Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
mol_ksiazkowy pisze: ↑10 maja 2021, o 12:34
Nierozwiązane są : 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19 i 28 (11 zadań).
21 też nietknięte
Dodano po 1 godzinie 28 minutach 35 sekundach:
Zad 19
Ukryta treść:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 7^2=49}\) \(\displaystyle{ 37^2 = 1369}\) \(\displaystyle{ 337^2 = 113569}\)
Pokażemy, że \(\displaystyle{ (33333 \cdots 33337)^2 = 111 \cdots 1111355555 \cdots 5555569}\)
Gdzie mamy \(\displaystyle{ n}\) trójek (nie licząc tej po prawej stronie ), \(\displaystyle{ n}\) jedynek oraz \(\displaystyle{ n-1}\) piątek.
Oczywiście taki ciąg spełnia wszystkie warunki zadania, gdyż \(\displaystyle{ n}\) ty wyraz ciągu jest liczbą \(\displaystyle{ n}\) cyfrową , a kwadrat jest rzeczywiście monotoniczny.
Uwaga 1 \(\displaystyle{ 6 \cdot (3333333 \ cdots 333337) = 2 \cdot 10^{n} +22}\), co można potwierdzić działaniem pisemnym.
Zad 19
Ukryta treść:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 7^2=49}\) \(\displaystyle{ 37^2 = 1369}\) \(\displaystyle{ 337^2 = 113569}\)
Pokażemy, że \(\displaystyle{ (33333 \cdots 33337)^2 = 111 \cdots 1111355555 \cdots 5555569}\)
Gdzie mamy \(\displaystyle{ n}\) trójek (nie licząc tej po prawej stronie ), \(\displaystyle{ n}\) jedynek oraz \(\displaystyle{ n-1}\) piątek.
Oczywiście taki ciąg spełnia wszystkie warunki zadania, gdyż \(\displaystyle{ n}\) ty wyraz ciągu jest liczbą \(\displaystyle{ n}\) cyfrową , a kwadrat jest rzeczywiście monotoniczny.
Uwaga 1 \(\displaystyle{ 6*(3333333 \ cdots 333337) = 2 \cdot 10^{n} +22}\), co można potwierdzić działaniem pisemnym. \(\displaystyle{ (333333 \cdots333337 )^{2} = (3 \cdot 10^{n} + 33333 \cdots333337 )^{2} = 9^{2n}+ 6 \cdot10^{n}*33333333\cdots 3333337 +(3333333 \cdots 333337)^{2} }\) przy czym dwie ostatnie "trójkowe" liczby mają \(\displaystyle{ n-1}\) cyfr.
przy czym dwie ostatnie "trójkowe" liczby mają \(\displaystyle{ n-1}\) cyfr.
Przekształcamy dalej: \(\displaystyle{ 9^{2n}+ 6 \cdot 10^{n}*33333333\cdots 3333337 +(3333333 \cdots 333337)^{2} = 9 \cdots 10^{2n} +(2 \cdot10^{n} +22) \cdot 10^{n} + (333333 \cdots 33337)^{2} = 110000000 \cdots 22000000 + 11111111 \cdots 1113555555 \cdots 5555569 }\)
Tutaj mamy przed parą dwójek \(\displaystyle{ n-2}\) zer, po nich \(\displaystyle{ n}\) zer, \(\displaystyle{ n-1}\) jedynek oraz \(\displaystyle{ n-2 }\) piątek.
Dodając je mamy liczbę jak przewidywałem.
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
: 10 lis 2021, o 23:18
autor: arek1357
Już tknę 21
Pokaże to na przykładzie, który się sprawdza a mianowicie , sumowanie z góry na dół powinno zawsze dawać:
\(\displaystyle{ 2n+1}\)
Pokażę to na przykładzie:
\(\displaystyle{ n=8, 2n=16}\) - będzie wiadomo o co biega:
Jak widać taki myk możliwy jest jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) rozkłada się równomiernie między pierwszym a trzecim wierszem...
Znaczy:
\(\displaystyle{ n}\)-ki które wędrują do pierwszego wiersza (kolor czerwony) jest ich - \(\displaystyle{ k}\)
Musi być więc:
\(\displaystyle{ 2k+1=n-2k+1}\)
\(\displaystyle{ 4k=n}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{n}{4} }\)
Jak więc widać \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą podzielną przez cztery, żeby spełniała ona wymogi mojej konstrukcji...
cnd...
