[MIX] Zadania różne X

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Dany jest alfabet mający 26 liter, słowo w tym alfabecie nazywa się pierwszym jeśli nie jest sklejeniem innych jednakowych słów; tj. np. słowo booboo nie jest pierwsze, ale słowo booby jest. Niech \(\displaystyle{ p(n)}\) to będzie ilość słów pierwszych o długości \(\displaystyle{ n}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ f(n)=\sum_{d| n} \mu (d)26^{\frac{n}{d}}}\).
2. Znaleźć wielomian stopnia czwartego, który najmniej się odchyla od zera na zbiorze \(\displaystyle{ [0,1] \cup [3,4]}\).
Odchyleniem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) od zera na danym zbiorze \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ \sup_{x \in A} \ |W(x)|}\).
3. Niech różne liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b, c >1}\) spełniają:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b+c + bc \equiv 0 \pmod{a} \\ a+c + ac \equiv 0 \pmod{b} \\ a+b + ab \equiv 0 \pmod{c} \end{cases}}\)
Wykazać że co najmniej jedna z nich jest złożona.
4. rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić że istnieje tylko jedno takie \(\displaystyle{ n}\) dla którego \(\displaystyle{ 2^n + 2^{11} + 2^8}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
5. rozwiązane przez hannahannah
Czy liczba utworzona przez wypisanie kolejnych liczb naturalnych: \(\displaystyle{ 1, 2, ...., n}\) może być palindromem (dla jakiegoś \(\displaystyle{ n>1}\)) ?
6. Wykazać że wszystkie zespolone pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P(z) =11z^{10} + 10iz^9 + 10iz - 11}\) mają moduł równy \(\displaystyle{ 1}\).
7. rozwiązane przez Zahiona
Ile to jest \(\displaystyle{ 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 3^2+ ... +2014 \cdot 2015^2}\) ?
8. Niech \(\displaystyle{ a_1=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_n = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}}\) dla \(\displaystyle{ n=2, ..., 10}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ 0 < a_{10} - \sqrt{2}< 10^{-370}}\).
9. Trzy cięciwy okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) są bokami trójkąta wpisanego w ten okrąg. Dwie z tych cięciw ma długości \(\displaystyle{ \frac{r}{2}}\) i \(\displaystyle{ r\sqrt{3}}\). Znaleźć długość trzeciej cięciwy.
10. rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ n^4 - 20n^2 +4}\) jest złożona

11. W okrąg o obwodzie \(\displaystyle{ 24}\) wpisany jest trójkąt równoboczny oraz kwadrat i nie maja one wspólnego wierzchołka. Wykazać, że co najmniej jeden z siedmiu łuków , na które te wierzchołki podzieliły okrąg ma długość nie większą niż \(\displaystyle{ 1}\).
12. Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ 12}\) jest \(\displaystyle{ 300}\) punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Udowodnić, że istnieją wśród nich trzy, tworzące trójkąt o obwodzie nie większym niż \(\displaystyle{ 3}\).
13. Ile nieparzystych współczynników ma wielomian \(\displaystyle{ (1+x+x^2)^n}\) ?
14. rozwiązane przez Zahiona
Niech \(\displaystyle{ m>1}\) i \(\displaystyle{ n > 1}\) będą liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ m^2+n^2 - 1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ m+ n - 1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ m+ n - 1}\) nie może być liczbą pierwszą.
15*. Rzucono losowo czterema \(\displaystyle{ n}\)-kostkami. (\(\displaystyle{ n}\) ściennymi). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że suma trzech największych z wyrzuconych liczb jest równa \(\displaystyle{ 2n}\) ?
źródło: Two Year College Math. Journal; Problem 222**
16. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}4a+ bc=32\\ 2a-2c-b^2=0\\ a+12b - c - ab=6 \end{cases}}\)
Kömal
17. Parcelę kwadratową należy podzielić na trzy części równe co do pola. Łatwo jest podzielić ją na trzy prostokąty tak, żeby łączna długość linii działowych była \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\) długości boku kwadratu. Czy można zmniejszyć łączną długość granic przez dopuszczenie innych kształtów niż prostokątne ?
H. St.
18. rozwiązane przez Marcin7Cd
Niech \(\displaystyle{ u. v, w}\) będą pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 - 10x +11 = 0}\).
Ile to jest \(\displaystyle{ \arctg(u)+ \arctg(v)+ \arctg(w)}\) ?
19. Czy dla \(\displaystyle{ n \geq 3}\) istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a_1, ..., a_n}\) takie, ze \(\displaystyle{ a_i}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a_j}\) ale dzieli \(\displaystyle{ a_ja_k}\) dla \(\displaystyle{ i, j, k \in \{ 1. ..., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ i \neq j \neq k \neq i}\).
20. rozwiązane przez Marcin7Cd
Czy istnieją \(\displaystyle{ m, n}\) oraz \(\displaystyle{ k > 2}\) że \(\displaystyle{ (1+\sqrt{3})^k = m+ n\sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ m}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\) ?

