[MIX] Zadania różne VIII

[mol_ksiazkowy]

1. Lemat o strukturze; Niech \(\displaystyle{ \left( X, \cdot \right)}\) będzie taki, że: \(\displaystyle{ \left( x \cdot y \right) \cdot z= x \cdot \left( y \cdot z \right)}\) dla \(\displaystyle{ x, y, z \in X}\) oraz jeśli \(\displaystyle{ x \in X}\) to istnieje jedyne \(\displaystyle{ x^{\prime} \in G}\) że \(\displaystyle{ x=x \cdot x^{\prime} \cdot x}\) oraz \(\displaystyle{ x^{\prime} = x^{\prime} \cdot x \cdot x^{\prime}}\). Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left( x \cdot y \right) ^{\prime} = y^{\prime} x^{\prime}}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in X.}\)
2. Wykazać że istnieje graf \(\displaystyle{ G}\) o \(\displaystyle{ 16}\) wierzchołkach, z których każdy jest stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 5}\), i taki że jeśli \(\displaystyle{ u \neq v}\), to istnieje \(\displaystyle{ w}\) że \(\displaystyle{ uw}\) i \(\displaystyle{ vw}\) są krawędziami grafu \(\displaystyle{ G}\). Wykazać też, że jeśli założenie co najwyżej \(\displaystyle{ 5}\) zmienić na co najwyżej \(\displaystyle{ 4}\), to taki graf nie istnieje.
3. Niech \(\displaystyle{ S}\) to będzie zbiór złożony ze środków boków \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego oraz środków wszystkich jego przekątnych. Jaka jest największa możliwa ilość punktów zbioru \(\displaystyle{ S}\) będących na jakimś okręgu ?
4. Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = a \cos \left( x \right) + b\cos \left( 3x \right) \leq 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ |b| \leq 1}\).
5. Mając dany okrąg i trzy niewspółliniowe punkty w jego wnętrzu skonstruować trójkąt wpisany w ten okrąg i taki, że na każdym jego boku jest jeden z tych punktów.
6. rozwiązane przez marcin7cd
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a, b, x, y}\) są takie że:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+x+y <2\\ a+b^2=x+y^2\\ a^2+b=x^2+y.\end{cases}}\).
Udowodnić że \(\displaystyle{ a=x}\) oraz \(\displaystyle{ b=y}\).
Szwecja 95
7. rozwiązane przez marcin7Cd
Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\). Wyrazić długość odcinka łączącego wierzchołek \(\displaystyle{ D}\) ze środkiem ciężkości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jako funkcję długości krawędzi czworościanu.
8. rozwiązane prze Zahiona
Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ \sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}} + \sqrt{x-2- \sqrt{2x-5}} =2\sqrt{2}.}\)
9. rozwiązane przez Qnia
Czy wśród liczb \(\displaystyle{ 1999, 2999, 3999, ... 125999, 126999, 127999}\) jest jakaś podzielna przez \(\displaystyle{ 257}\) ?
10. Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) istnieje macierz \(\displaystyle{ n \times n}\) symetryczna taka, że każdy jej wiersz (a zatem i kolumna) jest permutacją zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, ..., n \right\}}\) i jednocześnie przekątna (główna) macierzy nie ma tej własności ?
M

11. Wykazać, że dla każdego punktu na płaszczyźnie istnieje okrąg o środku w tym punkcie i taki, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ \left( x, y \right)}\) tego okręgu:
\(\displaystyle{ x \notin \QQ}\) lub \(\displaystyle{ y \notin \QQ}\)
M
12. rozwiązane przez marcin7Cd
Rozwiązać układ równań (z pięcioma niewiadomymi):
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_1=x_5^2 - 23\\ 4x_2=x_1^2+7\\ 6x_3=x_2^2 + 14\\ 8x_4=x_3^2+ 23\\ 10x_5=x_4^2+ 34. \end{cases}}\)
13. rozwiązane przez exupery
Niech \(\displaystyle{ x \in \RR}\) będzie ustalone. Obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{2n}{3}} \cdot \underbrace{\arctan \left( \arctan \left( \dots \arctan \left( x \right) \right) \right) }_{n}.}\)
14. rozwiązane przez Marcin7Cd
Dany jest ciąg geometryczny \(\displaystyle{ a_1,....,a_n}\). Wyznaczyć zależność między \(\displaystyle{ S, T, I}\):
\(\displaystyle{ S=a_1+….+a_n}\), \(\displaystyle{ T=\frac{1}{a_1}+ …+\frac{1}{a_n}}\) , \(\displaystyle{ I=a_1….a_n}\).
15. rozwiązane przez marcin7Cd
Wielomian \(\displaystyle{ p \left( x \right) = x^4+ \left( b+2 \right) x^3+ \left( a+2b \right) x^2+ \left( 3a+b-4 \right) x+ 2a-b}\) ma ten sam pierwiastek niezależny od wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Wyznaczyć go oraz podać takie \(\displaystyle{ a, b}\), dla których \(\displaystyle{ p \left( x \right)}\) jest kwadratem jakiegoś trójmianu.
16. rozwiązane przez marcin7Cd
Na płaszczyźnie danych jest pięć różnych punktów i pięć różnych prostych. Udowodnić, ze można z nich wybrać dwa różne punkty i dwie różne proste, tak aby żaden z wybranych punktów nie leżał na żadnej z wybranych prostych.
pc
17. rozwiązane przez Qnia
Ile równe jest \(\displaystyle{ x}\), jeśli
\(\displaystyle{ x= 1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ... \\ \frac{1}{1+ \frac{1}{x}}}}\ ?}\)
\(\displaystyle{ n}\) kresek ułamkowych
18. W grupie \(\displaystyle{ n \geq 5}\) osób utworzono \(\displaystyle{ n+1}\) różnych zespołów trzyosobowych. Wykazać istnienia dwóch takich zespołów, które mają (jako wspólną) jedną (i nie więcej) osobę.
19. Każda liczba całkowita zostało pokolorowana jednym z czterech kolorów. Niech \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) będą nieparzyste, oraz \(\displaystyle{ |x| \neq |y|}\). Wykazać istnienia dwóch liczb całkowitych, takich że ich różnica jest elementem zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x, y, x+y, x-y \right\}}\)
20. rozwiązane przez fon_nojmana
Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ x^{10} - x^7 +x^2-x+1=0}\) nie ma rozwiązań rzeczywistych.

