[MIX] Zadania przeróżne
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11263
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3140 razy
- Pomógł: 747 razy
[MIX] Zadania przeróżne
1. Niech \(\displaystyle{ X = \{ 1, ..., n \}}\) będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych oraz \(\displaystyle{ P( \{ j \} ) = \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., n}\). Wyznaczyć możliwie największe \(\displaystyle{ i}\) takie, że istnieją niezależne zdarzenia losowe \(\displaystyle{ A_1, ..., A_i}\) takie, że \(\displaystyle{ 0< P(A_j) <1}\) dla \(\displaystyle{ j=1, ..., i}\)
M
2. Niech \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\) będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że ilość funkcji \(\displaystyle{ f: \{1, ..., n \} \mapsto \{-p, ..., p \}}\) o własności \(\displaystyle{ |f(i) - f(j)| \leq p}\) gdy \(\displaystyle{ i, j \in \{1, ..., n \}}\) jest równa \(\displaystyle{ (p+1)^{n+1} - p^{n+1}}\)
3. Na zwykłej szachownicy ustawiono 15 pionków, tak że w każdej kolumnie i w każdym wierszu jest co najmniej jeden pion. Udowodnić, że można usunąć jeden pion i sytuacja będzie jak poprzednio
4. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: R_{+} \mapsto R}\) dla których
\(\displaystyle{ f (x+ \frac{1}{x}) + f (y+ \frac{1}{y}) = f (x+ \frac{1}{y}) + f (y+ \frac{1}{x})}\) o ile \(\displaystyle{ x, y \in R_{+}}\)
5. Dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \delta}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, ..., 9 \}}\) wypisane są sumy trójek kolejnych jej elementów (jest ich osiem), zaś \(\displaystyle{ M(\delta)}\) jest największą z nich (np. dla permutacji \(\displaystyle{ \delta = (4, 6, 2, 9, 0, 1, 8, 5, 7, 3)}\) będą to \(\displaystyle{ 12, 17, 11, 10, 9, 14, 20, 15}\) tj. \(\displaystyle{ M(\delta) = 20}\))
i) Wyznaczyć \(\displaystyle{ \delta_1}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_1) = 13}\)
ii) Czy istnieje \(\displaystyle{ \delta_2}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_2) = 12}\)
?
6. Czy istnieją takie liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz liczba pierwsza \(\displaystyle{ p >2}\), że \(\displaystyle{ a+b}\) jest liczbą pierwszą i jednocześnie \(\displaystyle{ a^p + b^p}\) jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku całkowitym większym od 2 ?
M
7. Jaka jest najmniejsza ilość jednakowych monet, które można tak ustawić na stole, aby najwyżej położona wystawała całkowicie poza krawędź stołu ?
M
8. Ile jest nieizomorficznych grafów spójnych o sześciu wierzchołkach ?
9. Niech \(\displaystyle{ DE}\) będzie cięciwą okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) równoległą do boku \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ AD = BE}\) to \(\displaystyle{ AC = BC}\)
10. Ile jest kwadratów liczb całkowitych wśród liczb \(\displaystyle{ 11n + 10^{10}}\) dla \(\displaystyle{ n=1, ... , 10^{10}}\) ?
11. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \{a \} + \lfloor b \rfloor + \{c \} = 2,9\{b \} + \lfloor c \rfloor + \{a \} = 5,3\{c \} + \lfloor a \rfloor + \{b \} = 4}\)
12. Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) ma tę własność, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ q>0}\) istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ p}\) taka, że
\(\displaystyle{ |x- \frac{p}{q}| < \frac{1}{3q}}\)
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest całkowitą.
13. Każda z \(\displaystyle{ 2n}\) osób na spotkaniu ma wśród tych osób co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) wrogów. Czy można ustawić wszystkich przy okrągłym stole tak, by nikt nie siedział obok swego wroga ?
14. Wyznaczyć wszystkie funkcje f takie, że \(\displaystyle{ f(x+ f(y+z)) + f(f(x+y)+z) = 2y}\) dla \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\)
15. Dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ b_1, ..., b_n}\) niech
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1 = \frac{b_1}{b_1+...+b_n} \\ a_k =\frac{b_1+...+ b_k}{b_1+...+b_{k-1}} , \ \ k>1 \end{cases}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a_1+...+a_n \leq \frac{1}{a_1}+ ....+ \frac{1}{a_n}}\)
16. W grupie \(\displaystyle{ (R \backslash \{0 \}) \times R \times R)}\) z działaniem \(\displaystyle{ (a_1, a_2, a_3)(b_1, b_2, b_3)= (a_1b_1, a_2b_1^2 + a_1b_2, a_3b_1^3 + 3a_2b_1b_2+ a_1b_3 )}\) znaleźć - o ile istnieją - elementy rzędu 2
17. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną to \(\displaystyle{ n2^k - 7}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla jakiejś liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
18. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{x^3+y^3} =\frac{3}{7}}\)
19. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+1 = 2x^2 \\ p^2-1 = 2y^2 \end{cases}}\)
w którym \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi; \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą
20. Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ n^2}\) różnych liczb w tablicy kwadratowej tak by \(\displaystyle{ max_{j} min_{i} \ a_{i j}= min_{i} max_{j} \ a_{i j}}\) ?
