[Algebra] Wyznacz x z równania

[Chewbacca97]

Wyznacz \(\displaystyle{ x}\) z równania \(\displaystyle{ \sqrt{a- \sqrt{a+x} } = x}\) .

[gus]

Potraktuj to jako równanie zmiennej \(\displaystyle{ a}\).

[timon92]

podstaw \(\displaystyle{ y=\sqrt{a+x}}\)

wtedy \(\displaystyle{ x^2+y=a=y^2-x}\)

wywnioskuj stąd, że \(\displaystyle{ (x+y)(x-y+1)=0}\)

\(\displaystyle{ x+y=0}\) prowadzi do jakiegoś nonsensu, a \(\displaystyle{ x-y+1=0}\) prowadzi do równania kwadratowego zmiennej \(\displaystyle{ x}\)

[Chewbacca97]

Okej, wyszły dwa rozwiązania:

\(\displaystyle{ x= \frac{-1 \pm \sqrt{4a-3} }{2}}\)

Natomiast wolfram pokazuje tych rozwiązań aż cztery. I jest chyba taka możliwość, ponieważ kiedy inaczej się to równanie rozpisze, otrzymamy równanie stopnia czwartego zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

\(\displaystyle{ x+y=0}\) prowadzi do jakiegoś nonsensu

Czy aby na pewno?
Mamy wtedy: \(\displaystyle{ \sqrt{a+x} = -x}\) .
A to już się da rozwiązać.

\(\displaystyle{ x= \frac{1 \pm \sqrt{4a+1} }{2}}\)

A to by się zgadzało z tym, co wolfram twierdzi.

[marcin7Cd]

Odpowiedź jest prosta równanie \(\displaystyle{ x+\sqrt{a+x}=0}\) wcale nie oznacza sprzeczności. Wyrażenie \(\displaystyle{ x+\sqrt{a+x}}\) może być nawet ujemne (\(\displaystyle{ x=-a}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\)).

[Chewbacca97]

Ech... Uprzedziłeś mnie!
Nic to, dziękuję ślicznie za pomoc!

[timon92]

chwila moment!

\(\displaystyle{ x+y=0}\) prowadzi do nonsensu, bo \(\displaystyle{ x,y \ge 0}\) (pamiętamy, że \(\displaystyle{ x=\sqrt{a-y}}\) oraz \(\displaystyle{ y=\sqrt{a+x}}\) ), no chyba że \(\displaystyle{ a=0}\), wtedy po prostu \(\displaystyle{ x=y=0}\)

nadmiarowe rozwiązania biorą się z tego, że kwadratowanie równania stronami nie jest operacją równoważną

wszelkie rozwiązania, które dostaniesz, musisz podstawić do wyjściowego równania i sprawdzić, czy się nic nie chrzani (mogą wyskoczyć pierwiastki z liczb ujemnych, itp.)

[Chewbacca97]

Zapomniałem dodać, że \(\displaystyle{ a>0}\).-- 19 cze 2015, o 18:19 --Ostatecznie, po rozpisaniu tego tak jak zaproponował kolega gus:
\(\displaystyle{ \sqrt{a- \sqrt{a+x} } = x \\ a - \sqrt{a+x} = x^{2} \\ a+x = a^{2} -2ax^{2} + x^{4} \\ a^{2} -\left( 2x^{2}+1\right) a + x^{4} - x = 0}\)

Otrzymuję dwa możliwe rozwiązania równania o zmiennej \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ a= x^{2} - x \vee a = x^{2} + x +1}\)

Dalej traktuję je jako równania zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i otrzymuję:
\(\displaystyle{ x^{2} - x -a = 0 \vee x^{2} + x -a + 1 = 0}\)

1. \(\displaystyle{ x= \frac{1- \sqrt{4a+1} }{2} < 0}\)

2. \(\displaystyle{ x= \frac{1+\sqrt{4a+1} }{2}}\)

3. \(\displaystyle{ x= \frac{-1 - \sqrt{4a-3} }{2}<0 \wedge a \ge \frac{3}{4}}\)

4. \(\displaystyle{ x= \frac{-1 + \sqrt{4a-3}}{2} \wedge a \ge \frac{3}{4}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge a-x^{2} \ge 0 \Rightarrow x\in \left\langle 0, \sqrt{a} \right\rangle}\), więc 1. i 3. odpadają, ponieważ są mniejsze od zera, a 2. odpada ponieważ nie spełnia nierówności: \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{4a+1} }{2} \le \sqrt{a}}\) .
Pozostaje jedynie \(\displaystyle{ x= \frac{-1 + \sqrt{4a-3}}{2} \in \left\langle 0, \sqrt{a} \right\rangle}\) dla \(\displaystyle{ a \ge 1}\).

Odpowiedzią na zadanie jest zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0 &\text{ dla } a=1 \\ x= \frac{-1 + \sqrt{4a-3}}{2} &\text{ dla } a>1 \end{cases}}\)