21. rozwiązane przez marcin7Cd
Mając dwa ciągi zero jedynkowe \(\displaystyle{ A= \left( a_1 ,..., a_n \right)}\) i \(\displaystyle{ B= \left( b_1 ,..., b_n \right)}\) definiuje się odległość między nimi, jako ilość tych \(\displaystyle{ j}\), że \(\displaystyle{ a_j \neq b_j}\). Odległość każdych dwóch ciągów z trójki \(\displaystyle{ A, B, C}\) wynosi \(\displaystyle{ d}\).
a) Wykaż, że \(\displaystyle{ d}\) jest parzyste
b) Wykaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ D}\), że jego odległość, od \(\displaystyle{ A, B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} d}\). Czy takie \(\displaystyle{ D}\) jest jedyne?
Iran
22. Na płaszczyźnie narysowano okręgi o średnicy \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\) i o środkach we wszystkich punktach kratowych. Udowodnić ze wówczas dowolny okrąg o średnicy \(\displaystyle{ 200}\) przecina chociaż jeden z tych okręgów.
Kwant
23. Niech \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ |f \left( x+y \right) - f \left( x \right) - f \left( y \right) | \leq 1}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\). Dowieść, że istnieje \(\displaystyle{ g: \RR \to \RR}\) iż
\(\displaystyle{ |f \left( x \right) - g \left( x \right) | \leq 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) oraz
\(\displaystyle{ g \left( x+y \right) =g \left( x \right) + g \left( y \right)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)
24. rozwiązane przez Qnia
Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) wielomian \(\displaystyle{ \left( x+1 \right) ^{2n+1}+ x^{n+2}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 1+x+x^2}\). Wykazać też, że wielomian \(\displaystyle{ \left( x^2+1 \right) ^{2n+1} + x^{2n+4}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 1-x+x^2}\).
25. rozwiązane przez exupery
Wykazać że \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos \left( 6^\circ \right) }+ \frac{1}{\sin \left( 24^\circ \right) } + \frac{1}{\sin \left( 48^\circ \right) } = \frac{1}{ \sin \left( 12^\circ \right) }.}\)
26. rozwiązane przez Ponewora
Dany jest ciąg 12-tu kolejnych liczb naturalnych. Wykazać, że przynajmniej jedna z nich jest mniejsza od sumy swoich dzielników,
tj. od \(\displaystyle{ \sum_{d| n \ d<n} d}\).
Musztari
27. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-xy+y^2=7\\ xy \left( x+y \right) =-2. \end{cases}}\)
28. rozwiązane przez marcin7Cd
Algorytm:
krok 0: \(\displaystyle{ n=m}\)
krok 1: Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, zmniejsz \(\displaystyle{ n}\) dwukrotnie; a jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste zwiększ \(\displaystyle{ n}\) o jeden
krok 2: Jeśli \(\displaystyle{ n>1}\) przejść do kroku 1, a jeśli \(\displaystyle{ n=1}\)
zakończyć algorytm
Ile jest liczb \(\displaystyle{ m}\) dla których krok 1 wykona się \(\displaystyle{ 15}\) razy ?
29. rozwiązane przez Marcin7Cd
Czy jeśli \(\displaystyle{ q \in \QQ \cap \left( 0,1 \right)}\), to istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ n_1 < .... < n_k}\) i takie, że każda następną dzieli się przez poprzednią oraz:
\(\displaystyle{ q = \frac{1}{n_1}+ ... +\frac{1}{n_k}\ ?}\)
30. rozwiązane przez yorgina
Rozwiązać równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ y =2xy' + \sqrt{1+\left( y'\right) ^2}.}\)

