[MIX] Zadania przeróżne
: 22 sty 2016, o 12:46
1. Niech \(\displaystyle{ X = \{ 1, ..., n \}}\) będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz \(\displaystyle{ P( \{ j \} ) = \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., n}\). Wyznaczyć możliwie największe \(\displaystyle{ i}\) takie, że istnieją niezależne zdarzenia losowe \(\displaystyle{ A_1, ..., A_i}\) takie, że \(\displaystyle{ 0< P(A_j) <1}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., i}\)
M
2. Niech \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\) będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że ilość funkcji \(\displaystyle{ f: \{1, ..., n \} \mapsto \{-p, ..., p \}}\) o własności \(\displaystyle{ |f(i) - f(j)| \leq p}\) gdy \(\displaystyle{ i, j \in \{1, ..., n \}}\) jest równa \(\displaystyle{ (p+1)^{n+1} - p^{n+1}}\)
3. Na zwykłej szachownicy ustawiono 15 pionków, tak że w każdej kolumnie i w każdym wierszu jest co najmniej jeden pion. Udowodnić, że można usunąć jeden pion i sytuacja będzie jak poprzednio
4. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: R_{+} \mapsto R}\) dla których
\(\displaystyle{ f (x+ \frac{1}{x}) + f (y+ \frac{1}{y}) = f (x+ \frac{1}{y}) + f (y+ \frac{1}{x})}\) o ile \(\displaystyle{ x, y \in R_{+}}\)
5. Dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \delta}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, ..., 9 \}}\) wypisane są sumy trójek kolejnych jej elementów (jest ich osiem), zaś \(\displaystyle{ M(\delta)}\) jest największą z nich (np. dla permutacji \(\displaystyle{ \delta = (4, 6, 2, 9, 0, 1, 8, 5, 7, 3)}\) będą to \(\displaystyle{ 12, 17, 11, 10, 9, 14, 20, 15}\) tj. \(\displaystyle{ M(\delta) = 20}\))
i) Wyznaczyć \(\displaystyle{ \delta_1}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_1) = 13}\)
ii) Czy istnieje \(\displaystyle{ \delta_2}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_2) = 12}\)
?
6. Czy istnieją takie liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz liczba pierwsza \(\displaystyle{ p >2}\), że \(\displaystyle{ a+b}\) jest liczbą pierwszą i jednocześnie \(\displaystyle{ a^p + b^p}\) jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku całkowitym większym od 2 ?
M
7. Jaka jest najmniejsza ilość jednakowych monet, które można tak ustawić na stole, aby najwyżej położona wystawała całkowicie poza krawędź stołu ?
M
8. Ile jest nieizomorficznych grafów spójnych o sześciu wierzchołkach ?
9. Niech \(\displaystyle{ DE}\) będzie cięciwą okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) równoległą do boku \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ AD = BE}\) to \(\displaystyle{ AC = BC}\)
10. Ile jest kwadratów liczb całkowitych wśród liczb \(\displaystyle{ 11n + 10^{10}}\) dla \(\displaystyle{ n=1, ... , 10^{10}}\) ?
11. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \{a \} + \lfloor b \rfloor + \{c \} = 2,9\{b \} + \lfloor c \rfloor + \{a \} = 5,3\{c \} + \lfloor a \rfloor + \{b \} = 4}\)
12. Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) ma tę własność, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ q>0}\) istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ p}\) taka, że
\(\displaystyle{ |x- \frac{p}{q}| < \frac{1}{3q}}\)
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest całkowitą.
13. Każda z \(\displaystyle{ 2n}\) osób na spotkaniu ma wśród tych osób co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) wrogów. Czy można ustawić wszystkich przy okrągłym stole tak, by nikt nie siedział obok swego wroga ?
