[MIX] Teoria liczb, łatwe i trudne
: 28 maja 2015, o 10:18
1. Rozwiązać równanie diofantyczne:
\(\displaystyle{ x^3 - y^3=2xy + 8}\)
1220 ntp
2. Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}\) może być kwadratem liczby całkowitej jeśli \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są różnymi liczbami naturalnymi ?
3. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ 2a-1}\) i \(\displaystyle{ 2b+1}\) są względnie pierwsze i \(\displaystyle{ a+b}\) dzieli \(\displaystyle{ 4ab+1}\) ?
4. Udowodnić że równanie \(\displaystyle{ 6k^2 + 3k = 2n^2 - 2n}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\).
5. Dane są liczby całkowite nieparzyste \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) takie że \(\displaystyle{ n^2 - 1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ m^2 - n^2+1}\).
Udowodnić że \(\displaystyle{ m^2 - n^2+ 1}\) jest kwadratem liczby całkowitej
6. i) Udowodnić, że nie istnieje 11-to wyrazowy ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są liczbami pierwszymi nie większymi niż \(\displaystyle{ 20 000}\)
ii) Jaki jest najdłuższy ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są liczbami pierwszymi mniejszymi od \(\displaystyle{ M=1000}\) ?
iii) jak w ii) dla \(\displaystyle{ M=100}\)
Wskazać stosowne przykłady.
7. Wyznaczyć liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\) aby \(\displaystyle{ 2015 =a^2 +b^2 - c^2}\)
8. Niech \(\displaystyle{ S = \{ 105, …., 210 \}}\). Wyznaczyć najmniejsze możliwie \(\displaystyle{ n}\) by w każdym \(\displaystyle{ n}\) elementowym podzbiorze \(\displaystyle{ S}\) były jakieś liczby, które nie są względnie pierwsze.
104 ntp
9. Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ b^2 =ac}\) to \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}}\) jest liczbą całkowitą
Czy także odwrotnie ?
10. Czy istnieje liczba co najmniej trzycyfrowa, której jedynie pierwsza i ostatnia cyfra są rożne od zera i która jest kwadratem liczby całkowitej ?
Czy taka liczba mogłaby być sześcianem bądź inną potęgą liczby całkowitej ?
11. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ a^2+b^3}\) i \(\displaystyle{ a^3+b^2}\) są kwadratami liczb całkowitych ?
12. Żadna z liczb: \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ a+ d}\), \(\displaystyle{ a+ 2d}\), …, \(\displaystyle{ a+ (n-1)d}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ n}\) nie są względnie pierwsze.
13. Czy istnieją inne niż \(\displaystyle{ t_3}\), \(\displaystyle{ t_{11}}\), \(\displaystyle{ t_{36}}\) „szóstkowe” liczby trójkątne ?
Uwagi: \(\displaystyle{ t_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\) tą liczbę trójkątną
14. Udowodnić, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+3= 4ab \\ c^2+d^2+3 = 4cd \\4c^3 - 3c=a \end{cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych
1200 ntp
15. Wykazać że liczba \(\displaystyle{ n^7 + 7}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej
16. rozwiązane przez Medea2
Udowodnić że liczba \(\displaystyle{ \underbrace {1 \ldots 1}_{2015}\underbrace {2 \ldots 2}_{2015}}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych
17. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ \frac{a^2+b}{b^2-a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b^2+a}{a^2-b}}\) są też całkowite ?
18. Liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są różnicami kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ mn}\) także ma tę własność
19. Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowa liczba monotoniczna, która jest kwadratem liczby całkowitej.
Uwagi: Liczba monotoniczna to taka której ciąg cyfr jej zapisu dziesiętnego jest słabo rosnący np. \(\displaystyle{ 1224779}\) itp.
20. Udowodnić że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje nieskończenie wiele niepodzielnych przez 10 liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), takich, że sumy cyfr liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ mn}\) są równe.
21. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można ze wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 2n \}}\) zbudować dwuwierszową macierz, w której sumy po wszystkich kolumnach oraz po wierszach są równe ?
np. \(\displaystyle{ n=4}\); \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4&6&7 \\ 8&5&3&2 \end{bmatrix}}\)
22. rozwiązane przez Elayne
Wyznaczyć możliwie najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ n^2}\) kończy się (w zapisie dziesiętnym) sekwencją cyfr \(\displaystyle{ 9009}\) ?
23. Wykaż lub obal:
Każda liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\) może być przedstawiona w formie \(\displaystyle{ a^2+b^2 +c^3}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi
24. Scharakteryzować rozmieszczenie w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) liczb nie będących w formie \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są to liczby całkowite nieujemne.
25. rozwiązane przez Medea2
Jaką jest największa reszta z dzielenia liczby trzycyfrowej przez sumę jej cyfr ?
26. rozwiązane przez Marcin7Cd
Wyznaczyć największą liczbę \(\displaystyle{ n}\) cyfrową, z której pierwiastek \(\displaystyle{ n}\) tego stopnia jest sumą cyfr tej liczby (taką jest np. \(\displaystyle{ 512}\)).
27. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^{n-1} - 2^{n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) dla nieskończenie wielu liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\).
28. Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ 3^n - n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 17}\)
29. Jaką najmniejszą nieujemną wartość ma wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{2p} - \sqrt{x} - \sqrt{y}}\) gdy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi zaś \(\displaystyle{ p}\) ustaloną liczbą pierwszą.
1200 ntp
30. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\): \(\displaystyle{ b^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a+1}\) i \(\displaystyle{ a^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ b+1}\) ?