31. rozwiązane przez Marcin7Cd
Czy można „wygenerować” funkcję \(\displaystyle{ h \left( x \right) =x}\) z \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) poprzez wykonywanie operacji dodawania, odejmowania i mnożenia, gdy
a) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2+x \ \ g \left( x \right) = x^2+ 2}\)
b \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2+x \ \ g \left( x \right) = x^2 - 2}\)
c) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = 2x^2+x \ \ g \left( x \right) = 2x}\)
d) \(\displaystyle{ f \left( x \right) = 2x^3+x \ \ g \left( x \right) = x^2}\)
?
32.a) Roztargniony matematyk zapomniał cyfrowego kodu do swego mieszkania. Kod ten składa się z sekwencji trzech cyfr (bez zera i cyfry mogą się powtarzać). Kolejne cyfry wciska się co 1 sek. Uważa on iż może odszyfrować kod w czasie 16 min i 42 sek (1002 sek) nawet przy „największym pechu” podczas odgadywania kodu. Czy ma on rację ? Rozwiązać też zadanie jeśli będą dodatkowe założenia:
b) w kodzie są tylko cyfry \(\displaystyle{ 1, 2, 3}\);
c*) matematyk pamięta, że wszystkie cyfry w jego kodzie są różne.
33. rozwiązane przez Marcin7Cd
Zadanie KoŃcowe; Wyznaczyć jawny wzór funkcji \(\displaystyle{ f \left( n \right)}\) wyrażającą minimalna ilość ruchów Konia szachowego w jakich może on przemieścić się z jednego rogu szachownicy \(\displaystyle{ n \times n}\) do przeciwległego.

[Qń]

27:    

Układ jest równoważny:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)^3-3xy=7\\ xy(x+y)=-2\end{cases}}\)
co po podstawieniu \(\displaystyle{ x+y=s, xy=i}\) daje:
\(\displaystyle{ \begin{cases}s^3-3i=7\\ si=-2\end{cases}}\)
Z drugiego równania wyznaczamy \(\displaystyle{ i=-\frac 2s}\) i po wstawieniu do pierwszego dostajemy równanie \(\displaystyle{ s^3-7s+6=0}\) które łatwo rozwiązać, skąd otrzymujemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases}s=1\\ i=-2\end{cases}\vee \begin{cases}s=2\\ i=-1\end{cases}\vee \begin{cases}s=-3\\ i=\frac 23\end{cases}}\)
co ze wzorów Viete'a oznacza, że \(\displaystyle{ x,y}\) są pierwiastkami jedno z równań:
\(\displaystyle{ t^2-t-2=0 , t^2-2t-1=0, t^2+3t+\frac 23=0}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\} = \left\{ -1,2\right\} \vee \left\{ x,y\right\}= \left\{ 1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}\right\} \vee \left\{ x,y\right\} = \left\{ \frac{-9-\sqrt{57}}{6}, \frac{-9+\sqrt{57}}{6}\right\}}\)

Q.

[fon_nojman]

20:    

Pokażemy, że \(\displaystyle{ W(x)=x^{10}-x^7+x^2-x+1>0, x\in \mathbb{R}.}\)
1) \(\displaystyle{ x=0,}\)
\(\displaystyle{ W(0)=1>0,}\)
2) \(\displaystyle{ x \le 1, x \neq 0,}\)
\(\displaystyle{ W(x)>-x^7+x^2-x+1=x^2(1-x^5)+(1-x)>0}\)
3) \(\displaystyle{ x>1,}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^7(x^3-1)+(x^2-x+1)>(x-1)+(x-x+1)=x>0.}\)

[Qń]

24:    

Aby wykazać, że \(\displaystyle{ V|W}\) wystarczy pokazać, że każdy pierwiastek zespolony \(\displaystyle{ V}\) jest też pierwiastkiem \(\displaystyle{ W}\) (z co najmniej tą samą krotnością).

Niech więc w pierwszym przykładzie \(\displaystyle{ t}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), tzn. \(\displaystyle{ t+1=-t^2}\) oraz \(\displaystyle{ t^3=1}\). Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ (t+1)^{2n+1}+t^{n+2} = (-t^2)^{2n+1} + t^{n+2} = t^{n+2}\left( 1 - (t^3)^n\right) =0}\)
co kończy dowód.

Natomiast w drugim przykładzie niech \(\displaystyle{ t}\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2-x+1}\), tzn. \(\displaystyle{ t^2+1=t}\) oraz \(\displaystyle{ t^3=-1}\). Mamy wtedy:
\(\displaystyle{ (t^2+1)^{2n+1}+t^{2n+4} = t^{2n+1} + t^{2n+4} = t^{2n+1}(1+t^3)=0}\)
co również kończy dowód.

Q.

[Zahion]

8:    

\(\displaystyle{ \sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}} + \sqrt{x-2- \sqrt{2x-5}} = \frac{ \sqrt{2x-5}+3 }{ \sqrt{2} }+ \frac{ \sqrt{2x-5}-1 }{ \sqrt{2} }= \frac{2 \sqrt{2x-5}+2 }{ \sqrt{2} }= \sqrt{4x-10}+ \sqrt{2}}\)

a stąd \(\displaystyle{ \sqrt{4x-10} = \sqrt{2}}\) czyli \(\displaystyle{ x = 3}\).