21. Wyznaczyć zależność rekurencyjną ciągu \(\displaystyle{ G_n = \frac{1}{1+F_n}}\) gdzie \(\displaystyle{ F_n}\) jest ciągiem Fibonacciego
W szczególności: czy może być w formie \(\displaystyle{ G_n = f (G_{n-1})}\)
22. Graf G ma 30 wierzchołków, 105 krawędzi i 4822 par (nieuporządkowanych) nie mających wspólnego wierzchołka (tj. niepołączonych). Wyznaczyć maksymalną różnicę stopni dwóch wierzchołków w tym grafie.
23. Dla jakich \(\displaystyle{ f: Q_{+} \mapsto Z}\) są spełnione równania
(*) \(\displaystyle{ f (\frac{1}{x})= f(x)}\)
(**) \(\displaystyle{ (x+1)f (x-1) = xf(x)}\)
gdy \(\displaystyle{ x >1}\)
24. Obliczyć \(\displaystyle{ fedcba}\) o ile
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c+ d+e = 20 \\a+b+c+d+ f = 19\\ a+b+c+e+f=18 \\ a+b+d+e+f=17 \\ a+c+d+e+f=16 \\ b+c+d+e+f=15 \end{cases}}\)
25. Udowodnić, że na sferze jednostkowej istnieje 1600 punktów takich, że każdy punkt tej sfery jest odległy o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) od któregoś z nich
26. W zbiorze \(\displaystyle{ C \times C}\) jest określone mnożenie \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (w_1, w_2)= z_1 \overline{w_1} + z_2\overline{w_2}}\), zaś element tego zbioru \(\displaystyle{ z=(z_1, z_2)}\) nazywa się jednostkowym gdy \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (z_1, z_2)= 1}\). Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest taki, że wszystkie jego elementy są jednostkowe oraz \(\displaystyle{ |z \cdot w|}\) ma tę samą wartość, o ile \(\displaystyle{ z, w \in X}\) oraz \(\displaystyle{ z \neq w}\). Ile maksymalnie elementów może mieć zbiór \(\displaystyle{ X}\) ?
27. Czy można przypisać osiem etykiet wierzchołkom sześcianu tak by wszystkie sumy odpowiadające jego krawędziom były różne ?
28. Liczby naturalne nazywa się „niemal równe” jeśli po usunięciu z ich dziesiętnego zapisu wszystkich zer są równe (np. \(\displaystyle{ 5809 \approx 50089}\)). Można rozszerzyć tę relację według reguły:
\(\displaystyle{ a \approx b}\) jesli \(\displaystyle{ ac \approx bc}\) dla jakiejś liczby \(\displaystyle{ c}\) (np. \(\displaystyle{ 2 \approx 17}\) gdyż \(\displaystyle{ 2 \cdot 6 =12 \approx 102 = 17 \cdot 6}\) itd.)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą naturalną to istnieje \(\displaystyle{ b}\) takie, że \(\displaystyle{ ab \approx 1}\)
29. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą a \(\displaystyle{ W}\) wielomianem niezerowym stopnia mniejszego od \(\displaystyle{ p}\) o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m}\) wartość \(\displaystyle{ W(m)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\) (tj. jego wszystkie współczynniki są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\)).
30. Grają w szachy:
Betty gra z Eddym
Alice gra z mężem Klary
Freddy gra z żoną Georgea
Doris gra z mężem Alice
George gra z żoną Eddiego
Kto jest żoną Jacka ?
