Matematyka.pl

Podaj dowód, im bardziej elementarny, to tym lepiej, poniższej nierównośći. Zbadaj kiedy przechodzi ona w tożsamość. Na koniec spróbuj ja uogólnić- o ile jest to mozliwe dla dowolnych układów liczb rzeczywistych nieujemnych. Uwaga wszelkie metody jak zwykle bardzo mile widziane...,etc

\(\displaystyle{ \frac{a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{b}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\)
a,b,c >0

Z nierówności Cauchy'ego mamy: \(\displaystyle{ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant \frac{a+b}{2} \Leftrightarrow \frac{c}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant \frac{c(a+b)}{4}}\)
analogicznie dla kolejnych składników sumy.
\(\displaystyle{ \frac{a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{b}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \leq \frac{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{b}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \leq \frac{ab+bc+ca}{2}}\)
Zostaje dowieść, że \(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\) /*4
\(\displaystyle{ 2ab+2bc+2ca \leq 2a^2+2b^2+2c^2} \\ a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2 \geq 0 \\ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0}\)
Co jest już oczywiste.

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 01:25 ]
Przechodzi w tożsamość, gdy a=b=c.

Naturalne uogólnienie, dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}, \ n \geqslant 2, \ a_{1}, \ldots, a_{n} > 0}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n}\frac{a_{k}}{\sum_{j \{1, \ldots, n\} \setminus \{k\}} \frac{1}{a_{j}}}} qslant \frac{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}}{n - 1}}\)
Dowód analogiczny jak powyżej.