[marcin7Cd]

12:

Ukryta treść:    

Po zsumowaniu wszystkich równań otrzymuje
\(\displaystyle{ x_1 ^{2}-2x_1+1+x_2^{2}-4x_1+4+x_3^{2}-6x_3+9+x_4^{2}-8x_4+16-10x_5+25=0 \Leftrightarrow (x_1-1)^{2}+(x_2-2)^{2}+(x_3-3)^{2}+(x_4-4)^{2}+(x_5-5)^{2}=0 \Rightarrow x_1=1 \wedge x_2=2 \wedge x_3=3 \wedge x_4=4 \wedge x_5=5}\)
Po sprawdzeniu zgadza się

6:

Ukryta treść:    

drugie i trzecie równanie można przepisać równoważnie \(\displaystyle{ a-x=(y-b)(y+b) \wedge (a-x)(a+x)=y-b \Rightarrow (a-x)=(a-x)(a+x)(y+b) \Rightarrow (a-x)(1-(a+x)(y+b))=0 \Rightarrow a=x \vee y+b= \frac{1}{a+x}}\) W pierwszy przypadku po podstawieniu do pierwszego równania wynika,że \(\displaystyle{ (b-y)(b+y)=0 \Rightarrow b=y}\) W drugim przypadku po podstawieniu do pierwszej nierówności otrzymam \(\displaystyle{ a+x+ \frac{1}{a+x}<2}\) Jednak to prowadzi do sprzeczności, bo \(\displaystyle{ a+x+ \frac{1}{a+x} \ge 2}\) na mocy nierówności AG.
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ a=x \wedge b=y}\)

[Qń]

17:    

Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie którymkolwiek z dwóch pierwiastków równania \(\displaystyle{ t^2-t-1=0}\). Oczywiście wtedy \(\displaystyle{ a=1 + \frac 1a}\). Jeśli zdefiniujemy ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) następująco:
\(\displaystyle{ x_n = \begin{cases} a \textrm{ dla } n=1\\ 1 + \frac{1}{x_{n-1}} \textrm{ dla } n>1\end{cases}}\)
to oczywiście \(\displaystyle{ x=x_n}\). Pokażmy indukcyjnie, że ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest stały, co będzie oznaczało, że \(\displaystyle{ x=a}\).

Dla dowolnego \(\displaystyle{ n>1}\) mamy:
\(\displaystyle{ x_n =1 + \frac{1}{x_{n-1}}= 1+ \frac 1a =a}\)
co kończy dowód.

Q.

[Ponewor]

26:    

Choć jedna jest postaci \(\displaystyle{ 12k}\), zaś \(\displaystyle{ 6k+4k+3k>12k}\). Widzimy, że wystarczy dowolny ciąg \(\displaystyle{ 6}\) liczb naturalnych nie mniejszych niż \(\displaystyle{ 6}\), bo wtedy istnieje liczba postaci \(\displaystyle{ 6k}\), gdzie \(\displaystyle{ k\neq 1}\) i mamy \(\displaystyle{ 3k+2k+k+1>6k}\).

[yorgin]

Trochę dziwiła mnie obecność równania różniczkowego, ale zmieniło się to z chwilą, w której zacząłem je rozwiązywać... Raczej nie jest szablonowe, a przynajmniej na UJ takich rzeczy z kolegami nie uczyliśmy.

Raczej zalecam każdemu potrafiącemu rozwiązywać równania nie zaglądać do poniższego rozwiązania, bo to jest mega spoiler.

30:    

Jest to prawie równanie Clairauta. Gdyby takie było, byłoby jeszcze prostsze. Tym czasem... trzeba się napracować. Zaczynamy tak samo, tj różniczkujemy stronami:

\(\displaystyle{ u'=2y'+2xy''+\frac{y'y''}{\sqrt{1+y'^2}}}\)

Podstawiamy teraz \(\displaystyle{ u=y'}\) (patrz mój wykład z redukcji rzędu równania różniczkowego).

Mamy więc

\(\displaystyle{ u+2xu'+\frac{uu'}{\sqrt{1+u^2}}=0}\).

Na "chama" wyznaczamy \(\displaystyle{ u'}\):

\(\displaystyle{ u'=-\frac{u}{\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}+2x}}\)

Jak zamienimy role zmiennych zależnych i niezależnych, to dostaniemy

\(\displaystyle{ \ddfrac{ x}{u}=-\frac{2x}{u}-\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}}\).

I cudownie - jest to równanie liniowe niejednorodne.

Część jednorodna

\(\displaystyle{ x'+\frac{2x}{u}=0}\)

ma rozwiązanie

\(\displaystyle{ x=\frac{c}{u^2}}\)

Z braku ładnej postaci niejednorodności metoda uzmienniania stałej (patrz - temat z metodami, przykładami i rozwiązaniami w odpowiednim dziale) wychodzi nam równanie różniczkowe

\(\displaystyle{ c'=-\frac{u^2}{\sqrt{1+u^2}}}\)

Całkę rozwiązujemy ulubioną metodą, dostając

\(\displaystyle{ c(u)=\frac{1}{2}\sinh^{-1}(u)-\frac{1}{2}u\sqrt{u^2+1}+d}\),

co w połączeniu z rozwiązaniem równania jednorodnego daje

\(\displaystyle{ x(u)=\frac{d}{u^2}+\frac{\sinh^{-1}(u)-u\sqrt{1+u^2}}{2u^2}}\).