21. Z ilu co najmniej czworościanów można złożyć sześcian ?
22. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: \QQ_{+} \to \ZZ}\) takie, że \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x}) = f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ (x+1)f(x-1)= xf(x)}\) o ile \(\displaystyle{ x> 1}\).
23. Danych jest \(\displaystyle{ n^2}\) monet, w tym \(\displaystyle{ n}\) srebrnych. Ustawia się je losowo w \(\displaystyle{ n}\) rzędach, a w każdym rzędzie jest \(\displaystyle{ n}\) monet. Obliczyć p r a w d o p o d o b i e ń s t w o tego, że istnieje rząd w którym nie ma żadnej srebrnej monety
24. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić, ze istnieje nieskończenie wiele liczb nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ 2^n +n}\) jest złożona.
25. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{sin^2(\frac{\pi}{2n})}+ \frac{1}{sin^2(\frac{2\pi}{2n})}+ .... + \frac{1}{sin^2(\frac{(n-1)\pi}{2n})} =\frac{2}{3}(n-1)(n+1)}\).
26. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a, b, c >0}\) oraz \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 =1}\) to \(\displaystyle{ a + b +c + \frac{1}{abc} \geq 4\sqrt{3}}\).
27. rozwiązane przez Marcin7Cd
Liczba całkowita \(\displaystyle{ n >1}\) jest taka, że \(\displaystyle{ 2^n +n^2}\) jest liczbą pierwszą. Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzystą wielokrotnością liczby \(\displaystyle{ 3}\).
28. W pudełku I jest \(\displaystyle{ n}\) ponumerowanych kul, pudełko II jest puste. Losuje się numer kuli i kulę o tym numerze przekłada z pudełka do pudełka. Znaleźć średnią różnicę ilości kul w obu pudełkach po \(\displaystyle{ m}\) przełożeniach.
29. Udowodnić taką wersję ZsD:
Jeśli \(\displaystyle{ a_j}\) są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ a_1+...+ a_n - n +1}\) kul zostało włożonych do \(\displaystyle{ n}\) szuflad, to istnieje \(\displaystyle{ i}\) takie, że w \(\displaystyle{ i}\) tej szufladzie jest co najmniej \(\displaystyle{ a_i}\) kul.
Uwaga: ZsD = Zasada szufladkowa Dirichleta
30. rozwiązane przez Marcin7Cd
Obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ \begin{cases}x^3 - 3xy^2 \geq 3x^2y - y^3\\ x+y=-1\end{cases}}\).
Ostatnio zmieniony 6 maja 2020, o 13:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 10 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: Zahion »

10:    
7:    
4:    
Ostatnio zmieniony 2 lut 2015, o 00:21 przez Ponewor, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Pomyliłeś numer zadania.
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: marcin7Cd »

24.
Ukryta treść:    
-- 1 lut 2015, o 23:37 --27.
Ukryta treść:    
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: Zahion »

14:    
8:    
hannahannah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 30 sty 2015, o 09:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ba
Pomógł: 15 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: hannahannah »

5.
Ukryta treść:    
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: marcin7Cd »

3.
Ukryta treść:    
18.
Ukryta treść:    
20.
Ukryta treść:    
30.
Ukryta treść:    
-- 8 lut 2015, o 17:19 --22. to zadanie jest z
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: mol_ksiazkowy »

8 cd
Ukryta treść:    
22 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: yorgin »

9:    
21:    
29:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: mol_ksiazkowy »

to jest z Nierozwiązanych problemów 5
Ukryta treść:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[MIX] Zadania różne X

Post autor: bosa_Nike »

26.:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Zadania różne X

Post autor: mol_ksiazkowy »

Nierozwiązane to: 1,2,6,11,12,13,15,16,17,22,23,27,28...
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: [MIX] Zadania różne X

Post autor: Thingoln »

Czy w 21. dobrą odpowiedzią nie jest:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: [MIX] Zadania różne X

Post autor: Dasio11 »

Nie:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Zadania różne X

Post autor: kerajs »

12:    
17:    
23:    
Ad 28. Po \(\displaystyle{ m}\) przełożeniach różnica wynosi \(\displaystyle{ (n-m)-m}\).
Przypuszczam że miało być:
Znaleźć średnią różnicę ilości kul w obu pudełkach po \(\displaystyle{ m}\) losowaniach (numer kuli jest zwracany i może być ponownie wylosowany)
albo:
Znaleźć wartość oczekiwaną różnicy ilości kul w obu pudełkach po \(\displaystyle{ m}\) losowaniach
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Zadania różne X

Post autor: a4karo »

Zad 2 za bardzo nie ma sensu bez dodatkowych założeń typu moniczność, albo całkowite współczynniki.

Dodano po 19 minutach 49 sekundach:
1:    
.

Dodano po 1 godzinie 47 minutach 50 sekundach:
8 - żarcik:    
Dodano po 27 minutach 53 sekundach:
8 tym razem poważnie:    
Ostatnio zmieniony 7 maja 2020, o 09:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