14. Wyznaczyć wszystkie funkcje f takie, że \(\displaystyle{ f(x+ f(y+z)) + f(f(x+y)+z) = 2y}\) dla \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\)
15. Dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ b_1, ..., b_n}\) niech
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1 = \frac{b_1}{b_1+...+b_n} \\ a_k =\frac{b_1+...+ b_k}{b_1+...+b_{k-1}} , \ \ k>1 \end{cases}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a_1+...+a_n \leq \frac{1}{a_1}+ ....+ \frac{1}{a_n}}\)
16. W grupie \(\displaystyle{ (R \backslash \{0 \}) \times R \times R)}\) z działaniem \(\displaystyle{ (a_1, a_2, a_3)(b_1, b_2, b_3)= (a_1b_1, a_2b_1^2 + a_1b_2, a_3b_1^3 + 3a_2b_1b_2+ a_1b_3 )}\) znaleźć - o ile istnieją - elementy rzędu 2
17. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną to \(\displaystyle{ n2^k - 7}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla jakiejś liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
18. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{x^3+y^3} =\frac{3}{7}}\)
19. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+1 = 2x^2 \\ p^2-1 = 2y^2 \end{cases}}\)
w którym \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi; \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą
20. Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ n^2}\) różnych liczb w tablicy kwadratowej tak by \(\displaystyle{ max_{j} min_{i} \ a_{i j}= min_{i} max_{j} \ a_{i j}}\) ?
21. Wyznaczyć zależność rekurencyjną ciągu \(\displaystyle{ G_n = \frac{1}{1+F_n}}\) gdzie \(\displaystyle{ F_n}\) jest ciągiem Fibonacciego
W szczególności: czy może być w formie \(\displaystyle{ G_n = f (G_{n-1})}\)
22. Graf G ma 30 wierzchołków, 105 krawędzi i 4822 par (nieuporządkowanych) nie mających wspólnego wierzchołka (tj. niepołączonych). Wyznaczyć maksymalną różnicę stopni dwóch wierzchołków w tym grafie.
23. Dla jakich \(\displaystyle{ f: Q_{+} \mapsto Z}\) są spełnione równania
(*) \(\displaystyle{ f (\frac{1}{x})= f(x)}\)
(**) \(\displaystyle{ (x+1)f (x-1) = xf(x)}\)
gdy \(\displaystyle{ x >1}\)
24. Obliczyć \(\displaystyle{ fedcba}\) o ile
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c+ d+e = 20 \\a+b+c+d+ f = 19\\ a+b+c+e+f=18 \\ a+b+d+e+f=17 \\ a+c+d+e+f=16 \\ b+c+d+e+f=15 \end{cases}}\)
25. Udowodnić, że na sferze jednostkowej istnieje 1600 punktów takich, że każdy punkt tej sfery jest odległy o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) od któregoś z nich
26. W zbiorze \(\displaystyle{ C \times C}\) jest określone mnożenie \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (w_1, w_2)= z_1 \overline{w_1} + z_2\overline{w_2}}\), zaś element tego zbioru \(\displaystyle{ z=(z_1, z_2)}\) nazywa się jednostkowym gdy \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (z_1, z_2)= 1}\). Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest taki, że wszystkie jego elementy są jednostkowe oraz \(\displaystyle{ |z \cdot w|}\) ma tę samą wartość, o ile \(\displaystyle{ z, w \in X}\) oraz \(\displaystyle{ z \neq w}\). Ile maksymalnie elementów może mieć zbiór \(\displaystyle{ X}\) ?
27. Czy można przypisać osiem etykiet wierzchołkom sześcianu tak by wszystkie sumy odpowiadające jego krawędziom były różne ?
28. Liczby naturalne nazywa się „niemal równe” jeśli po usunięciu z ich dziesiętnego zapisu wszystkich zer są równe (np. \(\displaystyle{ 5809 \approx 50089}\)). Można rozszerzyć tę relację według reguły:
\(\displaystyle{ a \approx b}\) jesli \(\displaystyle{ ac \approx bc}\) dla jakiejś liczby \(\displaystyle{ c}\) (np. \(\displaystyle{ 2 \approx 17}\) gdyż \(\displaystyle{ 2 \cdot 6 =12 \approx 102 = 17 \cdot 6}\) itd.)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą naturalną to istnieje \(\displaystyle{ b}\) takie, że \(\displaystyle{ ab \approx 1}\)
29. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą a \(\displaystyle{ W}\) wielomianem niezerowym stopnia mniejszego od \(\displaystyle{ p}\) o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m}\) wartość \(\displaystyle{ W(m)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\) (tj. jego wszystkie współczynniki są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\)).