Dalszy ciąg skłania mnie do przemyśleń... Znając \(\displaystyle{ u(x)}\) trywialne dostajemy

\(\displaystyle{ y(x)=\int u(x)\dd x}\)

ale... Funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ x(u)}\) nie jest elementarna. Wiadomo z twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym, że ona istnieje o ile tylko

\(\displaystyle{ 2x+\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\neq 0}\),

czyli

\(\displaystyle{ x\neq -\frac{u}{2\sqrt{1+u^2}}}\).

Dalej w teorii dla wszystkich takich punktów jak wyżej można wyznaczyć rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji odwrotnej i scałkowania tego szeregu wyraz po wyrazie, by wydobyć końcowe rozwiązanie. W praktyce nie jestem pewien, czy jest sens to robić i czy można czasem zupełnie inaczej do tego problemu podejść.

[Qń]

9:    

Nie.

Pytanie można przeformułować - czy istnieje takie \(\displaystyle{ k\in \{0,1,2,\ldots , 126\}}\), że
\(\displaystyle{ 1000k+1999\equiv 0\pmod{257}}\)
Mamy równoważnie:
\(\displaystyle{ 1000k\equiv -200\pmod{257}\\
5k\equiv -1\pmod{257}\\
103\cdot 5k\equiv -103\pmod{257}\\
k\equiv 154\pmod{257}}\)
skąd oczywiście widać, że odpowiedź jest negatywna.

Q.

[marcin7Cd]

14:

Ukryta treść:    

z definicji ciągu geometrycznego mamy \(\displaystyle{ S=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+...+a_{1}q^{n-1}=a_{1}^{2}q^{n-1}(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}q}+...+\frac{1}{a_{1}q^{n-1}})=a_{1}^{2}q^{n-1}T}\) z tego wynika \(\displaystyle{ \frac{S}{T}=a_{1}^{2}q^{n-1}}\) i teraz \(\displaystyle{ I=a_{1}^{n}q^{1+2+...+n-1}=a_{1}^{n}q^{\frac {n(n-1)}{2}}= \pm (a_{1}^{2}q^{n-1})^{\frac{n}{2}}=\pm (\frac{S}{T})^{\frac{n}{2}}}\)

29:

Ukryta treść:    

ustalmy taki liczby \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}...x_{k} \in N \setminus \{1,0\} \wedge n_{1}=x_{1}, n_{2}=x_{1}x_{2} ,...,n_{k}=x_{1}x_{2}...x_{k}}\) wtedy teza przybiera postać \(\displaystyle{ q=\frac{1}{x_{1}}(1+\frac{1}{x_{2}}(...(1+\frac{1}{x_{k-1}}(1+\frac{1}{x_{k}}))...))}\) oraz \(\displaystyle{ q=\frac{n}{m} \wedge n,m \in Z \wedge n<m}\) dla \(\displaystyle{ m=1}\) działa, Załóżmy indukcyjnie, że działa dla \(\displaystyle{ 1,2,...m}\), żeby udowodnić, że działa dla \(\displaystyle{ m+1}\) muszę pokazać, że ułamki \(\displaystyle{ \frac{1}{m+1},\frac{2}{m+1},...,\frac{m}{m+1}}\) można przedstawić w formie z tezy. Załóżmy indukcyjnie, że ułamki\(\displaystyle{ \frac{1}{m+1},\frac{2}{m+1}...,\frac{n-1}{m+1}}\) mogę przedstawić w formie z tezy. Teraz udowodnię, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{n}{m+1}}\) można odpowiednio przedstawić. Gdyby \(\displaystyle{ NWD(n,m+1)>1}\)to wtedy po skróceniu otrzymamy ułamek, który już z założenia indukcyjnego rozpatrzyliśmy. Jeśli \(\displaystyle{ NWD(n,m+1)=1}\) wtedy szukamy liczby \(\displaystyle{ l \in N \wedge l>1}\) takiej, że \(\displaystyle{ 0<nl-(m+1)<n}\) istnieje ona ,bo \(\displaystyle{ n-(m+1)<0}\) oraz \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) są względnie pierwsze. Wtedy ułamek \(\displaystyle{ \frac{nl-(m+1)}{m+1}}\) na mocy założenia indukcyjnego można przedstawić w formie z tezy. Oznacza to, że również poniższy ułamek mogę przedstawić w formie z tezy \(\displaystyle{ \frac{1}{l}(1+\frac{nl-(m+1)}{m+1})=\frac{1}{l}(\frac{nl}{m+1})=\frac{n}{m+1}}\). Co kończy rozumowanie indukcyjne i dowód.