M
2. Niech \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\) będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że ilość funkcji \(\displaystyle{ f: \{1, ..., n \} \mapsto \{-p, ..., p \}}\) o własności \(\displaystyle{ |f(i) - f(j)| \leq p}\) gdy \(\displaystyle{ i, j \in \{1, ..., n \}}\) jest równa \(\displaystyle{ (p+1)^{n+1} - p^{n+1}}\)
3. Na zwykłej szachownicy ustawiono 15 pionków, tak że w każdej kolumnie i w każdym wierszu jest co najmniej jeden pion. Udowodnić, że można usunąć jeden pion i sytuacja będzie jak poprzednio
4. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: R_{+} \mapsto R}\) dla których
\(\displaystyle{ f (x+ \frac{1}{x}) + f (y+ \frac{1}{y}) = f (x+ \frac{1}{y}) + f (y+ \frac{1}{x})}\) o ile \(\displaystyle{ x, y \in R_{+}}\)
5. Dla dowolnej permutacji \(\displaystyle{ \delta}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, ..., 9 \}}\) wypisane są sumy trójek kolejnych jej elementów (jest ich osiem), zaś \(\displaystyle{ M(\delta)}\) jest największą z nich (np. dla permutacji \(\displaystyle{ \delta = (4, 6, 2, 9, 0, 1, 8, 5, 7, 3)}\) będą to \(\displaystyle{ 12, 17, 11, 10, 9, 14, 20, 15}\) tj. \(\displaystyle{ M(\delta) = 20}\))
i) Wyznaczyć \(\displaystyle{ \delta_1}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_1) = 13}\)
ii) Czy istnieje \(\displaystyle{ \delta_2}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\delta_2) = 12}\)
?
6. Czy istnieją takie liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz liczba pierwsza \(\displaystyle{ p >2}\), że \(\displaystyle{ a+b}\) jest liczbą pierwszą i jednocześnie \(\displaystyle{ a^p + b^p}\) jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku całkowitym większym od 2 ?
M
7. Jaka jest najmniejsza ilość jednakowych monet, które można tak ustawić na stole, aby najwyżej położona wystawała całkowicie poza krawędź stołu ?
M
8. Ile jest nieizomorficznych grafów spójnych o sześciu wierzchołkach ?
9. Niech \(\displaystyle{ DE}\) będzie cięciwą okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) równoległą do boku \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ AD = BE}\) to \(\displaystyle{ AC = BC}\)
10. Ile jest kwadratów liczb całkowitych wśród liczb \(\displaystyle{ 11n + 10^{10}}\) dla \(\displaystyle{ n=1, ... , 10^{10}}\) ?
11. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \{a \} + \lfloor b \rfloor + \{c \} = 2,9\{b \} + \lfloor c \rfloor + \{a \} = 5,3\{c \} + \lfloor a \rfloor + \{b \} = 4}\)
12. Liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) ma tę własność, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ q>0}\) istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ p}\) taka, że
\(\displaystyle{ |x- \frac{p}{q}| < \frac{1}{3q}}\)
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest całkowitą.
13. Każda z \(\displaystyle{ 2n}\) osób na spotkaniu ma wśród tych osób co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) wrogów. Czy można ustawić wszystkich przy okrągłym stole tak, by nikt nie siedział obok swego wroga ?
14. Wyznaczyć wszystkie funkcje f takie, że \(\displaystyle{ f(x+ f(y+z)) + f(f(x+y)+z) = 2y}\) dla \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\)
15. Dla liczb dodatnich \(\displaystyle{ b_1, ..., b_n}\) niech
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1 = \frac{b_1}{b_1+...+b_n} \\ a_k =\frac{b_1+...+ b_k}{b_1+...+b_{k-1}} , \ \ k>1 \end{cases}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a_1+...+a_n \leq \frac{1}{a_1}+ ....+ \frac{1}{a_n}}\)
16. W grupie \(\displaystyle{ (R \backslash \{0 \}) \times R \times R)}\) z działaniem \(\displaystyle{ (a_1, a_2, a_3)(b_1, b_2, b_3)= (a_1b_1, a_2b_1^2 + a_1b_2, a_3b_1^3 + 3a_2b_1b_2+ a_1b_3 )}\) znaleźć - o ile istnieją - elementy rzędu 2
17. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą naturalną to \(\displaystyle{ n2^k - 7}\) jest kwadratem liczby całkowitej dla jakiejś liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
18. Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{x^3+y^3} =\frac{3}{7}}\)
19. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} p+1 = 2x^2 \\ p^2-1 = 2y^2 \end{cases}}\)
w którym \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi; \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą
20. Na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ n^2}\) różnych liczb w tablicy kwadratowej tak by \(\displaystyle{ max_{j} min_{i} \ a_{i j}= min_{i} max_{j} \ a_{i j}}\) ?
21. Wyznaczyć zależność rekurencyjną ciągu \(\displaystyle{ G_n = \frac{1}{1+F_n}}\) gdzie \(\displaystyle{ F_n}\) jest ciągiem Fibonacciego
W szczególności: czy może być w formie \(\displaystyle{ G_n = f (G_{n-1})}\)
22. Graf G ma 30 wierzchołków, 105 krawędzi i 4822 par (nieuporządkowanych) nie mających wspólnego wierzchołka (tj. niepołączonych). Wyznaczyć maksymalną różnicę stopni dwóch wierzchołków w tym grafie.
