatem mnożąc stronami nierówność 1) dla \(\displaystyle{ x=a_{1}}\), nierówność 2) dla \(\displaystyle{ x=a_{2}}\) oraz nierówności powstałe z 3) dla \(\displaystyle{ p_{3}=5, p_{4}}\) etc. (jeśli występują z dodatnim wykładnikiem), otrzymujemy \(\displaystyle{ k^{2}<4 p_{1}^{a_{1}}...p_{m}^{a_{m}}=4n}\),c.b.d.o.

-- 2 kwi 2016, o 02:48 --

6. - nie jestem pewien poprawności:    

podstawiając \(\displaystyle{ y=f(x)}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Korzystając z tego i wstawiając do równania \(\displaystyle{ x:=x, y:=0}\), dostajemy \(\displaystyle{ f(f(x))=-f(f(x))}\), tj. \(\displaystyle{ f(f(x))\equiv 0}\). A zatem równanie sprowadza się do \(\displaystyle{ f(f(x)-y)=f(y)}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\), dostajemy wniosek, że \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta, stąd \(\displaystyle{ f(y-f(x))=f(y)}\). \(\displaystyle{ f}\) nie może przyjmować wartości nieskończonej. Niech więc \(\displaystyle{ k_{0} \in \ZZ \in rng(f) \wedge k_{0} \neq 0}\) (jeśli takiego nie ma, to \(\displaystyle{ f}\) jako stale równa zero jest ograniczona), wtedy \(\displaystyle{ f(y-k_{0})=f(y)}\) dla każdego \(\displaystyle{ y\in \ZZ}\). Wobec tego \(\displaystyle{ rng(f)}\) nie może mieć więcej niż \(\displaystyle{ \left| k_{0}\right|}\) elementów, a zatem \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona, czyli odpowiedzią jest NIE.

[kerajs]

Słowo ,,ostatnie' w nagłówku tematu brzmi dość złowróżbnie. Mam (lub mamy) się martwić?

Ad 16
Przypuszczam że tu także chochlik namieszał

Ukryta treść:    

,,Siedem punktów jest w kole jednostkowym i odległość między dowolnymi dwoma z nich jest nie większa niż 1. Udowodnić, że jednym z tych punktów jest środek koła.''
Kontrprzykład:
Dowolne 7 punktów z wnętrza trójkąta równobocznego o boku 1 i wierzchołku w środku okręgu spełnia warunki , a nie potwierdza tezy.

Ale gdy:
,,Siedem punktów jest w kole jednostkowym i odległość między dowolnymi dwoma z nich jest nie MNIEJSZA niż 1. Udowodnić, że jednym z tych punktów jest środek koła.''
to wtedy tylko układ 6 wierzchołków sześciokąta foremnego o boku 1 leżących na okręgu i środek okręgu spełnia warunki zadania i potwierdza tezę

Ad 3

W 13. zadaniu notacja \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) oznacza zaokrąglenie w górę czy część ułamkową?.

Dla sufitu układ jest sprzeczny, ale dla mantys jest rozwiązanie

Ukryta treść:    

ale tylko jedno :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0,1 \\ y=1,2 \\ z=2,0 \end{cases}}\)

[Premislav]

8.:    

dodając równania stronami i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymujemy
\(\displaystyle{ (x-3)^{3}+(y-3)^{3}+(z-3)^{3}=0}\) (*)
Ponadto
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^3 = 9(y^2 -3y+3) \\ y^3 = 9(z^2 -3z+3) \\ z^3 =9(x^2 -3x+3) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x^3 = 9\left( y- \frac{3}{2} \right)^{2}+ \frac{27}{4} \\y^3 = 9\left( z- \frac{3}{2} \right)^{2}+ \frac{27}{4} \\z^3 = 9\left( x- \frac{3}{2} \right)^{2}+ \frac{27}{4}\end{cases}}\)
Stąd oczywiście \(\displaystyle{ x,y,z}\) są ściśle dodatnie. Dalej próbowałem użyć nierówności Schwarza, ale mi nie wyszło, życie ludzkie nie ma sensu i nie ma wartości. Może tak:
załóżmy, że \(\displaystyle{ z<3}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ z^{3}<27}\). Z trzeciego równania otrzymujemy wówczas \(\displaystyle{ 9(x^{2}-3x+3)<27}\), a zatem \(\displaystyle{ x^{2}-3x<0}\), ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ x>0}\), to stąd wynika \(\displaystyle{ x<3}\), a wstawiając to do pierwszego równania, uzyskujemy analogicznie, że \(\displaystyle{ y<3}\). Zatem \(\displaystyle{ (y-3)^{3}<0 \wedge (z-3)^{3}<0 \wedge (x-3)^{3}<0}\), co po zsumowaniu przeczy (*). Zatem zadna z x,y,z nie może by mniejsza od \(\displaystyle{ 3}\), ale gdyby któraś była większa, to mielibyśmy \(\displaystyle{ (x-3)^{3}+(y-3)^{3}+(z-3)^{3}>0}\), co sprzeczne z (*), zatem \(\displaystyle{ x=y=z=3}\). Wstawiając, widzimy, że trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)=(3,3,3)}\) spełnia układ równań.

-- 3 kwi 2016, o 02:13 --Nie umiem zrobić zadania 23. Pewnie Dirichlet, ale nie widzę, jak go przyłożyć.

[Vax]

15:    

Skoro \(\displaystyle{ W(x)}\) ma co najmniej 3 różne pierwiastki rzeczywiste, to również co najmniej 3 różne pierwiastki ma \(\displaystyle{ f(x) = e^{W(x)}-1}\), skąd \(\displaystyle{ f''(x)}\) ma co najmniej jeden pierwiastek, ale \(\displaystyle{ f''(x) = e^{W(x)}(W'(x)^2 + W''(x))}\), skąd dla pewnego \(\displaystyle{ x_0}\) mamy \(\displaystyle{ W'(x_0)^2 + W''(x_0) = 0}\)

[TomciO]

Czy zadanie 23 na pewno jest dobrze?

Ukryta treść:    

Prawdopodobnie popełniam jakiś błąd, ale nie widzę trójki punktów, która spełniałaby żądany warunek kiedy wierzchołkami kwadratu są \(\displaystyle{ (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)}\), a te \(\displaystyle{ 6}\) punktów to wierzchołki oraz punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ \left ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ), \left ( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)}\). Ale pewnie coś źle policzyłem.

EDIT: timon92 zwrócił mi uwagę, że dla takich punktów mamy akurat równość na przekątnej. Ale kontrprzykład będzie zdaje się dobry jak weźmie się \(\displaystyle{ \left ( \frac{1}{2} - \varepsilon, \frac{1}{2} - \varepsilon \right ), \left ( \frac{3}{2} + \varepsilon, \frac{3}{2} + \varepsilon \right)}\) dla bardzo małego \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Gdyby punkty miały leżeć ściśle wewnątrz kwadratu, to też nie ma żadnego problemu - wystarczy podobnie delikatnie zaburzyć wierzchołki.