31:

Ukryta treść:    

Zauważmy, że jeśli będziemy mieć formułę "generującą" daną funkcję, to gdy podstawimy pod \(\displaystyle{ x}\) konkretną liczbę to również będzie ona działać
a)podstawmy \(\displaystyle{ x=-1}\) wtedy \(\displaystyle{ f(-1)=0 ;g(-1)=3}\) otrzymaliśmy obie liczby podzielne przez 3. Jednak wykonując dodawanie, odejmowanie i mnożenie zawsze otrzymuje liczby podzielne przez 3, czyli nigdy nie dostaniemy nie podzielne przez trzy -1
b)tutaj jest formuła \(\displaystyle{ (f(x)-g(x))^{2}-3f(x)+2g(x)=x}\)
c)podstawmy \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\) wtedy \(\displaystyle{ f(-\frac{1}{2})=0 ;g(-\frac{1}{2})=-1}\) otrzymaliśmy liczby całkowite, a wykonując dodawanie, odejmowanie i mnożenie zostajemy w zbiorze liczb całkowitych. Liczba \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) nie należy do całkowitych, więc nie możemy jej otrzymać
d)podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{i}{ \sqrt{2} }}\), gdzie \(\displaystyle{ i}\) to jednostka urojona wtedy mamy \(\displaystyle{ f(\frac{i}{ \sqrt{2} })=0 ;g(\frac{i}{ \sqrt{2} })=\frac{1}{2}}\) otrzymane liczby są rzeczywiste, więc nie możemy osiągnąć liczby urojonej \(\displaystyle{ \frac{i}{ \sqrt{2} }}\) dodając, odejmując i mnożąc

33:

Ukryta treść:    

Zauważmy, że pierwsze wynoszą \(\displaystyle{ f(1)=0; f(2)}\) brak wartości \(\displaystyle{ f(3)=4}\) pokolorujmy szachownice jak szachownice i zauważmy, że konik podczas ruchu przechodzi zawsze na pole o przeciwnym kolorze. Pola na przekątnej do których należą przeciwległe rogi mają ten sam kolor. Co oznacza, że \(\displaystyle{ f(n)}\) zawsze jest parzyste. konik maksymalnie może się przemieścić o 3 pola łącznie w dwóch kierunkach, a do pokonania ma minimalnie 2(n-1) pól.Daje nam to następującą nierówność \(\displaystyle{ 2(n-1) \le 3f(n) \Leftrightarrow \frac{2(n-1)}{3} \le f(n)}\) Z uwagi na to,że \(\displaystyle{ f(n)}\) musi być liczbą parzystą dostaje nierówność \(\displaystyle{ 2 \left \lceil \frac{(n-1)}{3} \right \rceil \le f(n)}\). Pomijając przypadki dla \(\displaystyle{ n=1,2,3; f(n)=2 \left \lceil \frac{(n-1)}{3} \right \rceil}\) Łatwo znaleźć taką droge konika, aby doszedł w takiej ilości ruchów do przeciwnego rogu

-- 24 gru 2014, o 18:12 --7:

Ukryta treść:    

Najłatwiej to można rozwiązać za pomocą geometrii analitycznej. Przyjmijmy następujące oznaczenia \(\displaystyle{ D(0,0,0),A(x_{1},y_{1},z),B(x_{2},y^{2},z),C(x_{1},y_{1},z)}\) środek układu współrzędnych w punkcie \(\displaystyle{ D}\), a osie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) leżą na płaszczyźnie \(\displaystyle{ ABC}\). Środek ciężkości to średnia arytmetyczna współrzędnych, więc środek ciężkości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ \left( \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},z \right)}\). Odległość pomiędzy tym punktem, wierzchołkiem \(\displaystyle{ D}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\left( \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} \right)^{2}+ \left( \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3} \right)^{2}+z^{2}}=}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{3}((3x_{1}^{2}+3y_{1}^{2}+3z^{2})+(3x_{2}^{2}+3y_{2}^{2}+3z^{2})+(3x_{3}^{2}+3y_{3}^{2}+3z^{2})-((x_{1} - x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2})-((x_{1}-x_{3})^{2}+(y_{1}-y_{3})^{2})-((x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}))^{\frac{1}{2}}}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3} \sqrt{3AD^{2}+3BD^{2}+3CD^2-AB^{2}-AC^{2}-BC^{2}}}\) Co jest poszukiwaną zależnością.

W 15. nie ma takiego pierwiastka

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ p(x)=x^{4}+2x^{3}-4x+a(x^{2} +3x+2)+b(x^{3}+2x^{2}+x-1)= \\ x^{4}+2x^{3}-4x+a(x+1)(x+2)+b(x^{3}+2x^{2}+x-1)}\) Skoro pierwiastek ma być niezależny od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to wyrażenia przy \(\displaystyle{ a}\) jak i \(\displaystyle{ b}\) również muszą być zerami. Gdyby tak nie było to zmieniając \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) zmieniamy wartość całego wyrażenia. Wyrażenie przy \(\displaystyle{ a}\) zeruje się gdy \(\displaystyle{ x=-1 \ \hbox{lub} \ x=-2}\) jednak obie wartości po podstawieniu nie zerują wyrażenia przy \(\displaystyle{ b}\)