23. Dla jakich \(\displaystyle{ f: Q_{+} \mapsto Z}\) są spełnione równania
(*) \(\displaystyle{ f (\frac{1}{x})= f(x)}\)
(**) \(\displaystyle{ (x+1)f (x-1) = xf(x)}\)
gdy \(\displaystyle{ x >1}\)
24. Obliczyć \(\displaystyle{ fedcba}\) o ile
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c+ d+e = 20 \\a+b+c+d+ f = 19\\ a+b+c+e+f=18 \\ a+b+d+e+f=17 \\ a+c+d+e+f=16 \\ b+c+d+e+f=15 \end{cases}}\)
25. Udowodnić, że na sferze jednostkowej istnieje 1600 punktów takich, że każdy punkt tej sfery jest odległy o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) od któregoś z nich
26. W zbiorze \(\displaystyle{ C \times C}\) jest określone mnożenie \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (w_1, w_2)= z_1 \overline{w_1} + z_2\overline{w_2}}\), zaś element tego zbioru \(\displaystyle{ z=(z_1, z_2)}\) nazywa się jednostkowym gdy \(\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot (z_1, z_2)= 1}\). Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest taki, że wszystkie jego elementy są jednostkowe oraz \(\displaystyle{ |z \cdot w|}\) ma tę samą wartość, o ile \(\displaystyle{ z, w \in X}\) oraz \(\displaystyle{ z \neq w}\). Ile maksymalnie elementów może mieć zbiór \(\displaystyle{ X}\) ?
27. Czy można przypisać osiem etykiet wierzchołkom sześcianu tak by wszystkie sumy odpowiadające jego krawędziom były różne ?
28. Liczby naturalne nazywa się „niemal równe” jeśli po usunięciu z ich dziesiętnego zapisu wszystkich zer są równe (np. \(\displaystyle{ 5809 \approx 50089}\)). Można rozszerzyć tę relację według reguły:
\(\displaystyle{ a \approx b}\) jesli \(\displaystyle{ ac \approx bc}\) dla jakiejś liczby \(\displaystyle{ c}\) (np. \(\displaystyle{ 2 \approx 17}\) gdyż \(\displaystyle{ 2 \cdot 6 =12 \approx 102 = 17 \cdot 6}\) itd.)
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą naturalną to istnieje \(\displaystyle{ b}\) takie, że \(\displaystyle{ ab \approx 1}\)
29. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą a \(\displaystyle{ W}\) wielomianem niezerowym stopnia mniejszego od \(\displaystyle{ p}\) o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m}\) wartość \(\displaystyle{ W(m)}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\) (tj. jego wszystkie współczynniki są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\)).
30. Grają w szachy:
Betty gra z Eddym
Alice gra z mężem Klary
Freddy gra z żoną Georgea
Doris gra z mężem Alice
George gra z żoną Eddiego
Kto jest żoną Jacka ?
Ostatnio zmieniony 9 lut 2016, o 18:20 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
- krolikbuks42
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Pomógł: 9 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
[MIX] Zadania przeróżne
Zad 29
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 10 lut 2016, o 00:11 przez Kartezjusz, łącznie zmieniany 1 raz.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11263
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3140 razy
- Pomógł: 747 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
[MIX] Zadania przeróżne
OK, to oznacza, że Eddy nie gra ze swoją żoną i to wystarczy. Ten uzupełniony warunek jest tu równoważny temu, o który pytałam. Czyli ostatni rząd - żoną Jacka jest Betty. Mnie najlepiej się to robi w tabelkach - tu potrzebne cztery. Jak będę mieć czas przepisać z Excela, to wrzucę.
30 reszta:
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 10 kwie 2016, o 09:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
[MIX] Zadania przeróżne
Drewno na opał ułożono w stos w kształcie stożka. Przez dzień zużyto tyle drewna, że pozostał stożek ścięty o wysokości równej 3/4 początkowej wysokości stożka. Na ile jeszcze dni wystarczy tego drewna, jeżeli będzie się go używać tak samo intensywnie jak dotąd.
Może ktoś wie jak to zrobić?
Może ktoś wie jak to zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: [MIX] Zadania przeróżne
19:
27:
Ponieważ Przemek skasował poprzedni post to, zamiast uwagi dotyczącej skasowanej treści, dopisałem rozwiązanie zadania 19.
Ostatnio zmieniony 5 sie 2018, o 18:28 przez kerajs, łącznie zmieniany 2 razy.