30. Grają w szachy:
Betty gra z Eddym
Alice gra z mężem Klary
Freddy gra z żoną Georgea
Doris gra z mężem Alice
George gra z żoną Eddiego
Kto jest żoną Jacka ?
M
2. Niech \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\) będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że ilość funkcji \(\displaystyle{ f: \{1, ..., n \} \mapsto \{-p, ..., p \}}\) o własności \(\displaystyle{ |f(i) - f(j)| \leq p}\) gdy \(\displaystyle{ i, j \in \{1, ..., n \}}\) jest równa \(\displaystyle{ (p+1)^{n+1} - p^{n+1}}\)
3. Na zwykłej szachownicy ustawiono 15 pionków, tak że w każdej kolumnie i w każdym wierszu jest co najmniej jeden pion. Udowodnić, że można usunąć jeden pion i sytuacja będzie jak poprzednio
4. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: R_{+} \mapsto R}\) dla których
\(\displaystyle{ f (x+ \frac{1}{x}) + f (y+ \frac{1}{y}) = f (x+ \frac{1}{y}) + f (y+ \frac{1}{x})}\) o ile \(\displaystyle{ x, y \in R_{+}}\)
5. Dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \delta}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, ..., 9 \}}\) wypisane są sumy trójek kolejnych jej elementów (jest ich osiem), zaś \(\displaystyle{ M(\delta)}\) jest największą z nich (np. dla permutacji \(\displaystyle{ \delta = (4, 6, 2, 9, 0, 1, 8, 5, 7, 3)}\) będą to \(\displaystyle{ 12, 17, 11, 10, 9, 14, 20, 15}\) tj. \(\displaystyle{ M(\delta) = 20}\))
i) Wyznaczyć \(\displaystyle{ \delta_1}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_1) = 13}\)
ii) Czy istnieje \(\displaystyle{ \delta_2}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_2) = 12}\)
?
6. Czy istnieją takie liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz liczba pierwsza \(\displaystyle{ p >2}\), że \(\displaystyle{ a+b}\) jest liczbą pierwszą i jednocześnie \(\displaystyle{ a^p + b^p}\) jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku całkowitym większym od 2 ?
M
7. Jaka jest najmniejsza ilość jednakowych monet, które można tak ustawić na stole, aby najwyżej położona wystawała całkowicie poza krawędź stołu ?
M
8. Ile jest nieizomorficznych grafów spójnych o sześciu wierzchołkach ?
9. Niech \(\displaystyle{ DE}\) będzie cięciwą okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) równoległą do boku \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ AD = BE}\) to \(\displaystyle{ AC = BC}\)
10. Ile jest kwadratów liczb całkowitych wśród liczb \(\displaystyle{ 11n + 10^{10}}\) dla \(\displaystyle{ n=1, ... , 10^{10}}\) ?
11. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \{a \} + \lfloor b \rfloor + \{c \} = 2,9\{b \} + \lfloor c \rfloor + \{a \} = 5,3\{c \} + \lfloor a \rfloor + \{b \} = 4}\)
12. Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) ma tę własność, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ q>0}\) istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ p}\) taka, że
\(\displaystyle{ |x- \frac{p}{q}| < \frac{1}{3q}}\)
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest całkowitą.
13. Każda z \(\displaystyle{ 2n}\) osób na spotkaniu ma wśród tych osób co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) wrogów. Czy można ustawić wszystkich przy okrągłym stole tak, by nikt nie siedział obok swego wroga ?