16:

Ukryta treść:    

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ B}\) zbiór danych pięciu punktów. Załóżmy nie wprost, że nie jesteśmy znaleźć takiej pary prostych i pary punktów, nie leżących na sobie. To oznacza, że każda para prostych przechodzi przez co najmniej \(\displaystyle{ 4}\) punkty. Jeśli istnieje prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodząca przez dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) punkty. Wtedy pozostały \(\displaystyle{ 3}\) punkty nie należące do \(\displaystyle{ l}\) i cztery proste nie będące \(\displaystyle{ l}\). Zauważmy, że każda z pozostałych prostych ma co najmniej dwa punkty(\(\displaystyle{ \in B}\)) nie należące do \(\displaystyle{ l}\), w innym wypadku \(\displaystyle{ l}\) i wybrana prosta przechodziła, by przez mniej niż cztery punkty(\(\displaystyle{ \in B}\)). Wtedy to prowadzi do sprzeczności, bo przez \(\displaystyle{ 3}\) punkty można poprowadzić co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) różne proste, a mamy do poprowadzenia \(\displaystyle{ \(\displaystyle{ 4}\)}\). Dochodzimy do wniosku, że nie istnieje prosta przechodząca przez dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) punkty. Zauważmy, że w tej sytuacji istnieje co najwyżej jedna prosta przechodząca przez tylko \(\displaystyle{ 1}\) punkt(\(\displaystyle{ \in B}\)), bo gdyby byłyby dwie to w sumie przechodziły by przez co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) punkty, sprzeczność. Oznacza to, że istnieją \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ 5}\) prostych mających co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) punkty(\(\displaystyle{ \in B}\)). Rozważmy sobie prostą \(\displaystyle{ n}\) mającą co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) punkty(\(\displaystyle{ \in B}\)). Zauważmy, że żadna z pozostałych prostych nie może zawierać dwa punkty \(\displaystyle{ \in n}\) i \(\displaystyle{ \in B}\), bo wtedy będzie się pokrywać z \(\displaystyle{ n}\). Zauważmy, że punktów(\(\displaystyle{ \in B}\)) poza n jest co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) to każda prosta mająca co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) punkty(\(\displaystyle{ \in B}\)) musi przechodzić przez te \(\displaystyle{ 2}\) punkty. Prowadzi to do sprzeczności, bo mamy jeszcze \(\displaystyle{ 3}\) takie proste, a możemy poprowadzić co najwyżej jedną.Co kończy dowód.

21:

Ukryta treść:    

wybierając sobie pewną liczbę \(\displaystyle{ j}\) ciąg \(\displaystyle{ (a_{j},b_{j},c_{j})}\) może przyjmować następujące wartości \(\displaystyle{ \{(0,0,0),(1,1,1)\},\{(0,1,0),(1,0,1)\},\{(0,1,1),(1,0,0)\},\{(0,0,1),(1,1,0)\}}\). W nawiasach zaznaczyłem pary konfiguracji, których wymiana w ciągu nie zmienia odległości między ciągami \(\displaystyle{ A,B,C}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ p,k,l,n}\) ilość konfiguracji każdego rodzaju. To pozwala nam na policzenie odległości między ciągami \(\displaystyle{ A,B,C}\). Odległość między ciągami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wynosi \(\displaystyle{ k+l=d}\) odległość między \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) \(\displaystyle{ l+n=d}\),a odległość między \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) \(\displaystyle{ k+n=d}\). Korzystając z otrzymanych równań mamy ,że \(\displaystyle{ k=l=n= \frac{d}{2}}\), co dowodzi parzystość \(\displaystyle{ d}\). Teraz wykaże istnienie tylko jednego ciągu \(\displaystyle{ D}\) o odległości \(\displaystyle{ k}\) z ciągami \(\displaystyle{ A,B,C}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x,y,z,t}\) liczbę pozycji ciągu \(\displaystyle{ D}\), które są różne z ciągiem \(\displaystyle{ A}\) i należą odpowiednio do pierwszego, drugie, trzeciego czwartego rodzaju konfiguracji. Pozwoli nam to policzyć odległości między ciągami. Odległość między ciągiem \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) wynosi \(\displaystyle{ x+y+z+t=k}\) odległość między \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) wynosi \(\displaystyle{ x+(k-y)+(k-z)+t=k}\), a między \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) \(\displaystyle{ x+y+(k-z)+(k-t)=k}\). przyrównując drugie i trzecie równanie otrzymuje \(\displaystyle{ t=y}\), przyrównując drugie i trzecie równanie otrzymuje \(\displaystyle{ z+t=k}\). Podstawiając to do pierwszego równania otrzymuje \(\displaystyle{ x+y=0}\) Z uwagi na to ,że te liczby są nieujemne mamy \(\displaystyle{ x=y=t=0}\) i \(\displaystyle{ z=k}\). Te rozwiązanie spełnia układ równań, a on wyznaczał odległości między ciągami. w podany sposób można tylko na jeden sposób zmienić ciąg \(\displaystyle{ A}\)(zmieniam wszystkie pozycje należące do trzeciej konfiguracji ). Co oznacza, że istniej tylko jeden taki ciąg \(\displaystyle{ D}\).

