[Funkcje] Funkcje addytywne

[szw1710]

Forum od jakiegoś czasu służy odrabianiu zadań domowych i udzielaniu do nich wskazówek. Nie jest to chyba dobry kierunek rozwoju. Niektóre osoby zamieszczają w tym dziale ambitniejsze zadania. To dobrze. Pomyślałem sobie, że warto popularyzować wiedzę z pogranicza tej dostępnej studentowi i naukowej.

Funkcję \(\displaystyle{ a:\RR\to\RR}\) nazywamy addytywną, jeśli spełnia równanie funkcyjne Cauchy'ego, tj.

\(\displaystyle{ a(x+y)=a(x)+a(y)}\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\).

Pokazać, że:

1. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest addytywną funkcją ciągłą, to jest postaci \(\displaystyle{ a(x)=cx}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in\RR}\).

2. Istnieją nieciągłe funkcje addytywne. Tutaj wskazówka: potraktować \(\displaystyle{ \RR}\) jako przestrzeń liniową nad ciałem liczb wymiernych \(\displaystyle{ \QQ}\). Wtedy każda funkcja addytywna jest odwzorowaniem liniowym tej przestrzeni w nią samą.

To absolutna klasyka. Ale myślę, że warto mieć świadomość istnienia tego rodzaju twierdzeń.

[Qń]

Post sprzed dokładnie 8 lat (moje początki na forum):

53385.htm#p211551

Q.

[szw1710]

Przynajmniej Administracja tu patrzy Moje początki na forum były 5.5 roku temu, więc nie mogłem o tym poście wiedzieć. Ale nieważne - jest podane rozwiązanie.

Teraz wymyślę coś innego. Może o funkcjach wypukłych.

O właśnie. Funkcję \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) nazywamy jensenowską, jeśli spełnia równanie funkcyjne Jensena:

\(\displaystyle{ f\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)=\frac{f(x)+f(y)}{2}}\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\).

Pokazać, że \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) jest funkcją jensenowską wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą funkcji addytywnej i funkcji stałej. W szczególności wynika stąd, że własności regularnościowe funkcji jensenowskich są identyczne jak funkcji addytywnych.

A może ktoś spróbuje elementarnie pokazać, że jeśli funkcja addytywna (bądź jensenowska) jest ciągła w jednym punkcie, to jest ciągła wszędzie.

[musialmi]

A może ktoś spróbuje elementarnie pokazać, że jeśli funkcja addytywna (bądź jensenowska) jest ciągła w jednym punkcie, to jest ciągła wszędzie.

Ogólnie: operator liniowy. Miałem to na egzaminie z analizy funkcjonalnej Bardzo fajny dowód.
Swoją drogą, nie widziałem kiedyś na pana blogu podobnego zagadnienia wraz z udowodnionymi własnościami?

[Dualny91]

Z Jensenem wiąże się też inna własność: wypukłość. Można pokazać, że funkcja ciągła \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniająca warunek wypukłości dla stałej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), tj: \(\displaystyle{ f(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}) \leq \frac{f(x)}{2}+\frac{f(y)}{2}}\) (dla dow. \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\)) jest wypukła.

[szw1710]

Tak, masz rację.

[Spektralny]

Z Jensenem wiąże się też inna własność: wypukłość. Można pokazać, że funkcja ciągła \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełniająca warunek wypukłości dla stałej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), tj: \(\displaystyle{ f(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}) \leq \frac{f(x)}{2}+\frac{f(y)}{2}}\) (dla dow. \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\)) jest wypukła.

Wystarczy nawet sama mierzalność. Rzeczywście, załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest addytywną funkcją mierzalną. Wówczas dla pewnej liczby \(\displaystyle{ n>0}\) zbiór

• \(\displaystyle{ I_n=\{x\in \mathbb{R}\colon |f(x)|\leqslant n\}}\)

ma miarę dodatnią. Wówczas twierdzenie Steinheusa zapewnia istnienie takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że \(\displaystyle{ [-\delta, \delta]\subset I_n-I_n}\). Innymi słowy, \(\displaystyle{ |f(x)|\leqslant 2n}\) dla \(\displaystyle{ x}\) z tego przedziału. Ustalmy niezerową liczbę \(\displaystyle{ x}\) oraz dobierzmy taką liczbę wymierną \(\displaystyle{ q}\), że \(\displaystyle{ q\in [|x|/\delta, 2|x|/\delta]}\). Wówczas \(\displaystyle{ \tfrac{x}{q}}\) należy do \(\displaystyle{ [-\delta, \delta]}\). Oznacza to, że

• \(\displaystyle{ |f(x)|=q|f(\tfrac{x}{q})|\leqslant \frac{4n}{\delta}|x|}\).

Ostatecznie

• \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leqslant \frac{4n}{\delta}|x-y|}\).

Pokazaliśmy zatem, że \(\displaystyle{ f}\) jest (lipschitzowsko) ciągła.

[szw1710]

Inne warunki gwarantujące ciągłość funkcji jensenowsko-wypukłej: lokalna ograniczoność z góry w pewnym punkcie; ograniczoność z góry na zbiorze miary dodatniej, ograniczoność z góry na zbiorze drugiej kategorii o własności Baire'a, półciągłość z dołu lub z góry w jakimś punkcie, ...

[Marcinek665]

A jesli funkcja ktora jest rozwiazaniem rownania Cauchy'ego, nie jest ciagla, to jej wykres jest gestym podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\).

[szw1710]

Są jeszcze funkcje addytywne o dużych wykresach: przecinających każdy zbiór borelowski z nieprzeliczalnym rzutem na dziedzinę.

[Kartezjusz]

Przeciwobraz każdego zbioru Borelowskiego jest nieprzeliczalny?

[domis567]

Forum od jakiegoś czasu służy odrabianiu zadań domowych i udzielaniu do nich wskazówek. Nie jest to chyba dobry kierunek rozwoju. Niektóre osoby zamieszczają w tym dziale ambitniejsze zadania. To dobrze. Pomyślałem sobie, że warto popularyzować wiedzę z pogranicza tej dostępnej studentowi i naukowej.

Funkcję \(\displaystyle{ a:\RR\to\RR}\) nazywamy addytywną, jeśli spełnia równanie funkcyjne Cauchy'ego, tj.

\(\displaystyle{ a(x+y)=a(x)+a(y)}\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\).

Pokazać, że:

1. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest addytywną funkcją ciągłą, to jest postaci \(\displaystyle{ a(x)=cx}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in\RR}\).

2. Istnieją nieciągłe funkcje addytywne. Tutaj wskazówka: potraktować \(\displaystyle{ \RR}\) jako przestrzeń liniową nad ciałem liczb wymiernych \(\displaystyle{ \QQ}\). Wtedy każda funkcja addytywna jest odwzorowaniem liniowym tej przestrzeni w nią samą.

To absolutna klasyka. Ale myślę, że warto mieć świadomość istnienia tego rodzaju twierdzeń.

A z jakiej literatury jest to twierdzenie ?

[szw1710]

Wyczerpującą monografią jest książka Marka Kuczmy:

... oken=gbgen

Znajdziesz tam zdecydowanie bardziej zaawansowane twierdzenia. To co napisałem, a Ty cytujesz, należy do kanonu podstawowego wykształcenia każdego matematyka, czyli do tzw.

Kod: Zaznacz cały

http://byc-matematykiem.pl/kultura-matematyczna/

.