\(\displaystyle{ x^3 - y^3=2xy + 8}\)
1220 ntp
2. Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}\) może być kwadratem liczby całkowitej jeśli \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są różnymi liczbami naturalnymi ?
3. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ 2a-1}\) i \(\displaystyle{ 2b+1}\) są względnie pierwsze i \(\displaystyle{ a+b}\) dzieli \(\displaystyle{ 4ab+1}\) ?
4. Udowodnić że równanie \(\displaystyle{ 6k^2 + 3k = 2n^2 - 2n}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\).
5. Dane są liczby całkowite nieparzyste \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) takie że \(\displaystyle{ n^2 - 1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ m^2 - n^2+1}\).
Udowodnić że \(\displaystyle{ m^2 - n^2+ 1}\) jest kwadratem liczby całkowitej
6. i) Udowodnić, że nie istnieje 11-to wyrazowy ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są liczbami pierwszymi nie większymi niż \(\displaystyle{ 20 000}\)
ii) Jaki jest najdłuższy ciąg arytmetyczny, którego wszystkie wyrazy są liczbami pierwszymi mniejszymi od \(\displaystyle{ M=1000}\) ?
iii) jak w ii) dla \(\displaystyle{ M=100}\)
Wskazać stosowne przykłady.
7. Wyznaczyć liczby całkowite \(\displaystyle{ a, b, c}\) aby \(\displaystyle{ 2015 =a^2 +b^2 - c^2}\)
8. Niech \(\displaystyle{ S = \{ 105, …., 210 \}}\). Wyznaczyć najmniejsze możliwie \(\displaystyle{ n}\) by w każdym \(\displaystyle{ n}\) elementowym podzbiorze \(\displaystyle{ S}\) były jakieś liczby, które nie są względnie pierwsze.
104 ntp
9. Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ b^2 =ac}\) to \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}}\) jest liczbą całkowitą
Czy także odwrotnie ?
10. Czy istnieje liczba co najmniej trzycyfrowa, której jedynie pierwsza i ostatnia cyfra są rożne od zera i która jest kwadratem liczby całkowitej ?
Czy taka liczba mogłaby być sześcianem bądź inną potęgą liczby całkowitej ?
11. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ a^2+b^3}\) i \(\displaystyle{ a^3+b^2}\) są kwadratami liczb całkowitych ?
12. Żadna z liczb: \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ a+ d}\), \(\displaystyle{ a+ 2d}\), …, \(\displaystyle{ a+ (n-1)d}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ d}\) i \(\displaystyle{ n}\) nie są względnie pierwsze.
13. Czy istnieją inne niż \(\displaystyle{ t_3}\), \(\displaystyle{ t_{11}}\), \(\displaystyle{ t_{36}}\) „szóstkowe” liczby trójkątne ?
Uwagi: \(\displaystyle{ t_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\) tą liczbę trójkątną
14. Udowodnić, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+3= 4ab \\ c^2+d^2+3 = 4cd \\4c^3 - 3c=a \end{cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych
1200 ntp
15. Wykazać że liczba \(\displaystyle{ n^7 + 7}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej
16. rozwiązane przez Medea2
Udowodnić że liczba \(\displaystyle{ \underbrace {1 \ldots 1}_{2015}\underbrace {2 \ldots 2}_{2015}}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych
17. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) liczby \(\displaystyle{ \frac{a^2+b}{b^2-a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b^2+a}{a^2-b}}\) są też całkowite ?
18. Liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są różnicami kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ mn}\) także ma tę własność
19. Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowa liczba monotoniczna, która jest kwadratem liczby całkowitej.
Uwagi: Liczba monotoniczna to taka której ciąg cyfr jej zapisu dziesiętnego jest słabo rosnący np. \(\displaystyle{ 1224779}\) itp.
20. Udowodnić że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje nieskończenie wiele niepodzielnych przez 10 liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\), takich, że sumy cyfr liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ mn}\) są równe.
21. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) można ze wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 2n \}}\) zbudować dwuwierszową macierz, w której sumy po wszystkich kolumnach oraz po wierszach są równe ?
np. \(\displaystyle{ n=4}\); \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4&6&7 \\ 8&5&3&2 \end{bmatrix}}\)
22. rozwiązane przez Elayne
Wyznaczyć możliwie najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ n^2}\) kończy się (w zapisie dziesiętnym) sekwencją cyfr \(\displaystyle{ 9009}\) ?
23. Wykaż lub obal:
Każda liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\) może być przedstawiona w formie \(\displaystyle{ a^2+b^2 +c^3}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi
24. Scharakteryzować rozmieszczenie w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) liczb nie będących w formie \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+c}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są to liczby całkowite nieujemne.
25. rozwiązane przez Medea2
Jaką jest największa reszta z dzielenia liczby trzycyfrowej przez sumę jej cyfr ?
26. rozwiązane przez Marcin7Cd
Wyznaczyć największą liczbę \(\displaystyle{ n}\) cyfrową, z której pierwiastek \(\displaystyle{ n}\) tego stopnia jest sumą cyfr tej liczby (taką jest np. \(\displaystyle{ 512}\)).
27. Udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^{n-1} - 2^{n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) dla nieskończenie wielu liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\).
28. Wyznaczyć wszystkie takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ 3^n - n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 17}\)
29. Jaką najmniejszą nieujemną wartość ma wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{2p} - \sqrt{x} - \sqrt{y}}\) gdy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi zaś \(\displaystyle{ p}\) ustaloną liczbą pierwszą.
1200 ntp
30. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\): \(\displaystyle{ b^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ a+1}\) i \(\displaystyle{ a^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ b+1}\) ?
Ukryta treść:
Nierozwiązane są : 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19 i 28 (11 zadań).