28:

Ukryta treść:    

rozważmy liczbę \(\displaystyle{ n}\) w systemie dwójkowym jako ciąg jedynek i zer. Jeżeli liczba kończy się zerem to jest parzysta, a dzieląc przez dwa zabieram to zero. Jeśli liczba kończy się k jedynkami to jest ona nieparzysta(np \(\displaystyle{ 10001111 \Rightarrow 10010000}\)), a dodając jeden pierwsze k jedynek zostanie zamienione w zera, a kolejna cyfra (wcześniej będąca zerem), będzie jedynką. Oczywiście możemy to wykonać, gdy liczba jest różna od jeden. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x}\) ilość cyfr(w zapisie dwójkowym) liczby \(\displaystyle{ m}\). Zauważmy, że gdy w zapisie liczby \(\displaystyle{ m}\) występuje dokładnie jedna jedynka to krok 1. wykona się \(\displaystyle{ x-1}\) razy. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ y}\) ilość zer po wystąpieniu pierwszej jedynki w zapisie liczby \(\displaystyle{ m}\). Gdy \(\displaystyle{ y>0}\) oznacza to , że musimy dodać jeden do liczby w pewnym momencie, a ta operacja zmniejsza dokładnie o \(\displaystyle{ 1}\) ilość zer pomiędzy pierwszą, a ostatnią jedynką, czyli wartość \(\displaystyle{ y}\). Ta operacja zachowuje ilość cyfr danej liczby(dopóki to nie jest ciąg jedynek). operacja dzielenia przez dwa zmniejsza ilość cyfr liczby dokładnie o \(\displaystyle{ 1}\). Zauważmy, że gdy pozostaje na końcu ciąg jedynek to dodanie jedynki zwiększy o jeden ilość cyfr liczby, czyli wartość \(\displaystyle{ x}\).Algorytm się zakończy, gdy \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ y=0}\). Oznacza to, że krok 1. wykona się \(\displaystyle{ (x+1-1)+(y+1)+1=x+y+2}\) razy. Oznacza to ,że szukamy ilość ciągów takich, że \(\displaystyle{ x+y=13}\)(pomijam jeden ciąg mający same zera i na końcu jedynkę). zauważmy, że \(\displaystyle{ x-2 \ge y}\) (zawsze muszą być dwie jednyki) z tąd wynika, że \(\displaystyle{ y \le 5}\). Teraz rozważmy ile jest ciągów mające konkretne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Gdy pierwsza jedynka jest na \(\displaystyle{ k}\)-tej pozycji licząc od końca to ilość takich ciągów jest równa \(\displaystyle{ {k-2\choose y}}\)(pomiędzy pierwszą, a ostatnią jedynką ustawiamy zera, a resztę wypełniamy jedynkami), gdzie \(\displaystyle{ k=y+2,y+3,...x}\) . Co daje nam formułę \(\displaystyle{ {y\choose y}+{y+1\choose y}+...+{x-2\choose y}={x-1\choose y+1}={12-y\choose y+1}}\) dla \(\displaystyle{ y=0,1,2,3,4,5}\). Sumując dla wszyskich wartości \(\displaystyle{ y}\) i dodając \(\displaystyle{ 1}\) otrzymuje odpowiedz \(\displaystyle{ 1+{12 \choose 1} + {11 \choose 2}+ {10 \choose 3} + {9 \choose 4}+ {8 \choose 5}+ {6 \choose 6}=1+12+55+120+126+56+1=371}\)

[exupery]

13:

Ukryta treść:    

Zadajmy ciąg \(\displaystyle{ \begin{cases} b_0=x \\ b_n=\arctg (b_{n-1}) \end{cases}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \arctg}\) jest kontrakcją, więc dostajemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } b_n =0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ b_0}\)
Zadajemy \(\displaystyle{ \begin{cases} a_0=b_0 \\ a_n=\frac{1}{b_n^2}-\frac{1}{b_{n-1}^2} \end {cases}}\) Rozważam tylko przypadek \(\displaystyle{ x \neq 0.}\)
Liczymy: \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{b_n^2}-\frac{1}{b_{n-1}^2}= \frac{b_{n-1}^2-\arctg ^2 (b_{n-1})}{b_{n-1}^2\arctg ^2(b_{n-1})}}\)
Z faktu, że \(\displaystyle{ b_n}\) zbiega do zera, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n =\frac{2}{3}}\) (możemy policzyć to przechodząc na granicę funkcji i rozwinąć w szereg Taylora, lub reguły de l'Hospitala).
Wiemy, że ciąg średnich zbiega dotej samej granicy co sam ciąg, tak więc: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}= \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=0}^n a_k}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{nb_n^2} - \frac{1}{nb_0}}\)
Dodatkowo wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1}{nb_0} =0}\).
Czyli dostajemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n b_n^2} =2/3.}\)
Odwracamy pierwiastkujemy i mamy wynik.

25:

Ukryta treść:    

https://www.matematyka.pl/383503.htm