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
: 11 lis 2021, o 09:55
autor: kerajs
arek1357 pisze: ↑10 lis 2021, o 23:18
Jak więc widać \(\displaystyle{ n}\) musi być liczbą podzielną przez cztery, żeby spełniała ona wymogi mojej konstrukcji...
cnd...
Moim zdaniem to każda parzysta większa od 2. Przykład dla \(\displaystyle{ n=6 \ : \\
\begin{bmatrix} 12&2&10&4&5&6\\1&11&3&9&8&7 \end{bmatrix}}\)
8:
Wsród \(\displaystyle{ 106}\) liczb zbioru \(\displaystyle{ S}\) liczbami pierwszymi jest \(\displaystyle{ 19}\) z nich. Pozostałe liczby są złożone i w każdej występuje czynnik pierwszy mniejszy od \(\displaystyle{ \sqrt{210}}\) ( czyli przynajmniej jednym czynnikiem jest liczba ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2,3,5,7,11,13\right\}}\) Najliczniejszy zestaw nie spełniający treści zadania zawiera 19 liczb pierwszych i 6 takich liczb złożonych, że każda zawiera tylko jeden czynnik z powyższego zbioru (możliwe iż wielokrotnie) i ewentualnie pewną liczbę pierwszą ( np: \(\displaystyle{ 2^7, 3 \cdot 67, 5^3, 7 \cdot 29, 11^2, 13^2}\) ). Stąd minimalne szukane \(\displaystyle{ n}\) wynosi \(\displaystyle{ 19+6+1=26}\)
28:
Reszty z dzielenia liczb \(\displaystyle{ 3^n}\) przez \(\displaystyle{ 17}\) tworzą ciąg okresowy o okresie \(\displaystyle{ 16}\), a reszty z dzielenia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 17}\) tworzą ciąg o okresie \(\displaystyle{ 17}\) : \(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11& 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & ... \\ \hline
3^n \ mod \ 17 &1 & 3 & 9 & 10 & 13 & 5 & 15 & 11 & 16 & 14 & 8 & 7 & 4 & 12 & 2 & 6 & 1 & 3 & 9 & ...\\ \hline
n \ mod \ 17 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11& 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 0 & 1 & ... \\ \hline
\end{array}}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ 3^n-n}\) będzie podzielne przez \(\displaystyle{ 17}\) jeśli reszty z powyższej tabelki będą równe, co daje 16 równań diofantycznych o rozwiązaniu \(\displaystyle{ n=n_0+16 \cdot 17k \ \ , \ \ k \in N}\) (gdzie \(\displaystyle{ n_0}\) to najmniejsza liczba naturalna spełniająca dane równanie).
Przykładowo, dla reszty równej \(\displaystyle{ 3}\): \(\displaystyle{ 1+16p=3+17q\\
17q-16p=2\\
17(16l-2)-16(17l-2)=2\\
n=1+16p=1+16(17l-2)=-31+272l=241+272k}\)
Rozwiązania równania \(\displaystyle{ (3^n-n) \ mod \ 17=0}\) to liczby \(\displaystyle{ n=n_0+16 \cdot 17k \ \ , \ \ k \in N}\) dla odpowiednich reszt: \(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3^n \ mod \ 17 &1 & 3 & 9 & 10 & 13 & 5 & 15 & 11 & 16 & 14 & 8 & 7 & 4 & 12 & 2 & 6 \\ \hline
n_0 & 256 & 241 & 162 & 163 & 132 & 5 & 134 & 215 & 152 & 201 & 42 & 75 & 140 & 29 & 206 & 159 \\ \hline
\end{array}}\)
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
: 12 lis 2021, o 19:18
autor: arek1357
Jeszcze inne podejście do zadania 28:
W ciele: \(\displaystyle{ Z_{17}}\) jest tylko jedna liczba spełniająca warunek zadania a mianowicie:
\(\displaystyle{ 3^5=5}\)
co w przełożeniu na naturalne mamy:
\(\displaystyle{ 3^{5+16x}=5+17y \mod 17}\)
Teraz kiedy:
\(\displaystyle{ 5+16x=5+17y}\)
lub:
\(\displaystyle{ 16x=17y}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x=17k , y=16k}\)
co da nam:
\(\displaystyle{ n=5+16 \cdot 17k=5+272k}\)
\(\displaystyle{ n=5+272k}\) - dla nich spełnia...
(co jak widać nie daje wszystkich)...