14. Wyznaczyć wszystkie funkcje f takie, że \(\displaystyle{ f(x+ f(y+z)) + f(f(x+y)+z) = 2y}\) dla \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\)
15. Dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ b_1, ..., b_n}\) niech
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1 = \frac{b_1}{b_1+...+b_n} \\ a_k =\frac{b_1+...+ b_k}{b_1+...+b_{k-1}} , \ \ k>1 \end{cases}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a_1+...+a_n \leq \frac{1}{a_1}+ ....+ \frac{1}{a_n}}\)
16. W grupie \(\displaystyle{ (R \backslash \{0 \}) \times R \times R)}\) z działaniem \(\displaystyle{ (a_1, a_2, a_3)(b_1, b_2, b_3)= (a_1b_1, a_2b_1^2 + a_1b_2, a_3b_1^3 + 3a_2b_1b_2+ a_1b_3 )}\) znaleźć - o ile istnieją - elementy rzędu 2
17. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną to \(\displaystyle{ n2^k - 7}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla jakiejś liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
18. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{x^3+y^3} =\frac{3}{7}}\)
19. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+1 = 2x^2 \\ p^2-1 = 2y^2 \end{cases}}\)
w którym \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi; \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą
20. Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ n^2}\) różnych liczb w tablicy kwadratowej tak by \(\displaystyle{ max_{j} min_{i} \ a_{i j}= min_{i} max_{j} \ a_{i j}}\) ?
21. Wyznaczyć zależność rekurencyjną ciągu \(\displaystyle{ G_n = \frac{1}{1+F_n}}\) gdzie \(\displaystyle{ F_n}\) jest ciągiem Fibonacciego
W szczególności: czy może być w formie \(\displaystyle{ G_n = f (G_{n-1})}\)
22. Graf G ma 30 wierzchołków, 105 krawędzi i 4822 par (nieuporządkowanych) nie mających wspólnego wierzchołka (tj. niepołączonych). Wyznaczyć maksymalną różnicę stopni dwóch wierzchołków w tym grafie.
23. Dla jakich \(\displaystyle{ f: Q_{+} \mapsto Z}\) są spełnione równania
(*) \(\displaystyle{ f (\frac{1}{x})= f(x)}\)
(**) \(\displaystyle{ (x+1)f (x-1) = xf(x)}\)
gdy \(\displaystyle{ x >1}\)
24. Obliczyć \(\displaystyle{ fedcba}\) o ile
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c+ d+e = 20 \\a+b+c+d+ f = 19\\ a+b+c+e+f=18 \\ a+b+d+e+f=17 \\ a+c+d+e+f=16 \\ b+c+d+e+f=15 \end{cases}}\)
25. Udowodnić, że na sferze jednostkowej istnieje 1600 punktów takich, że każdy punkt tej sfery jest odległy o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) od któregoś z nich
26. W zbiorze \(\displaystyle{ C \times C}\) jest określone mnożenie \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (w_1, w_2)= z_1 \overline{w_1} + z_2\overline{w_2}}\), zaś element tego zbioru \(\displaystyle{ z=(z_1, z_2)}\) nazywa się jednostkowym gdy \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (z_1, z_2)= 1}\). Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest taki, że wszystkie jego elementy są jednostkowe oraz \(\displaystyle{ |z \cdot w|}\) ma tę samą wartość, o ile \(\displaystyle{ z, w \in X}\) oraz \(\displaystyle{ z \neq w}\). Ile maksymalnie elementów może mieć zbiór \(\displaystyle{ X}\) ?
27. Czy można przypisać osiem etykiet wierzchołkom sześcianu tak by wszystkie sumy odpowiadające jego krawędziom były różne ?
28. Liczby naturalne nazywa się „niemal równe” jeśli po usunięciu z ich dziesiętnego zapisu wszystkich zer są równe (np. \(\displaystyle{ 5809 \approx 50089}\)). Można rozszerzyć tę relację według reguły:
\(\displaystyle{ a \approx b}\) jesli \(\displaystyle{ ac \approx bc}\) dla jakiejś liczby \(\displaystyle{ c}\) (np. \(\displaystyle{ 2 \approx 17}\) gdyż \(\displaystyle{ 2 \cdot 6 =12 \approx 102 = 17 \cdot 6}\) itd.)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą naturalną to istnieje \(\displaystyle{ b}\) takie, że \(\displaystyle{ ab \approx 1}\)
29. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą a \(\displaystyle{ W}\) wielomianem niezerowym stopnia mniejszego od \(\displaystyle{ p}\) o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m}\) wartość \(\displaystyle{ W(m)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\) (tj. jego wszystkie współczynniki są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\)).
30. Grają w szachy:
Betty gra z Eddym
Alice gra z mężem Klary
Freddy gra z żoną Georgea
Doris gra z mężem Alice
George gra z żoną Eddiego
Kto jest żoną Jacka ?