Dodano po 1 dniu 5 godzinach 37 minutach 54 sekundach:
Winien jestem do 21 pokazać dla parzystych n ale niepodzielnych przez 4 jak uogólnić sprawę bo dla podzielnych fajnie się wykonało ale to niepełne,
otóż rozpiszę:
Sumy po kolumnach są takie same trzeba rozdzielić \(\displaystyle{ n}\) ki... enek jest: \(\displaystyle{ n+2}\) w każdym wierszu winno być ich: \(\displaystyle{ \frac{n}{2}+1}\)
Permutujemy od drugiej do \(\displaystyle{ \frac{n}{2}-1 }\) - kolumny mniej więcej tak:
Nie jest trudne, ale żmudne. Zauważmy, że naszą równość można zapisać w postaci: \(\displaystyle{ 2015-a^{2}=b^{2}-c^{2}}\)
Zauważmy też, że każde równanie postaci \(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=S}\) ma rozwiązania, jeśli \(\displaystyle{ S}\) dzieli się przez 4 lub S jest nieparzysta. Istotnie. Niech \(\displaystyle{ S \equiv 2 ( \mbox{mod} 4 ). }\) Oznacza, to, że każdy rozkład \(\displaystyle{ S}\) na iloczyn dwóch liczb nie będzie miał
dwóch czynników tej samej parzystości , zatem jeśli \(\displaystyle{ x+y = d }\), a \(\displaystyle{ x-y = \frac{S}{d} }\) to \(\displaystyle{ 2x= d+\frac{S}{d} }\)Lewa strona jest parzysta, lewa nieparzysta - sprzeczność.
Następnie zauważmy, że \(\displaystyle{ a }\) musi być liczbą parzystą, gdyż, dla nieparzystych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ a^{2} \equiv 1 ( \mbox{mod} 4 ) }\) i to zawsze, a \(\displaystyle{ 2015 \equiv 3 ( \mbox{mod} 4 )}\), zatem \(\displaystyle{ 2015-a^{2} \equiv 2 ( \mbox{mod} 4 ) }\), co implikuje odrzucony w poprzednim akapicie przypadek.
Pokażę, że dla każdego parzystego \(\displaystyle{ a}\) mamy co najmniej jedno rozwiązanie...
Ustalmy \(\displaystyle{ a = 2k}\) równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ 2015- 4k^{2}=b^{2}-c^{2}=(b-c)(b+c)}\). Przyjmijmy więc, że . \(\displaystyle{ \begin{cases} b-c=1 \\ b+c=2015-4k^{2} \end{cases} }\). Dodając i odejmując rówania mamy: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2b=2016-4k^{2} \\ 2c=2014-4k^{2} \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} b=1008-2k^{2} \\ c=1007-2k^{2} \end{cases}}\)
Dodać trzeba, że jeśli \(\displaystyle{ (a,b,c) }\)spełnia równanie, to spełnia je też każda trójka powstała przed dopisaniem minusa przed dowolnymi współrzędnymi oraz , że nie mamy reguły, dla jakich \(\displaystyle{ a }\) liczba jest pierwsza czy złożona, zatem znalezienie wszystkich rozwiązań jest niemożliwe
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
: 14 mar 2022, o 09:35
autor: Kartezjusz
zadanie 8
Ukryta treść:
Na początek dwie informacje:
1. Nasz zbiór zawiera 9 liczb nieparzystych, zatem każdy podzbiór który ma 11 elementów będzie zbiorem zawierający dwie liczby parzyste, zatem nie będące liczbami względnie pierwszymi
2. \(\displaystyle{ zbiór \left\{ 106, 107, 109, 111, 113, 115, 119, 121 \right\} }\)jest ośmioelementowym zbiorem zawierającym same liczby względnie pierwsze. Pokażemy, że wszystkie zbiory dziewięcio i dziesięcioelementowe, mają conajmniej dwie liczby względnie złożone.
3. Zauważmy, że liczb nieparzystych niepodzielnych przez 3 jest tylko sześć, zatem by nie złamać zasad można dołożyć jedną liczbę nieparzystą podzielną przez 3 i jedną liczbę niepodzielną przez 3, ale parzystą. Ten zbiór będzie też 8- elementowy jak przykładowy, ale dołożenie jakiegokolwiek elementu dodatkowego sprawi, że podzbiór będzie zawierał dwie liczby parzyste lub podzielne przez 3, zatem pokazaliśmy, że żaden podzbiór o liczebności 9 elementów lub więcej nie może zawierać samych liczb względnie pierwszych.
Re: [MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
: 15 maja 2022, o 22:40
autor: Kartezjusz
w zadaniu 11 pytają się o liczby całkowite czy naturalne?